Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Ноябрь 2011   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Орловский Дмитрий
Статус: Советник
Рейтинг: 6475
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise
Статус: Профессор
Рейтинг: 5321
∙ повысить рейтинг » 		Роман Селиверстов
Статус: Советник
Рейтинг: 3020
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1545
Дата выхода:14.11.2011, 01:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:126 / 199
Вопросов / ответов:2 / 3

Консультация # 184405: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: А - линейный оператор в пространстве многочленов степени не больше n (P_n). Найти матрицу оператора в каноническом базисе, а также ядро и образ оператора. 1. [(t+1)p(t)]' 2. [tp(t+1)]' 3. (t+1)p'(t) 4. tp'(t+1) 5. [tp'(t)]' 6. [tp(t-2)]...

Консультация # 184406: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Линейный оператор А в пространстве V3 геометрических векторов определяется действием отображения а на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства. 1) Найти матрицу линейного оператора А в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе i,j,k. 2) В какую точку тре...

Консультация # 184405:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

А - линейный оператор в пространстве многочленов степени не больше n (P_n). Найти матрицу оператора в каноническом базисе, а также ядро и образ оператора.

1. [(t+1)p(t)]'
2. [tp(t+1)]'
3. (t+1)p'(t)
4. tp'(t+1)
5. [tp'(t)]'
6. [tp(t-2)]'
7. tp'(t)-p(t+1)

Дата отправки: 08.11.2011, 14:22
Вопрос задал: Олег (4-й класс)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Олег!
1) базис e1=1, e2=t, e3=t2,...,en+1=tn
Ae1=(t+1)'=1=e1
Ae2=[(t+1)t]'=[t2+t]'=2t+1=e1+2e2
Ae3=[(t+1)t2]'=[t3+t2]'=3t2+2t=2e2+3e3
........................................
Aen+1=[(t+1)tn]'=[tn+1+tn]'=(n+1)tn+ntn-1=nen+(n+1)en+1
Записывая координаты векторов в столбцы, получаем матрицу оператора:
1 1 0 ... 0
0 2 2 ... 0
0 0 3 ... 0
................
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... n
0 0 0 ... n+1

Ядро оператора - это многочлены, для которых [(t+1)p(t)]'=0, т.е. (t+1)p(t)=C или
p(t)=C/(t+1). Эта функция являетс многочленом только при C=0. Следовательно, оператор
им еет нулевое ядро.

Из того, что ядро оператора равно нулю следует, что оператор обратим. У такого оператора образ совпадает со всем пространством.

2) базис e1=1, e2=t, e3=t2,...,en+1=tn
Ae1=t'=1=e1
Ae2=[t(t+1)]'=[t2+t]'=2t+1=e1+2e2
Ae3=[t(t+1)2]'=[t3+2t2+t]'=3t2+4t+1=e1+4e2+3e3
........................................
Aek=[t(t+1)k-1]'=[t(Ck-10+Ck-11t+Ck-12t2+...+Ck-1k-1tk)]'=
=Ck-10+2Ck-11t+3Ck-12t2+...+kCk-1k-1tk)=Ck-10e1+2Ck -11e2+3Ck-12e3+...+kCk-1k-1ek
........................................

Записывая координаты векторов в столбцы, получаем матрицу оператора:
1 1 1 ... Ck-10 ...............Cn0
0 2 4 ... 2Ck-11.............2Cn1
0 0 3 ... 3Ck-12...............3Cn2
.............................................
............. kCk-1k-1..........kCnk-1
.............................................
0 0 0 ...... 0 ................(n+1)Cnn

Определитель матрицы является верхнетреугольныи и равен произведению диагональных элементов
Det=1*2*3*...*(n+1)
т.е. отличен от нуля. Следовательно, оператор обратим, а поэтому его ядро нулевое и образ совпадает со всем п ространством.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник)
Дата отправки: 08.11.2011, 15:07

5
Огромное спасибо!!!
-----
Дата оценки: 10.11.2011, 17:55
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 184406:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Линейный оператор А в пространстве V3 геометрических векторов определяется действием отображения а на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу линейного оператора А в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе i,j,k.
2) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1:0;0) под действием отображения a.

a) Отражение относительно плоскости x+y+z=0
б) Поворот на 180 градусов вокруг оси x=y=z
в) Проектирование на ось x=y/2=z
г) Проектирование на плоскость x+y+z=0.

Дата отправки: 08.11.2011, 14:27
Вопрос задал: Олег (4-й класс)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор):

Здравствуйте, Олег!

В качестве подходящего базиса выберем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости x+y+z=0 - (-1, 0, 1), (0, -1, 1), и вектор нормали к этой плоскости - (1, 1, 1). Очевидно, что в этом базисе данная плоскость является координатной, поэтому при отражении любой точки относительно неё первые две координаты точки в выбранном базисе не меняются, а третья меняет знак. Следовательно, в этом базисе оператор A имеет матрицу



Матрица P перехода от канонического базиса i, j, k к выбранному нами подходящему будет иметь вид



Матрица оператора A в каноническом базисе i, j, k будет равна


Соответственно, точка с координатами в каноническом ба зисе (1, 0, 0), перейдёт под действием отображения a в точку

Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор)
Дата отправки: 08.11.2011, 18:25

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 09.11.2011, 16:20
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Олег!

Рассмотрим задание б. Из уравнения x = y = z прямой, заданной в каноническом виде, следует, что эта прямая проходит через начало координат, а её направляющим вектором является n = (1; 1; 1) = 1i + 1j + 1k. Если принять эту прямую за координатную в подходящей системе координат, то в этой координата любой точки вдоль этой оси не изменится, а две другие координаты поменяют свой знак.

Нетрудно видеть, что направляющий вектор прямой одновременно является нормальным вектором плоскости x + y + z = 0, рассмотренной при решении задания а. Взяв, например, векторы l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 1) за базисные, установим, что в базисе {l, m, n} оператор A задаётся матрицей

а переход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Най дём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного поворота точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание в. Направляющим вектором оси x = y/2 = z является n = (1; 2; 1). Он же является нормальным вектором плоскости π: x + 2y + z = 0, проходящей через начало координат. Примем этот вектор за один из базисных в "подходящем" базисе, а в качестве двух других примем векторы, расположенные в плоскости π, например, l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 2). При проецировании любой точки на заданную ось в этом базисе её координата вдоль данной оси не изменится, а две другие станут равными нулю.

Поэтому оператор A можно задать матрицей

а пе реход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Найдём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного отображения точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание г. Примем тот же "подходящий" базис, что и при решении задания б. В результате проецирования точки на ставшую координатной плоскость x + y + z = 0 две координаты точки не изменятся, а третья станет равной нулю. Тогда




Значит, под действием заданного преобразования точка (1; 0; 0) перейдёт в точку


Понятно, что выполнить матричные вычисления вручную было бы слишком тяжёлым испытанием, поэтому прилагаю соответствующую электронную таблицу, которую Вы можете загрузить, воспользовавшись этой ссылкой.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 08.11.2011, 20:18

5
Спасибо!
-----
Дата оценки: 09.11.2011, 16:20
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.33 от 10.09.2011
В избранное