RFpro.ru: Консультации по математике
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 180388: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите решить задачу из области функционального анализа: Вопрос № 180390: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:  ...
Вопрос № 180388:
Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите решить задачу из области функционального анализа:
Отправлен: 21.10.2010, 21:58 Отвечает Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор) : Здравствуйте, Ankden! Последовательность функций d(tn), где d(t) - функция Дирихле (которая принимает значение 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных) не имеет поточечного предела. Действительно, возьмем, например, точки вида t = √p, где p - простое. Для четных n (√p)n - целое, для нечетных - иррациональное, поэтому последовательность функций d(tn) в этих точках принимает как значение и 0, так и 1, при как угодно больших n. Из отсутствия поточечной сходимости следует отсутствие равномерной сходимости. Для точек t ∈ R, ни при каких a, n не удовлетворяющих уравнению tn = a, где a - рациональное и n ≥ 1 - целое, имеем d (tn) = 0. Так как множество всех действительных корней уравнений вида tn = a входит в множество алгебраических чисел, которое счетно, множество таких корней тоже счетно и, следовательно, имеет нулевую меру. Поэтому d(tn) = 0 п очти везде (n≥1). Таким образом, последовательность d(tn) сходится по мере Лебега и сходится почти всюду к функции, тождественно равной нулю.
Ответ отправил: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Оценка ответа: 5
Вопрос № 180390:
Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу из области функционального анализа:
Отправлен: 21.10.2010, 23:31 Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) : Здравствуйте, Ankden! Применяя метод ортогонализации несложно найти ортогональный базис пространства линейных функций A: e1=2t-1, e2=1. Квадраты их норм равны соответственно 1/3 и 1. В соответствии теорией рядов Фурье по ортогональным системам находим проекцию элемента f(t)=t1/n на подпространство A: e=a*e1)+b*e2), где a=(f,e1)/||e1||2=3n/((2n+1)(n+1)) b=(f,e2)/||e2||2=n/(n+1) Квадрат нормы проекции (по обобщенной теореме Пифагора) ||e||2=a2||e1||2+b2||e2||2=4n2(n2+n+1)/((2n+1)2(n+1)2) Далее, по теореме Пифагора находим расстояние dn: dn2=||f||2-||e||2=n(n-1)2/((n+2)(n+1)2(2n+1)2). Теперь исследуем последовательность d lim(dn)=0 Очевидно, что все dn≥0, причем d1=0. Отсюда находим Inf(dn)=0 Сложнее всего с точной верхней гранью. