Вопрос № 77642: Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста как решить вот такое уравнение:
1.Найдите все решения уравнения tg(x+pi/4)=-ctg(4x) на промежутке (0;pi )
И такое:
2. Найти множетсво значений функции y=co3x^0.5 - cos3x.
У меня полу...Вопрос № 77651: Составить уравнение линии,каждая точка которой отстоит от точки А(-4;0) втрое дальше, чем от начала координат....Вопрос № 77694: Никак не могу решить эту задачу. Поэтому искренне прошу оказать мне помощь!
Итак уважаемые знатоки внимание вопрос!
Два тела при движении по окружности в одном и том же направлении встречаются каждые 56мин. Если бы они двигались с теми же ско...
Вопрос № 77.642
Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста как решить вот такое уравнение:
1.Найдите все решения уравнения tg(x+pi/4)=-ctg(4x) на промежутке (0;pi )
И такое:
2. Найти множетсво значений функции y=co3x^0.5 - cos3x.
У меня получается 0, но мне кажется что это неправильно.
Отвечает: Яна
Здравствуйте, Шмелёв ИванКонстантинович!
Первую задачу я бы решала следующим образом:
Перенести правую часть налево, получим выражение типа f(x)=0
Найти производную от нее. Разделить исходный промежуток на участки, где функция монотонна. Проверить значения функции на концах этих отрезков. Если они разного знака на этом отрезке должн быть 0. Его вероятно несложно угадать.
Вторая задача решается следующим образом:
нужно найти максимум и минимум этой функции. Это можно сделать, найдя нули ее производной. Область значений это отрезок от минимума до максимума, т.к. функция непрерывна. Вы недостаточно четко сформулировали условие. Возможно еще стоит подумать про ОДЗ. Тогда функция непрерывна на каждом участке ОДЗ и максимум и мимнимум нужно искать на каждом из этих участков. Тогда область значений может состоять из объединения нескольких таких отрезков.
Ответ отправила: Яна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 13:29 Оценка за ответ: 5
Отвечает: spaar
Здравствуйте, Иван.
1. ОДЗ для промежутка (0, pi) : x ≠ pi / 4 .
Если сделать замену
z = x + pi / 4 , то уравнение станет таким:
tg(z) = - ctg(4z - pi) ; {значение ctg при изменении аргумента на pi не менятся}
tg(z) + ctg(4z) = 0 ; {данное выражение можно привести к общему знаменателю, который не равен нулю в соответствии с ОДЗ}
[sin(z) * sin(4z) + cos(z) * cos(4z)] / [cos(y) * sin(4y)] = 0 , т.е.
sin(z) * sin(4z) + cos(z) * cos(4z) ; {следует вспомнить известную формулу косинуса разности}
cos(3z) = 0 ;
3z = pi / 2 + pi * k , k - целое число; значит
x = - pi / 12 + pi * k / 3 ; отвечающие требованиям корни:
7pi / 12 и 11pi / 12 .
Ответ отправил: spaar (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 14:20 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо.Понял.Не поможете со второй? А то что-то она тяжело решается у меня по алгоритму который предложила Яна.
Отвечает: mvp
Здравствуйте, Шмелёв ИванКонстантинович!
2. Поступим по совету Яны. ОДЗ у нас [-pi/6 + (2pi)*n/3; pi/6 + (2pi)*n/3]. Для простоты будем рассматривать промежуток [-pi/6; pi/6] Найдём производную:
((cos 3x)^0.5 - cos 3x)' = 1.5*sin 3x / (cos 3x)^0.5 - 3sin 3x
И приравняем к 0:
1.5sin 3x * (1 - 2(cos 3x)^0.5)/(cos 3x)^0.5 = 0
cos 3x = 0 при х=+/- pi / 6 и функция в этих точках равна 0. Имеем
sin 3x = 0 или 1 - 2(cos 3x)^0.5 = 0;
первое ур-ие имеет корни x = 2pi * n / 3. Второе -
cos 3x = 1/4
3x = arccos(1/4)
x = arccos(1/4)/3
y(arccos(1/4)/3) = cos(arccos(1/4)) ^ 0.5 - cos(arccos(1/4)) = (1/4)^0.5 - 1/4 = 1/4
Других точек равенства нулю производных нет. Т. к. ф-ия непрерывна в ОДЗ (кроме концов отрезков), таким образом мн-во значений функции [0; 1/4]
P. S. Естественно, смотрим внимательно, может я где призводную неправильно выщитал :)
--------- Моя совесть чиста - не бывшая в употреблении
Ответ отправил: mvp (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.03.2007, 18:23
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Шмелёв ИванКонстантинович!
1. Для решения уравнения используем следующие, известные из тригонометрии, соотношения:
tg(z) = tg(z + pi*n), где n – любое целое число; (1)
ctg(z) = ctg(z + pi*n), где n – любое целое число; (2)
ctg(z) = tg(pi/2 - z); (3)
-ctg(z) = tg(z - pi/2); (4)
После соответствующих подстановок исходное уравнение преобразуется к виду:
tg(x + pi*(n + 1/4)) = tg(4*x – pi*(m - 1/2)), (5)
где n и m – произвольные целые числа.
От равенства тангенсов переходим к равенству аргументов:
x + pi*(n + 1/4) = 4*x – pi*(m - 1/2),
или, после раскрытия скобок и приведения подобных:
3*x = pi*(3/4 + k), где k = m – n - произвольное целое число.
Теперь переводим радианы в градусы (pi* = 180 град.), раскрываем скобки и перемножаем:
3*x = 135 + 180*k,
откуда:
x = 45 + 60*k (градусов).
Следовательно:
при k = 0, x = 45 (градусов);
при k = 1, x = 105 (градусов);
при k = 2, x = 165 (градусов).
при k > 2 или k < 0 мы выходим за пределы указанного в условии интервала 0 - pi* = 0 - 180 град.
Проверяем подстановкой в исходное уравнение:
tg(105 + 45) = tg(150) = tg(180 – 30) = -tg(30) = -1/sqrt(3) = -0.577350269
-ctg(4*105) = -ctg(420) = -ctg(420 – 2*180) = -ctg(60) = -tg(90 – 60) = -tg(30) = -1/sqrt(3) = -0.577350269
tg(165 + 45) = tg(210) = tg(180 + 30) = tg(30) = 1/sqrt(3) = 0.577350269
-ctg(4*165) = -ctg(660) = -ctg(660 – 3*180) = -ctg(120) = -tg(90 – 120) = -tg(-30) = tg(30) = 1/sqrt(3) = 0.577350269.
Эти результаты проверены на пакете Excel путём прямой подстановки углов 105, 165, 420 и 660 градусов.
С углом 45 градусов сложнее – получаются tg(90) и -ctg(180) – значения не определённые (равные бесконечности). Попробуем вычислить предел отношения tg(x + 45)/(-ctg(4*x)) при x => 45 (градусов). Чтобы не делить бесконечность на бесконечность, заменим числитель и знаменатель дроби их обратными величинами и поменяем их местами.
Величина, обратная tg(x + 45) будет ctg(x + 45) или tg(90 – (x + 45)) = tg(45 - x).
Величина, обратная -ctg(4*x) будет -tg(4*x) или tg(-4*x) = tg(180 - 4*x) = tg(4*(45 - x)).
Таким образом, ищем предел дроби tg(4*(45 - x))/tg(45 - x) при x => 45 (градусов), или, заменив переменную:
45 – x = u,
предел дроби:
tg(4*u)/tg(u) при u => 0.
Но при малых аргументах отношение тангенсов стремится к отношению аргументов, т.е. к 4*u/u = 4.
Следовательно, при x = 45 (градусов) точного равенства левой и правой части в исходном уравнении не будет, и это решение надо отбросить как неверное.
Для проверки отношение левой и правой части в исходном уравнении вычислялось на пакете Excel при значениях x, близких к 45 градусам. Результаты:
при x = 44 град. левая часть равна 57.28996163, правая часть равна 14.30066626, отношение 4.006104373;
при x = 44.5 град. лев. часть = 114.5886501, пр. часть = 28.63625328, отношение 4.001523838;
при x = 44.9 град. лев. часть = 572.9572134, пр. часть = 143.2371217, отношение 4.000060925;
при x = 44.95 град. лев. часть = 1145.915299, пр. часть = 286.477734, отношение 4.000015231.
2. Что касается этой задачи, то в условии явная опечатка - y=co3x^0.5 - cos3x (скопировано из текста вопроса). co3x^0.5 – что это? Лучше всего уточнённый текст прислать отдельным вопросом, т.к. повторный ответ на вопрос с тем же номером портал не примет. Советую также в тексте вопроса указать свой e-mail, тогда все уточнения можно будет выяснять путём прямой переписки.
Ответ отправил: SFResid (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 11.03.2007, 12:33 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: по воторому. co3x^0.5- это cos3x под корнем, или в степени 1/2 или 0.5. Я не знаю как по другому обозначить выражение под корнем...
Вопрос № 77.651
Составить уравнение линии,каждая точка которой отстоит от точки А(-4;0) втрое дальше, чем от начала координат.
Отправлен: 09.03.2007, 14:03
Вопрос задал: Айболит (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 6)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, Айболит!
(x+4)^2+y^2 - квадрат расстояния до точки A
x^2+y^2 - квадрат расстояния до начала координат
Уравнение:
9*((x+4)^2+y^2)=(x^2+y^2)
Уравнение готово, возможно его нужно привести к какому-либо стандартному виду - но это не указано в условии.
Ответ отправила: Яна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 14:11 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Почему Вы не в той части равенства поставили 9? Все равно я приятно удивлен.
Отвечает: wils0n
Здравствуйте, Айболит!
Поправлю предыдущего эксперта.
Квадрат расстояния от точки (x,y) до (-4,0) равняется
(x+4)^2+y^2
квадрат расстояния от точки до начала координат
x^2+y^2
Так как первое расстояние в три раза больше, то квадрат в 9 раз больше.
