Вопрос № 78221: Помогите решить задачу!
Построить график функции r=1/(2+cosфи) в полярной системе координат по точкам, давая у значения через промежуток пи/12, начиная от у=0, найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, определить, что эт...
Вопрос № 78.221
Помогите решить задачу!
Построить график функции r=1/(2+cosфи) в полярной системе координат по точкам, давая у значения через промежуток пи/12, начиная от у=0, найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, определить, что это за линия.
Отправлен: 14.03.2007, 10:33
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: spaar
Здравствуйте, BusLnka.
Переход от полярной СК к декартовой:
x = r ∙ cos(phi)
y = r ∙ sin(phi).
В данной задаче
x = cos(phi) / [2 + cos(phi)] .
Если решить это уравнение относительно cos(phi), то получается
cos(phi) = 2x / [1 - x] .
При этом
sin(phi) = √(1 - (cos(phi))^2) = √(1 - (2x / [1 - x])^2) = √(1 - 2x - 3x^2) / [1 - x] .
Теперь можно выразить y через x:
y = sin(phi) / [2 + cos(phi)] = (√(1 - 2x - 3x^2) / [1 - x]) ∙ (1 / [2 + 2x / [1 - x]]) = √(1 - 2x - 3x^2) / 2 .
Это уравнение можно преобразовать так:
2y = √(1 - 2x - 3x^2)
4y^2 = 1 - 2x - 3x^2
3x^2 + 2x + 4y^2 = 1
x^2 + (2/3)x + (4/3)y^2 = 1/3
Напомню формулу квадрата суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .
Чтобы получить выражение, аналогичное правой части этого равенства, надо сделать так:
x^2 + (2/3)x + (1/9) - (1/9) + (4/3)y^2 = 1/3 .
Так возможность применения формулы квадрата суммы очевидна.
(x + 1/3)^2 - (1/9) + (4/3)y^2 = 1/3
(x + 1/3)^2 + (4/3)y^2 = 4/9 .
Это уравнение уже похоже на уравнение эллипса.
В общем случае уравнение эллипса с центром в точке (x0, y0), полуоси которого a и b параллельны осям OX и OY соответственно, выглядит так:
(x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 = 1 {каноническое уравнение}.
Наше уравнение можно превратить в каноническое, поделив его на 4/9:
(x + 1/3)^2 / (4/9) + y^2 / (1/3) = 1 .
Вывод: данная фигура - эллипс с центром в точке (-1/3, 0) и полуосями a = 2/3 и b = 1/√3 .
Ответ отправил: spaar (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 14.03.2007, 12:09 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо! Ответ очень граммотный, написан доступно и понятно!
