RFpro.ru: Консультации по математике
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 180412: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа: Вопрос № 180394: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:  ...
Вопрос № 180402: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:  ...
Вопрос № 180412:
Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:
Отправлен: 22.10.2010, 16:46 Отвечает Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор) : Здравствуйте, Ankden! Чтобы найти резольвенту оператора A(x(t))(t) = ∫x(t)dt, нужно решить уравнение ∫x(t)dt - λx(t) = y(t) (1) относительно x(t). (Здесь и далее все интегралы берутся по отрезку [0,1]). Обозначим ∫x(t)dt = a, тогда (1) перепишется в виде: a - λx(t) = y(t), откуда x(t) = (a - y(t))/λ. (2) Интегрируя последнее уравнение по отрезку [0,1], получим a = a/λ - (1/λ) ∫y(t)dt и найдем a: a = (1/(1-λ))∫y(t)dt. Из (2) находим резольвенту: R(λ) (y(t)) = (1/(λ(1-λ))∫y(t)dt - (1/λ)y(t). Оператор R(λ)(y) определен и непрерывен для всех y∈ C[0,1], при условии, что λ ≠0 и λ≠ 1. Значения λ=0 и λ=1 образуют спектр оператора A.
Ответ отправил: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Оценка ответа: 5
Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) : Здравствуйте, Ankden! Текст вопроса плох, но мне показалось, что интеграл все же берется по промежуту [0,t]. В этом случае резольвентное уравнение имеет вид ∫0tx(τ)dτ-λx(t)=y(t) Решая это уравнение с помощью преобразования Лапласа, находим (при λ≠0) x(t)=-y(t)/λ+(1/λ2)∫0ty(τ)exp((t-τ)/λ)dτ Поэтому данный оператор имеет единственную точку спектра λ=0.
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор)
Оценка ответа: 5
Вопрос № 180394:
Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:
Отправлен: 22.10.2010, 02:10 Отвечает Гаряка Асмик (Профессионал) : Здравствуйте, Ankden! ∫1/√εe-x^2/2εdx=1/√2π Первый предел сходится к 1/√2π δ(x) - где δ(x) функции Дирака. ----- Я ни от чего, ни от кого не завишу.
Ответ отправил: Гаряка Асмик (Профессионал)
Оценка ответа: 5
Вопрос № 180402:
Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:
Отправлен: 22.10.2010, 08:13 Отвечает Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор) : Здравствуйте, Ankden! Заметим прежде всего, что множество рациональных чисел Q имеет меру нуль, поэтому интегрирование можно выполнять по отрезку [0,1]. Далее подразумевается, что все интегралы берутся по этому отрезку. С помощью замен переменных t = √u и t = u2 функционал F(x(t)) = ∫x(t2)dt - ∫x(√t)dt приводится к виду: F(x(u)) = ∫ (1/(2√u) - 2u)x(u) du, откуда очевидна его линейность. Учитывая, что в пространстве C[0,1] используется максимум-норма, имеем ||F|| = sup|F(x)| по всем x(u), таким, что |x(u)| ≤ 1. Легко убедиться, что весовая функция 1/(2√u) - 2u положительна при u<a и отрицательна при u>a, где a = (1/4)2/3. Ясно, что максимум F(x) достигается на функции x(u), равной 1 при u ∈ [0,a) и -1 при u ∈ (a,1]. Хотя эта функция не принадлежит C[0,1], она может быть с любой точностью аппроксимирована функцией из C[0,1], так ой, что |x(u)|≤1, поэтому ||F|| = ∫ |1/(2√u) - 2u| du. Вычисляя интеграл (что можно сделать, интегрируя отдельно по отрезкам [0,a] и [a,1]), получим норму функционала ||F|| = (3/4) 21/3. Из конечности нормы следует ограниченность F.
Ответ отправил: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.22 от 18.10.2010 |
...
| В избранное | ||
