Вопрос № 79585: Не могу решить следующее задание: найти наибольшее и наименьшее знакчения функции y=x^5-5x^4+5x^3+1 на отрезке [-1;2]...Вопрос № 79586: Помогите решить пределы функции, пользуясь правилом Лапиталя:
lim (ln (п/2-arctgx))/(ln(1+x^2))
x- к бесконечности
lim (x^3-4x^2+4x)/(x^3-12x+16)
x- 2...Вопрос № 79604: Доброго времени суток!
Подскажите, пожалуйста, как нужно решать задачку такого характера:
В каком отношении у*у=2х делит площадь круга х*х+у*у=8? Ответ к заданию : (3пи + 2)/(9пи-2)Спасибо! И еще хотела бы спросить как изменяются пределы угла...
Вопрос № 79.585
Не могу решить следующее задание: найти наибольшее и наименьшее знакчения функции y=x^5-5x^4+5x^3+1 на отрезке [-1;2]
Отправлен: 24.03.2007, 09:04
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, BusLnka!
1. Найдем производную функции:
y'=5x^4-20x^3+15x^2
2. Найдем нули производной:
5x^4-20x^3+15x^2=0
5x^2(x^2-4x+3)=0
Дальше через дискриминант или по теореме Виета
x1=1, x2=3, x3,4=0
Теперь осталось только найти значения функции в точках -1, 0, 1, 2
И выбрать минимальное и максимальное из этих значений.
Надеюсь, с этим справитесь самостоятельно.
Ответ отправила: Яна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 24.03.2007, 09:27 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Яна, благодарю Вас за ответ, с остальным действительно справлюсь сама ;)
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, BusLnka!
Текст вопроса: Не могу решить следующее задание: найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x^5-5*x^4+5*x^3+1 на отрезке [-1;2] Вопрос отправлен: 23.03.2007, 22:04.
Первая производная: y’ = 5*x^4 - 20*x^3 + 15*x^2 = 5*x^2*(x^2 - 4* x + 3) = 0.
Первая производная равна 0, когда любой из сомножителей = 0. Отсюда следует, что один экстремум будет при x = 0 (на самом деле это 2 совпадающих экстремума, т.к. x^2 - это 2 одинаковых сомножителя). Второй сомножитель - квадратный трёхчлен (Василий Иванович такого даже представить себе не мог - шутка) x^2 - 4* x + 3, имеющий 2 корня - +1 и +3.
Рассмотрим «площадку» при x = 0. Вторая производная: y’’ = 20*x^3 - 60*x^2 + 30*x здесь также = 0, т.е. и точка перегиба тоже здесь. Третья производная: y’’’ = 60*x^2 - 120*x + 30 положительна при x = 0. Это значит, что слева от 0 обе младших производных и сама функция будут уменьшаться, а справа от 0 – увеличиваться. В точке экстремума +1 вторая производная (y’’ = 20*x^3 - 60*x^2 + 30*x = 20 – 60 + 30 = -10) отрицательна, т.е. это максимум (подставив x = 1 в исходную функцию, получаем y(1) = +2). Третий экстремум
при x = +3 вышел за пределы отрезка. Далее подстановка даёт: y(-1) = -10, y(+2) = -7. Таким образом, наибольшее значение функции - y(1) = +2, а наименьшее значение - y(-1) = -10.
Ответ отправил: SFResid (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 25.03.2007, 10:42
Вопрос № 79.586
Помогите решить пределы функции, пользуясь правилом Лапиталя:
lim (ln (п/2-arctgx))/(ln(1+x^2))
x- к бесконечности
lim (x^3-4x^2+4x)/(x^3-12x+16)
x- 2
Отправлен: 24.03.2007, 09:11
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, BusLnka!
Второй предел
Производная числителя 3x^2-8x+4------->12-16+4=0
x->2
Производная числителя 3x^2-12----------->12-12=0
x->2
Ищем вторые производные: числителя 6x-8----------->12-8=4
x->2
знаменателя: 6x---------> 12
x->2
Т.о. предел равен 4/12, что равно 1/3.
Ответ отправила: Яна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 24.03.2007, 09:33
Ответ отправил: spaar (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 24.03.2007, 09:52
Вопрос № 79.604
Доброго времени суток!
Подскажите, пожалуйста, как нужно решать задачку такого характера:
В каком отношении у*у=2х делит площадь круга х*х+у*у=8? Ответ к заданию : (3пи + 2)/(9пи-2)Спасибо! И еще хотела бы спросить как изменяются пределы угла фи при вычислении интеграла при нахождении площади в полярных координатах у трехлепестковой розы(r=a*sin3фи) и лемнискаты Бернулли (r*r=a*a cos2фи)
Заранее ВСЕМ спасибо!!!
С уважением, Галя.
Отправлен: 24.03.2007, 12:01
Вопрос задала: Галя (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: spaar
Здравствуйте, Галя.
Сначала надо найти абсциссу точек пересечения кривых.
Для этого подставим выражение для y^2 из уравнения параболы в уравнение окружности:
x^2 + 2x = 8 .
x^2 + 2x + 1 = 9 ,
(x + 1)^2 = 9 ,
x = 2.
Площадь фигуры, расположенной внутри окружности и параболы, равна удвоенной сумме площадей фигуры, ограниченной верхней веткой параболы и осью OX на интервале от 0 до точки пересечения кривых (x = 2) и фигуры, ограниченной верхней частью окружности и OX на интервале от точки пересечения кривых (x = 2) до точки пересечения окружности и OX (x = 8^0.5).
Т.е.
S1 = 2 * (int{(2x)^0.5}dx |в подстановке от 0 до 2| + int{(8 - x^2)^0.5}dx |от 2 до 8^0.5| = 2 * (2^0.5 * x^1.5 / 1.5 |от 0 до 2| + второй интеграл) = 16 / 3 + 2 * второй интеграл .
Непосредственно вычислять этот второй интеграл, по-моему, неудобно. Лучше найти искомую площадь как разность площадей сектора окружности и соответствующего треугольника. Угол, который составляет радиус, проходящий через точку пересечения кривых, c осью OX
alpha = arccos(2 / 8^0.5) = arccos(1 / 2^0.5) = pi / 4.
Площадь сектора равна половине произведения квадрата радиуса и угла:
Sсегм = 4 * pi / 4 = pi ,
а площадь прямоугольного треугольника внутри этого сектора равна половине произведения длин катетов:
Sтреуг = 2 * 2 / 2 = 2 (в точке пересечения x = y, т.к. alpha = pi / 4).
Теперь можно написать, что
S1 = 16 / 3 + 2 * (pi - 2) = 4 / 3 + 2pi .
S2 = Sокр - S1 = pi * 8 - (4 / 3 + 2pi) = 6pi - 4 / 3.
S1 / S2 = [2pi + 4 / 3] / [6pi - 4 / 3] = [3pi + 2] / [9pi - 2] .
При вычислении площади всей фигуры в полярных координатах угол, думается мне, изменяется в пределах от 0 до 2pi (вернее, он должен изменяться на 2pi, но начинать можно с любого значения; например: от - pi до pi).
Ответ отправил: spaar (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 24.03.2007, 18:03 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо! Все очень доступно и понятно описано! А главное быстро! Пятерка, без сомнения!
