Консультация # 184390:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Помогите вычислить интегралы

Дата отправки: 06.11.2011, 15:19
Вопрос задал: Петька (Посетитель)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Дроздов Андрей (4-й класс):

Здравствуйте, Петька!
Ответ на ваш вопрос по первым трем интегралам:

Консультировал: Дроздов Андрей (4-й класс) Дата отправки: 06.11.2011, 17:48

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Петька!
Решение 4 задачи в прикрепленном файле

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 06.11.2011, 21:11 Прикреплённый файл: посмотреть » [24.2 кб]

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Петька!

Учитывая Ваше пожелание использовать вычеты при интегрировании, сделанное в мини-форуме консультации, привожу ниже соответствующее решение первого задания.



Как видите, в данном случае применение вычета никаких преимуществ не даёт.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 07.11.2011, 09:57

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184392:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Точки А₁, А₂, А₃, А₄ являются вершинами пирамиды. Вычислить:
1) длину ребра А₁А₂;
2) угол между ребрами А₁А₂ и А₃А₂;
3) площадь грани А₁А₂А₃;
4) объем пирамиды;
5) уравнение прямой А₁А₃;
6) уравнение плоскости А₂А₃А₄;
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А₁ на грань А₂А₃А₄;
8) длину этой высоты.
Сделать чертеж.

А₁(2;–4;–3), А₂(5;–6; 0), А₃(–1; 3;–3), А₄(–10;–8; 7).

Дата отправки: 06.11.2011, 16:25
Вопрос задал: Посетитель - 384181 (Посетитель)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Посетитель - 384181!
1)

2)


3)

4)
Объем пирамиды равен смешанному произведению векторов, разделенному на 6:

Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат этих векторов:
|3 -2 3 |
|-3 7 0 |=438
|-12 -4 10|
V=438/6=73
5)


6) Приравниваем определитель к 0:
|x-5 y+6 z-0|
|-1-5 3+6 -3-0|=0
|-10-5 -8+6 7-0|
63(x-5)+12z+45(y+6)+135z-6(x-5)+42(y+6)=0
57x+87y+147z+237=0
19x+29y+39z+79=0
7)
Вектор нормали к плоскости (19,29 ,39)
Прямая проходит через точку А1 перпендикулярно к плоскости, то есть параллельно к нормали:

8)
Находим точку пересечения, введя параметр k:
x=19k+2, y=29k-4, z=39k-3
19(19k+2)+29(29k-4)+39(39k-3)+79=0
2723k-116=0
k=0,04 (приблизительно)
x=19*0,04+2=2,76
y=29*0,04-4=-2,84
z=39*0,04-3=-1,44
Точка пересечения А5(2,76;-2,84;-1,44)
Длина равна длине вектора А1А5:

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 06.11.2011, 16:53

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Посетитель - 384181!
Решение 6,7 и 8 в прикрепленном файле.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 06.11.2011, 20:19 Прикреплённый файл: посмотреть » [22.5 кб]

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 384181!

После того, как в Вашем распоряжении появилось решение задачи, основанное на применении формальных приёмов аналитической геометрии, уместным будет посмотреть на решение части этой задачи с объяснением, в котором используются более элементарные расчёты, без применения матричного исчисления. Ибо как показывает мой опыт, большинство студентов мало что понимает после выполнения типовых расчётов по высшей математике. Это крайне неблагоприятно сказывается на их отношении к этому предмету и не позволяет им применить методы высшей математики (и не только высшей ) при решении инженерных задач.

1. Длина ребра [A₁A₂] вычисляется по теореме Пифагора. Если от координат точки A₂ отнять соответствующие координаты точки A₁, то получим координаты вектора A₁A₂, который равен разности радиус-векторов точек A ₂ и A₁ (A₁A₂ = OA₂ - OA₁): A₁A₂ = (5 - 2; -6 - (-4); 0 - (-3)) = (3; -2; 3), или A₁A₂ = 3i - 2j + 3k. Длина этого вектора и равна искомой длине ребра: |A₁A₂| = |A₁A₂ = √(3² + (-2)² + 3²) = √22.

2. Рёбра [A₁A₂] и [A₃A₂] выходят из одной и той же вершины пирамиды - точки A₂. Сопоставим ребру [A₁A₂] вектор A₂A₁ = -A₁A₂ = (-3; 2; -3) = -3i + 2j - 3k, а ребру [A₃A₂] - вектор A₂A₃ = (-1 - 5; 3 - (-6); -3 - 0) = (-6; 9; -3) = -6i + 9j - 3k, длина которого |A₂A₃| = & #8730;((-6)² + 9² + (-3)²) = √(36 + 81 + 9) = √126.

К сожалению, декартова прямоугольная система координат не предполагает возможности непосредственного вычисления угла между двумя векторами. Поэтому найти искомый угол можно только опосредованно - через нахождение одной из его тригонометрических функций. Такую возможность, в частности, предоставляет так называемое скалярное произведение. Воспользуемся сначала тем, что нахождение скалярного произведения двух векторов сводится к суммированию произведений их одноимённых координат. Если полученная сумма больше нуля, то угол между векторами острый. Если полученная сумма меньше нуля, то угол тупой. Если же эта сумма равна нулю, то векторы взаимно перпендикулярны.

В нашем случае A₂A₁ · A₂A₃ = (-3) · (-6) + 2 · 9 + (-3) · (-3) = 18 + 18 + 9 = 45.

С другой стороны, с калярное произведение двух векторов находится умножением произведения длин этих векторов на косинус угла между ними. Если обозначить данный угол буквой "φ", то в нашем случае будем иметь
A₂A₁ · A₂A₃ = √22 · √126 · cos φ = √(2 · 11 · 2 · 63) · cos φ = 2√693 · cos φ.

Приравняв правые части выражений для скалярного произведения, получим 2√693 · cos φ, откуда найдём
cos φ = 45/(2√693) ≈ 0,8547, φ ≈ 31º 16'.

Итак, угол между векторами A₂A₁ и A₂A₃ составляет примерно 31º 16'. Это значение соответствует и углу между рёбрами [A₁A₂] и [A₃A₂] пирамиды. Правда, в условии задачи требуется всё же найти угол между ребрами [А₁А₂] и [А₃А₂], что несколько меняет существо дела, но не влияет на результат.

Действительно, A₂A₁ = (3; -2; 3), A₂A₃ = -A₃A₂ = (6; -9; 3), A₁A₂ · A₃A₂ = 3 · 6 + (-2) · (-9) + 3 · 3 = 18 + 18 + 9 = 45, |A₁A₂| = |A₂A₁| = √22, |A₃A₂| = |A₂A₃| = √126. Поэтому и угол между векторами будет иметь ту же величину.

3. Площадь S грани A₁A₂A₃ можно найти по известной из элементарной геометрии формуле для площади треугольника, которая в нашем случае имеет следующий вид: S = 1/2 · |A₂A₁| · |A₂A₃| · sin φ. Поскольку
sin φ = √(1 - cos² φ) = √(1 - (45/(2√693))²) = √(1 - 2025/2772) = √(747/2772) = √(83/308) ≈ 0,5191,
постольку
S = 1/2 • √22 · √126 · √(83/308) = √(57519/308) = √(747/4) = 3√83/2 ≈ 13,67.

4. В элементарной геометрии устанавливается, что объём V пирамиды равен 1/3 произведения площади S её основания на высоту h: V = Sh/3. Примем за основание пирамиды её грань A₁A₂A₃ и найдём высоту h. Понятно, что эта высота равна расстоянию между основанием пирамиды и вершиной A₄. Найдём расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃.

Специально вводимое понятие векторного произведения векторов как вектора, длина которого равна произведения длин этих векторов на синус угла между ними, а направление определяется исходя из получения правой тройки, образуемых последовательностью направленных отрезков "первый отрезок - второй отрезок - векторное произведение", даёт возможность поступить следующим образом. Найдём векто рное произведение векторов A₂A₁ и A₂A₃:
N = A₂A₁ X A₂A₃ = (-3i + 2j - 3k) X (-6i + 9j - 3k) = 18(i X i) - 27(i X j) + 9(i X k) - 12(j X i) + 18(j X j) - 6(j X k) + 18(k X i) - 27(k X j) + 9(k X k) =
= 0 - 27k - 9j + 12k + 0 - 6i + 18j + 27i + 0 = 21i + 9j - 15k = (21; 9; -15).

Вектор, координаты которого мы установили, направлен перпендикулярно грани A₁A₂A₃, а его длина составляет
|N| = √((21)² + 9² + (-15)²) = √(441 + 81 + 225) = √747 = 3√83 ≈ 27,33.
Поэтому вектор
n = N/|N| = (21i + 9j - 15k)/(3√83) - единичный вектор нормали к плоскости A₁A₂A₃.

Заметим, сравнивая результат вычисления длины векторного произведения с результатом п. 3, что в качестве "бесплатного приложения" мы продемонстрировали альтернативный способ вычисления площади грани A₁A₂A₃: нужно найти векторное произведение векторов, на которых построена грань, и результат разделить пополам.

Отвлечёмся немного и укажем, что если умножить скалярно нормальный вектор плоскости на любой направленный отрезок, расположенный на этой плоскости, то в силу взаимной перпендикулярности сомножителей, получим нуль. Этот способ позволяет найти общее уравнение грани A₁A₂A₃: обозначим через x, y, z координаты произвольной точки M, принадле жащей этой грани; вектор A₁M = (x - 2; y + 4; z + 3) расположен на рассматриваемой плоскости; найдём скалярное произведе ние
(A₂A₁ X A₂A₃) · A₁M = (21; 9; -15) · (x - 2; y + 4; z + 3) = 21(x - 2) + 9(y + 4) - 15(z + 3) = 0,
21x + 9y - 15z - 42 + 36 - 45 = 0,
21x + 9y - 15z - 51 = 0 - общее уравнение плоскости A₁A₂A₃.

"Ради интереса" подставим в полученное уравнение координаты точки A₂ и проверим, удовлетворяют ли они ему:
21 · 5 + 9 · (-6) - 15 · 0 - 51 = 0,
105 - 54 - 0 - 51 = 0,
0 = 0,
как и должно быть.

Чтобы получить наглядное представление о положении плоскости A₁A₂A₃ в пространстве с введённой на нём декартовой прямоугольной системой координат, выполним следующие тождественные преобразования общего уравнения этой плоскости:
21x + 9y - 15z - 51 = 0,
21x + 9y - 15z = 51,
(21/51) x + (9/51)y - (15/51)z = 1,
x/(51/21) + y/(51/9) + z/(-51/15) = 1,
x/(51/21) + y/(17/3) + z/(-17/5) = 1.
Получили уравнение плоскости A₁A₂A₃ в отрезках на осях координат. Из этого уравнения следует, что рассматриваемая плоскость пересекает ось абсцисс в точке x = 51/21 ≈ 2,43, ось ординат - в точке y = 17/3 ≈ 5,67, ось аппликат - в точке z = -17/5 = -3,4. Данное обстоятельство может быть использовано при выполнении чертежа пирамиды (но на этом мы останавливаться не будем).

Для "общего развития": поскольку А₄(–10;–8; 7), постольку точка А₄ расположена в третьем октанте координатного пространства (если непонятно, что это значит, посмотрите здесь). В то же время нормальный вектор плоскости A₁A₂A₃ N = (21; 9; -15) оказывается направленным из начала координат в пятый октант. Можно в качестве нормального вектора плоскости A₁A₂A₃ взять и вектор, направленный противоположно, т. е N' = (-21; -9; 15) (вообще, любой вектор, коллинеарный вектору N, перпендикулярен плоскости A₁A₂A₃). Он "указывает" как раз на третий октант. Единичным вектором соответствующего направления будет тогда вектор n' = (-21i - 9j + 15k)/(3√83).

Определим теперь угол, например, между векторами N' и A₁A₄ = (-10 - 2; -8 - (-4); 7 - (-3)) = (-12; -4; 10), имеющим длину
|A₁A₄| = √((-12)² + (-4)² + (10)²) = √(144 + 16 + 100) = √260 = 2√65.
В результате скалярного умножения получим
N' · A₁A₄ = (-21; -9; 15) · (-12; -4; 10) = (-21) &# 183; (-12) + (-9) · (-4) + 15 · 10 = 252 + 36 + 150 = 438,
тогда для угла ψ между между векторами N' и A₁A₄ найдём
cos ψ = 438/(3√83 · 2√65) = 438/(6√5395) = 219/(3√5395) ≈ 0,9939,
sin ψ = √(1 - (219/(3√5395))²) = √(1 - 47961/48555) = √(594/48555) ≈ 0,1106.

Понятно, что если вектор A₁A₄ расположен под углом ψ к вектору N' - нормальному вектору плоскости A₁A₂A₃, то он расположен под тем же углом и к единичному нормальному вектору n' = (-21i - 9j + 15k)/(3√83). Но проекция вектора A₁A₄ на вектор n' является высотой пирамиды, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Значит,
h = |A₁A₄| · cos ψ = 2√65 · 219/(3√5395) = 438/(3√83) ≈ 16,03,
V = Sh/3 = 1/3 · 3√83/2 · 438/(3√83) = 438/6 = 73.

5. Уравнение прямой A₁A₃, действительно, проще всего получить в виде уравнения прямой, проходящей через две данные точки: A₁ и A₃. Оно же будет и каноническим уравнением этой прямой. Как было показано в ответе (исправленном) Романа Селивёрстова, получим
(x - 2)/(-3) = (y + 4)/7 = (z + 3)/0.

Выражение (z + 3)/0 не должно Вас смущать. Оно всего лишь отражает то обстоятельство, что прямая A₁A₃ расположена в плоскости z = -3, откуда
z + 3 = 0. (*)
Далее имеем
(x - 2)/(-3) = (y + 4)/7,
x - 2 = -3(y + 4),
x - 2 = -3y - 12,
x + 3y - 2 + 12 = 0,
x + 3y + 10 = 0. (**)

Система уравнений (*), (**) задаёт прямую A₁A₃ в общем виде. Уравнение (*) задаёт плоскость, перпендикулярную оси аппликат, а уравнение (**) - плоскость, параллельную этой оси.

Пункты 6, 7, 8 задания рассматривать не будем. Ответы на них могут быть получены рассмотренными выше способами.

Ниже дан чертёж пирамиды.



Если усвоены показанные способы решения, то можно перейти и к использованию матричного исчисления, которое является всего лишь более компактной формой записи этих способов.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 07.11.2011, 20:11

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 184393:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Убедиться, что векторы a, b, c не лежат в одной плоскости,
написать разложение вектора x по векторам a, b, c.

x={2; 7; 5}, a={1; 0; 1}, b={1; –2; 0}, c={0; 3; 1}.

Дата отправки: 06.11.2011, 16:43
Вопрос задал: Посетитель - 384181 (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Посетитель - 384181!
Решение задачи в присоединенном файле

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 06.11.2011, 18:02 Прикреплённый файл: посмотреть » [20.5 кб]

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 384181!

Если векторы a, b, c не лежат в одной плоскости, то, например, вектор c не является линейной комбинацией векторов a и b, т. е. не существует чисел α и β таких, что c = αa + βb. Иначе это означает, что система уравнений, отражающих тот факт, что координаты вектора c являются линейной комбинацией соответствующих координат векторов a и b, не имеет решений.

Рассмотрим систему уравнений
1α + 1β = 0,
0α - 2β = 3,
1α + 0β = 1.
Первое уравнение соответствует тому, что абсцисса вектора c является линейной комбинацией абсцисс векторов a и b, второе - тому, что ордината вектора c является линейной комбинацией ординат векторов a и b, третье - тому, что аппликата вектора c является линейной комбинацией аппликат векторов a и b.
Из третьего уравнения находим α = 1. Из второго уравнения находим β = -3/2. Если подставить полученные значения α и β в первое уравнение, то будем иметь 1 · 1 + 1 · (-3/2) = 1 - 3/2 = -1/2 ≠ 0, что и означает отсутствие решений системы трёх указанных уравнений. Значит, векторы a, b, c не лежат в одной плоскости. Поэтому они образуют базис, в котором вектор x имеет единственное разложение x = αa + βb + γc (естественно, с иными числами α, β, γ).

Чтобы найти это разложение, решим систему трёх уравнений, отражающих факт аналогичной линейной комбинации соответствующих координат векторов:
1α + 1β + 0γ = 2,
0α - 2β + 3γ = 7,
1α + 0β + 1γ = 5.

Решить указанную систему можно по-разному. Удобно, например, применить формулы Крамера, использование которых в среде MS Excel приводит к следующему результату (см. здесь): x = 4a - 2b + c.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 06.11.2011, 22:32

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

---

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель! Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно! МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

---

© 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.33 от 10.09.2011