Значит
(x+4)^2+y^2 = 9 (x^2+y^2)
преобразования дают
x^2+8x+16=9x^2+9y^2
8x+16 = 8x^2+8y^2
x^2-x + y^2 = 2
x^2 - x + 1/4 + y^2 = 2+ 1/4
(x-1/2)^2 + y^2 = (3/2)^2
Удачи
--------- Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom
Ответ отправил: wils0n (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 14:18 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо.Я почему-то искал линию 1 порядка.Приятно удивлен.Спасибо Яне.Кажется,только у окружности все точки могут быть равноудалены от заданой.
Отвечает: Nacre
Здравствуйте, Айболит!
Расстояние до О в квадрате: x^2+y^2
Расстояние до A в квадрате: x^2+(y+4)^2
9(x^2+y^2)=x^2+(y+4)^2
Откуда
x^2+y^2=y+2
Ответ отправила: Nacre (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 14:44 Оценка за ответ: 3 Комментарий оценки: Расстояние до А в квадрате : (х+4)^2+y^2.Обычно подобные уравнения доводят до канонического вида.Но во всяком случае стоило указать что это окружность.1 грубая и 1 "и не очень" ошибка.
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Айболит!
Общая формула для расстояния между точкой с переменными координатами x, y и точкой с постоянными координатами xc, yc:
R^2 = (x – xc)^2 + (y – yc)^2.
Для расстояния между точкой с переменными координатами x, y и началом координат:
xc = 0, yc = 0, и R0^2 = x^2 + y^2. (1)
Для расстояния между точкой с переменными координатами x, y и точкой А(-4;0):
xc = -4, yc = 0, и RА^2 = (x +4)^2 + y^2. (2)
По условию RА = 3*R0, следовательно RА^2 = 9*R0^2. (3)
Подставляем (1) и (2) в (3):
(x +4)^2 + y^2 = 9*(x^2 + y^2) (4)
Раскрываем скобки:
x^2 + 2*4*x + 16 + y^2 = 9*x^2 + 9*y^2 (5)
Приводим подобные члены:
8*x + 16 = 8*x^2 + 8*y^2, (6)
откуда:
y^2 = x + 2 - x^2, (7)
или:
y = +-SQRT(x + 2 - x^2) (8)
Поскольку аргумент функции квадратного корня не может быть меньше 0, определяем крайние значения x из квадратного уравнения:
x^2 – x – 2 = 0; решение даёт для x: минимум -1, максимум +2; экстремальные значения y (при x =0,5) +-1,5.
(7) или (8) – уравнение окружности радиусом 1.5 с центром в точке (0.5;0).
Ответ отправил: SFResid (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 12.03.2007, 01:31
Вопрос № 77.694
Никак не могу решить эту задачу. Поэтому искренне прошу оказать мне помощь!
Итак уважаемые знатоки внимание вопрос!
Два тела при движении по окружности в одном и том же направлении встречаются каждые 56мин. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 8мин. При движении в противоположных направлениях расстояние между сближающимися телами уменьшилось на 14м за 24 с. Найдите скорость каждого тела.
Спасибо за внимание. Если вы ответите, буду очень благодарен!
Отправлен: 09.03.2007, 21:05
Вопрос задал: Timon (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Павел Владимирович
Здравствуйте, Timon!
Обозначим скорости как x и y; х - большая скорость
Из последнего условия найдем суммарную скорость:
x+y=14*60/24=35 м/мин
Из второго - длину окружности
8*35=280м
Из первого - разность скоростей
х-у=280/56=5 м/мин
Сложив первое и последнее уравнения получим
2х=40
Откуда х=20 у=15
Ответ отправил: Павел Владимирович (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 09.03.2007, 21:15 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Здравствуйте Огромнейшее вам спасибо! Вы мне действительно
сильно помогли!
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Timon!По моему это задача по физике ,а не по математике.Будем считать что ускорение обеих тел равно нулю.Пусть L - длина данной окружности.Наверное,легче искать линейную скорость,а не угловую.Х-скорсть одного тела,Y-скорость другого,пусть X-Y>0.За 56 минут тело с большей скоростью проходит круг догоняя более медленное тело.Значит (Х-Y)*56 мин.=L.По второму пункту тела проходят каждый свою часть круга(опять-таки круг),итого получаем:(Х+У)м/мин*8мин=L.Используя 3 условие находим:(Х+У)м/мин*24ceк=14м.
24сек=2/5минуты.Так получилась система из 3 уравнений.
(Х-У)*56=L
(X+Y)*8=L => X+Y=14*5/2=35 => Подставим "Х+У=35" во второе уравнение.
(X+Y)*(2/5)=14
Получается L=35*8=280.Итак L = 280 метров.Составляем новую систему уравнений.
Х-У=L/56=280/56=5
X+Y=35
Сложив их - получаем : 2*Х=40.Отсюда находим Х=20 м/мин. и У=15м/мин.
Скорость принято измерять в метрах на секунду-переведем полученые величины:1минута=60секунд.
Ответ:Х = 0,3 м/с ; У = 0,25 м/с .
P.S.Павла Владимировича исправить не в чем.
С уважением Айболит.
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 10.03.2007, 01:10 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Здравствуйте Айболит! Огромнейшее вам спасибо! Вы мне действительно
сильно помогли!
