RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 180044: Помогите пожалуйста найти интервал сходимости степенного ряда: Вопрос № 180044:
Помогите пожалуйста найти интервал сходимости степенного ряда:
Отправлен: 26.09.2010, 18:15 Отвечает Roman Chaplinsky / Химик CH, Модератор : Здравствуйте, Мельников Эдуард Сергеевич. Для определения радиуса сходимости найдём предел  Таким образом радиус сходимости равен e/3 x∈(-e/3; e/3) ----- Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...
Ответ отправил: Roman Chaplinsky / Химик CH, Модератор
Оценка ответа: 5
Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Младший модератор : Здравствуйте, Мельников Эдуард Сергеевич. Воспользуемся признаком Даламбера. Поскольку |an + 1/an| = |3n + 1(n + 1)!xn + 1/(n + 2)n + 1 : 3nn!xn/(n + 1)n| = |3n + 1/3n ∙ (n + 1)!/n! ∙ xn + 1/xn ∙ (n + 1)n/(n + 2)n + 1| = = |3 ∙ (n + 1) ∙ x ∙ (n + 1)n/(n + 2)n + 1| = |3 ∙ x ∙ [(n + 1)/(n + 2)]n + 1| = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]n + 1| = = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]n + 2 ∙ (1 – 1/(n + 2))-1| = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]n + 2 ∙ (n + 2)/(n + 1)| = = |3 ∙ x ∙ [1 – 1/(n + 2)]n + 2 ∙ [1 + 1/(n + 1)]|, то L = lim n → ∞ |an + 1/an| = 3 ∙ |x| ∙ lim n → ∞ [1 – 1/(n + 2)]n + 2 ∙ lim n → ∞ [1 + 1/(n + 1)] = = 3 ∙ |x| ∙ 1/e ∙ 1 = 3/e ∙ |x|, или L < 1 при |x| < e/3, L = 1 при |x| = e/3, L > 1 при |x| > e/3. Следовательно, заданный ряд абсолютно сходится при |x| < e/3, т. е. при –e/3 < x < e/3, и расходится при |x| > e/3. Установим сходимость ряда при |x| = e/3. Поскольку при n ≥ 2 имеем n! < nn, то становится очевидным, что n = 1Σ∞ 3nn!xn/(n + 1)n < n = 1Σ∞ 3nnnxn/(n + 1)n = n = 1Σ∞ 3nxn[n/(n + 1)]n. Рассмотрим поведение ряда n = 1Σ∞ 3nxn[n/(n + 1)]n при |x| = e/3. При x = e/3 получаем ряд n = 1Σ∞ en[n/(n + 1)]n = n = 1Σ∞ en[1 – 1/(n + 1)]n > n = 1Σ∞ en[1 – 1/(n + 1)]n + 1 > n = 1Σ∞ 1/n. Следовательно, этот ряд расходится, а потому расходится и заданный ряд. При x = -e/3 получаем знакочередующийся ряд n = 1Σ∞ (-1)nen[n/(n + 1)]n, который расходится в соответствии с теоремой Лейбница. Значит, интервал сходимости заданного ряда суть ]-e/3; e/3[. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Младший модератор
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.21 от 28.09.2010 |
| В избранное | ||
