Консультация # 184459:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Задача по вычислительной математике:

Дана геометрическая фигура. Определить объем и полную поверхность.
Погрешность определения размеров линейных эле-ментов равна 1см.
Цилиндр с главной диагональю равной 100см. и радиусом равным 40см.
(ответ записать так [например: V=520+-33])

Дата отправки: 15.11.2011, 21:22
Вопрос задал: Евгений (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует F®ost (Модератор):

Здравствуйте, Евгений!
Дано:
L = 100 см,
R = 40 см,
Δ = ± 1 см.

Найти:
V - ?, S_п - ?

Решение:
Объем цилиндра определяется по формуле V = π•R²•H,
а площадь полной поверхности S_п = 2π•R•(H + R), где H - высота цилиндра.
Высоту цилиндра находим из теоремы Пифагора: H = √L² - R².
Отсюда можно выразить объем V = π•R²•√L² - R² и площадь поверхности
S_п = 2π•R•(R + √L² - R²).
Теперь подставим значения L и R в полученные формулы с учётом погрешности: т.е. максимальное значение L + Δ = 101 и R + Δ = 41 и минимальное значение L - Δ = 99 и R - Δ = 39.
V_max = 3.14•41²•√101²-39² = 490886 см³.
V_min = 3.14& #149;39²•√99²-41² = 429834 см³.
Из этих двух величин нетрудно вычислить, что V = 460360 ± 30526 см³.
S_max = 2•3.14•41•(41 + √101² - 39²) = 34502 cм².
S_min = 2•3.14•39•(39 + √99² - 41²) = 31594 cм².
Отсюда S_п = 33048 ± 1454 см².

Ответ: V = 460360 ± 30526 см³, S_п = 33048 ± 1454 см².

Консультировал: F®ost (Модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 01:13

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184460:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Вопрос по вычислительной математике:

Построить интерполяционный полином Лагранжа. И выполнить проверку.
Дана табица

| i | x | y |
| 0 | -1 | 2 |
| 1 | -1/2 | 1 |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | 1/2 | 2 |

Дата отправки: 15.11.2011, 21:34
Вопрос задал: Евгений (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Евгений!
Составляем элементарные многочлены, отвечающие заданным узлам:
x=-1 ---> L₀(x)=(x+1/2)x(x-1/2)/(-1+1/2)(-1)(-1-1/2)=-(4/3)(x+1/2)x(x-1/2)
x=-1/2 ---> L₁(x)=(x+1)x(x-1/2)/(-1/2+1)(-1/2)(-1/2-1/2)=4(x+1)x(x-1/2)
x=0 ---> L₂(x)=(x+1)(x+1/2)(x-1/2)/(0+1)(0+1/2)(0-1/2)=-4(x+1)(x+1/2)(x-1/2)
x=1/2 ---> L₃(x)=(x+1)(x+1/2)x/(1/2+1)(1/2+1/2)(1/2+0)=(4/3)(x+1)(x+1/2)x
Интерполяционный многочлен:
L(x)=2*L₀(x)+1*L₁(x)+(-1)*L₂(x)+2*L₃(x)=
=(-8/3)(x+1/2)x(x-1/2)+4(x+1)x(x-1/2)+4(x+1)(x+1/2)(x-1/2)+(8/3)(x+1)(x+1/2)x
Проверка:
L(-1)=2+0+0+0=2
L(-1/2)=0+1+0+0=1
L(0)=0+0-1+0=-1
L(1/2)=0+0+0+2=2

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 15.11.2011, 22:21

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184462:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
URL >>



При решении просьба учитывать, что решает 11 классник
Всем заранее спасибо!

Дата отправки: 15.11.2011, 23:39
Вопрос задал: Алекс (5-й класс)
Всего ответов: 4
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Алекс!
14) Согласно свойствам показательной функции (1/3)^|x|≤1, причем равенство имеет место только при x=0.
С другой строны, x²+1≥1, причем равенство имеет место только при x=0.
Отсюда следует, что (1/3)^|x|≥x²+1 <---> x=0.
Ответ: x=0.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 16.11.2011, 00:05 5 нет комментария ----- Дата оценки: 16.11.2011, 07:34

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Алекс!

О том, как построить первый из требуемых графиков, Вы можете прочитать, воспользовавшись этой ссылкой.

Рассмотрим задание 9:
а) (1/36)^-x = √(1/6),
(6^-2)^-x = (6^-1)^1/2,
2x = -1/2,
x = -1/4;
б) 3 · 5^{2x - 1} - 2 · 5^x = 5,
5^x = y,
3/5 · y² - 2y = 5,
3/5 · y² - 2y - 5 = 0,
3y² - 10y - 25 = 0,
D = 100 + 300 = 400, √D = 20,
y₁ = (10 - 20)/6 < 0 - не может быть корнем рассматриваемого уравнения, потому что y = 5^x > 0,
y₂ = (10 + 20)/6 = 5,
y = 5^x = 5 ⇒ x = 1.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 01:11 5 нет комментария ----- Дата оценки: 16.11.2011, 07:34

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор):

Здравствуйте, Алекс!
1б)y=log_1/3(x) - 3
1) Строим график функции y = log₃(x)
Вспоминаем основные моменты:
а) Функция определена на (0, +∞)
б) при x→0 y→-∞
в) y(1) = 0
2) Строим график функции y = log_1/3(x)
log_1/3(x) = log₃(x^-1) = - log₃(x)
Т.е, график функции y = log_1/3(x) симметричен относительно оси Ox
3) Строим график функции y = log_1/3(x) - 3
Вычитание тройки приводит к опусканию графика y = log_1/3(x) на три единицы
Узнаем, в какой точке график пересекает ось Ox
log_1/3(x) - 3 = 0 ⇒ x = 1/27



9а)







12а)
log_1/7127/7 и 0.5^1/5
Т.к. 1/7 < 1, a 127/7 > 1, то log_1/7127/7 < 0
Величина 0.5^1/5 > 0
Значит, log_1/7127/7 < 0.5^1/5

12б)
log₃2000 и 500^1/3
Рассмотрим log₃2000
Найдем число N такое, что 3^N будет наиболее близко к 2000
Это будет 9, т.к. 3⁹ = 19683
Тогда log₃2000 > log₃19683 = 9
Рассмотрим 500^1/3
Также легко найти число, близкое к 500, и из которого извлекается нацело кубический корень
Это будет 512, т.к. 512^1/3 = 8
Тогда 500^1/3 < 512^1/3 = 8
А тогда log<sub>32000 > log319683 = 9 > 8 = 512^1/3 > 500^1/3
Т.е. log32000 > 500^1/3

13)

Сначала рассмотрим область определения:


Упрощаем неравенство:






Т.к. 6*7^x + 2 > 0, то решением будет:


Откуда x < -1. Область определения ничего не меняет.
Ответ: x < -1</sub>

Консультировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 01:52 5 нет комментария ----- Дата оценки: 16.11.2011, 07:35

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор):

Здравствуйте, Алекс!
Решения заданий 9, 10 и 11 в приложенном файле

Консультировал: Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 02:32 Прикреплённый файл: посмотреть » [24.5 кб] 5 нет комментария ----- Дата оценки: 16.11.2011, 07:35

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184465:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
разложить функцию f(x)=ABS(x) в ряд Фурье на промежутке от [-1;1].

Дата отправки: 16.11.2011, 01:31
Вопрос задал: Марина (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Марина!

График функции y = ABS (x) = |x|, определённой на отрезке [-1; 1], представляет собой совокупность двух отрезков: отрезка прямой y = -x, идущего от точки (-1; 1) к точке (0; 0), и отрезка прямой y = x, идущего от точки (0; 0) к точке (1; 1). График функции симметричен относительно оси ординат, а сама функция является чётной, т. е. y(-x) = y(x).




Литература
Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2. - СПб: Политехника, 2003. - 477 с.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 09:31 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 15:50

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184467:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Исследовать на сходимость ряд от 1 до бесконечности: ((-1)^n)*sin(pi/(2^n))

Дата отправки: 16.11.2011, 03:46
Вопрос задал: Марина (Посетитель)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Марина!
Модуль общего члена ряда
|a_n|=sin(pi/2ⁿ)
эквивалентен pi/2ⁿ
Так как ряд с общим членом pi/2ⁿ является геометрической прогрессией со знаменателем q=1/2, то он сходится.
По признаку сравнения сходится и исходный ряд.

Ответ: сходится.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 16.11.2011, 09:33

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Марина!

Заданный ряд является знакопеременным. При n → ∞ a_n = (-1)ⁿ · sin (π/2ⁿ) → 0, следовательно, ряд может сходиться, поскольку члены его стремятся к нулю не монотонно.

Рассмотрим теперь ряд _{n = 1}∑^∞sin (π/2ⁿ). Сравнивая его со сходящимся рядом _{n = 1}∑^∞π/2ⁿ, эквивалентным ряду Дирихле _{n = 1}∑^∞1/2ⁿ, устанавливаем его сходимость по первому признаку сравнения (sin (π/2ⁿ) < π/2ⁿ).

Значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 09:55

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Дроздов Андрей (6-й класс):

Здравствуйте, Марина!

Консультировал: Дроздов Андрей (6-й класс) Дата отправки: 16.11.2011, 10:56 5 нет комментария ----- Дата оценки: 16.11.2011, 14:34

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184469:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ петли кривой

Дата отправки: 16.11.2011, 07:49
Вопрос задал: Богомолова КА (6-й класс)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Кривенко Евгений Владимирович (7-й класс):

Здравствуйте, Богомолова КА!
4y²=x(2-x)²

y=√(X(2 - X)²/4) =((2-x)/2)√X

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой y=f(x), a≤X≤b вокруг оси 0X, можно вычислить по формуле:

петля кривой находится в диапазоне 0≤X≤2



~5.2914969325380758841049318902446

Консультировал: Кривенко Евгений Владимирович (7-й класс) Дата отправки: 16.11.2011, 17:48

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор):

Здравствуйте, Богомолова КА!

Вот решение интеграла:




Второй интеграл легко сводится к табличному:




Первый интегрируем по частям:




Перенося искомый интеграл из правой части в левую и деля на 2, получаем:






Отсюда

Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор) Дата отправки: 18.11.2011, 09:57 5 нет комментария ----- Дата оценки: 18.11.2011, 14:49

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 184473:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Заранее всем спасибо!

Дата отправки: 16.11.2011, 15:09
Вопрос задал: Алекс (5-й класс)
Всего ответов: 4
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Алекс!
4) y(1)=(7/4)+1=11/4
y'(x)=x^-3/7-3x^-4
y'(1)=1-3=-2
Уравнение касательной:
y=y(1)+y'(1)(x-1)
y=11/4-2(x-1)=(19/4)-2x
Ответ: y=(19/4)-2x

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 16.11.2011, 15:34 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 17:23

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор):

Здравствуйте, Алекс!
2)(a^5/2 + 2a^1/2)² - (a^5/2 - 2a^1/2)² = (*)
Воспользуемся формулой разности квадратов a² - b² = (a - b)(a + b)
(*) = (a^5/2 + 2a^1/2 - a^5/2 + 2a^1/2)(a^5/2 + 2a^1/2 + a^5/2 - 2a^1/2) = 4a^1/2 2a^5/2 = 8a³

3) x^-4/3 - 2x^-2/3 - 8 = 0
Делаем замену: x^-2/3 = t
t² - 2t - 8 = 0
Решаем квадратное уравнение, получаем два корня: t = -2 и t = 4
t = -2 отбрасываем, т.к. x^-2/3 > 0
x^-2/3 = 4 ⇒ x = 1/8

5) Функция, стоящая слева от знака ≥, монотонно убывает и определена на интервале [-1, +∞)
Функция, стоящая справа, монотонно возрастает и определена на интервале [0, +∞)
При этом x = 0 является решением уравнения (x+1)^-7/9 = x^9/7 + 1
А это значит, что решением неравенства будет единственная точка x = 0

Консультировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 15:43 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 17:22

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор):

Здравствуйте, Алекс!

1а) 81^1/4 + (1/2)^-3 = (3⁴)^1/4 + (2^-1)^-3 = 3¹ + 2³ = 3 + 8 = 11;

1б) (2^1/3+1)(2^2/3-2^1/3+1) = (2^1/3+1)((2^1/3)²-2^1/3·1+1²) = (2^1/3)³ + 1³ = 2 + 1 = 3;

6) Запишем уравнение в виде z³ = 27 = 27e^i·2πk, k∈Z. Тогда z = 3e^i·2πk/3, что даёт нам три корня:
при k = 0 - z = 3e^i·0 = 3;
при k = 1 - z = 3e^i·2π/3 = 3(cos 2π/3 + i·sin 2π/3) = -3/2 + i·3√3/2;
при k = 2 - z = 3e^i·4π/3 = 3(cos 4π/3 + i·sin 4π/3) = -3/2 - i·3√3/2.

Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор) Дата отправки: 16.11.2011, 17:04 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 17:23

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал):

Здравствуйте, Алекс!

1a)


1б)


6.

Консультировал: Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал) Дата отправки: 16.11.2011, 17:19 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 17:23

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184478:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Дата отправки: 16.11.2011, 19:20
Вопрос задал: Александр Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 5
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
6) Коэффициенты степенного ряда
c_n=1/((√n)3ⁿ)
Радиус сходимости
R=lim|c_n|/|c_n+1|=lim(√(n+1)3ⁿ⁺¹)/(√n)3ⁿ=3
Интервал сходимости (-R;R)=(-3;3)
Поведение на концах интервала:
а) x=-3, получаем ряд с общим членом (-1)ⁿ/√n.
Это знакочередующийся ряд с модулями общего члена (1/√n) монотонно убывающими к нулю.
По признаку Лейбница ряд сходится.
б) x=3, получаем ряд с общим членом 1/√n.
Это ряд степенного типа 1/n^α. Известно, что при α>1 ряд сходится,
а при α≤1 ряд расходится. В нашем случае α=1/2<1 ---> ряд расходится.

Ответ: интервал сходимости (-3;3). При x=-3 ряд сходится, при x=3 ряд расходится.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 16.11.2011, 20:40 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 16:39

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор):

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
5) Посчитаем члены ряда для n=0, 1, ...
Будем находить до тех пор, пока модуль очередного члена не будет меньше ε
n = 0, x₀ = 1/(1*1) = 1
n = 1, x₁ = -1/(3*2) = -1/6
n = 2, x₂ = 1/(9*3) = 1/27
n = 3, x₃ = -1/(27*4) = -1/108
n = 4, x₄ = 1/(81*5) = 1/405
n = 5, x₅ = -1/(243*6) = -1/1058, |-1/1058| < ε
∑ ≈ x₀ + x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ ≈ 0.8626
N=6

Консультировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) Дата отправки: 16.11.2011, 21:15 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 16:39

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise (Профессор):

Здравствуйте, Александр Сергеевич!
10.

Решение можно скачать по ссылке.
скачать
Будут вопросы обращайтесь в минифорум.
Удачи

Консультировал: Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise (Профессор) Дата отправки: 17.11.2011, 06:07 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 16:39

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Александр Сергеевич!

Рассмотрим задание 8.

Находим члены разложения:
f(x) = cos² x, f(0) = cos² 0 = 1;
f'(x) = -2 · cos x · sin x = -sin 2x, f'(0) = -sin 0 = 0;
f"(x) = -2 · cos 2x, f"(0) = -2 · cos 0 = -2;
f'''(x) = 4 · sin 2x, f'''(0) = 4 · sin 0 = 0;
f^IV(x) = 8 · cos 2x, f^IV(0) = 8 · cos 0 = 8;
f^V(x) = -16 · sin 2x, f^V(0) = -16 · sin 0 = 0;
f^VI(x) = -32 · cos 2x, f^VI(0) = -32 · cos 0 = -32;
...

При четырёх членах разложения в ряд в окрестности точки x₀ = 0 получаем
cos² x ≈ 1 - 2x²/2! + 8x⁴/4! - 32x⁶/6! = 1 - x² + x⁴/3 - 2x⁶/45,
что при x = x₁ = 1 даёт
f(1) = cos² 1 ≈ 1 - 1 + 1/3 - 2/45 = 13/4 5.

Для нахождения интервала сходимости разложения запишем его в общем виде:
cos² x = 1 + ∑_{n = 1}^∞(-1)ⁿ(2^{2n - 1}x²ⁿ/(2n)!)
и выразим коэффициент при общем члене:
a_n = (-1)ⁿ(2^{2n - 1}/(2n)!).

Тогда при n → ∞ |a_n/a_{n + 1}| = |(2^{2n - 1}/(2n)!) : (2²ⁿ/(2(n + 1)!)| = 1/2 · (2n + 1) · 2(n + 1) = (n + 1)(2n + 1) → ∞, следовательно, радиус сходимости разложения R = ∞, а интервал сходимости - |x| < ∞.

Погрешность α, допускаемая при вычислении, меньше абсолютной величины пятого члена разложения, т. е. α < 2⁷/8! = 128/40320 = 1/315.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 17.11.2011, 11:29 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 16:40

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Дроздов Андрей (6-й класс):

Здравствуйте, Александр Сергеевич!

Консультировал: Дроздов Андрей (6-й класс) Дата отправки: 17.11.2011, 16:35 5 нет комментария ----- Дата оценки: 17.11.2011, 16:40

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль