RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 180157: Здравствуйте уважаемые эксперты, начали проходить дифференциальные уравнения в универе, возникают сложности, помогите: Помогите ... Вопрос № 180157:
Здравствуйте уважаемые эксперты, начали проходить дифференциальные уравнения в универе, возникают сложности, помогите:
Отправлен: 04.10.2010, 17:31 Отвечает Айболит, Практикант : Здравствуйте, xenitron. №1 y/y'=lny ydx=lnydy dx=((lny)/y)*dy lny=z=>dz=dy/y dx=zdz ?dx=(1/2)*?2zdz x+C=(z^2) x+C=(lny)^2 Решение получилось для х , но его можно легко переформировать в решение для у или даже константы С . Теперь можно решить задачу Коши : у(2)=1 . 2+С=(ln1)^2=0=>C=-2 (lny)^2=x-2=>lny=sqrt(x-2)=>y=exp(sqrt(x-2)) exp - число е в степени ... Ответ : y=exp(sqrt(x-2)) . №2 x*sqrt(1+(y^2))*dx+y*sqrt(1+(x^2))*dy=0 x*sqrt(1+(y^2))*dx=-y*sqrt(1+(x^2))*dy (1/2)*(2x/sqrt(1+(x^2)))*dx=-(1/2)*(2y/sqrt(1+(y^2)))*dy ?d(1+(x^2))/sqrt(1+(x^2))=-?d(1+(y^2))/sqrt(1+(y^2)) 2*sqrt(1+(x^2))=2*C-2*sqrt(1+(y^2)) sqrt(1+(x^2))+sqrt(1+(y^2))=C Тут было оптимально выразить решение для постояяной С . №3 y'+sin(x+y)=sin(x-y) y'=sin(x-y)-sin(x+y)=sinxcosy-sinycosx-sinxcosy-sinycosx=-2cosxsiny dy/dx=-2*cosx*siny ?dy/siny=-2*?cosxdx tg(y/2)=t , dy=2*dt/(1+(t^2)) , sin y=2*t/(1+(t^2)) - Это такая замена для у ... ?dy/siny=?[2*(1+(t^2))*dt]/[2*t*(1+(t^2))]=?dt/t=-2*?cosxdx ln|t/2|=ln|(tg(y/2))/2|=C-2sinx ln|(tg(y/2))/2|+2sinx=C Тут тоже удобнее всего выразить решение через постоянную С . №4 [dx/(x*(y-1))]+[dy/(y*(x+2))]=0 , y(1)=1 dx/(x*(y-1))=-dy/(y*(x+2)) ?[(x+2)/x)]*dx=-?[(y-1)/y]*dy x+2*lnx=C-y+lny x+y+2*lnx-lny=C Решаем задачу Коши : у(1)=1 . 1+1+2*ln1-ln1=C=>C=2 Ответ : x+y+2*lnx-lny=2 . Все задания вобщем-то элементарные , но трбует знания некоторых тонкостей из других разделов высшей математики . Прошу прощения за возможные опечатки . ----- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит, Практикант
Оценка ответа: 5
Отвечает Кучумов Евгений Владимирович, Профессионал : Здравствуйте, xenitron. 1) y/y'=ln(y) → ln(y)*y'/y=1 → (dy/dx)*ln(y)/y=1 → ln(y)*dy/y=dx → ln(y)*d(ln(y))=dx → 1/2*(ln(y))2=x+C, при y(2)=1 получаем 0=2+C, С=-2 → y(x)=exp(±√(2*(x-2))). 2) уравнение с разделяющимися переменными (можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью интегрирующего множителя - см. далее); для начала, т.к. 1+y2≠0 и 1+x2≠0 при любом x, y, умножим исходное уравнение на 1/((√(1+x2))(√(1+y2))) → x*dx/√(1+x2)+y*dy/√(1+y2)=0 → d(√(1+x2))+d(√(1+y2))=0 → √(1+y2)=C-√(1+x2) → y(x)=±√((C-√(1+x2))2-1). 3) y'+sin(x+y)=sin(x-y) → y'=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)-sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y) → dy/sin(y)=-2cos(x)dx {dy/sin(y)=sin(y)dy/si n2(y)=-d(cos(y))/(1-cos2(y))=[t=cos(y)]=dt/(t2-1)=d(1/2*ln((t-1)/(t+1)))} 1/2*ln((cos(y)-1)/(cos(y)+1))+2*sin(x)=C. 4) уравнение с разделяющимися переменными: dx/(x*(y-1))+dy/(y*(x+2))=0 → (y-1)dy/y=-(x+2)dx/x → y-ln(y)=C-(x+2*ln(x)) при y(1)=1 получаем 1=C-1, C=2 → y-ln(y)+(x+ln(x2))=2. ----- Per aspera ad astra
Ответ отправил: Кучумов Евгений Владимирович, Профессионал
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.22 от 04.10.2010 |
| В избранное | ||
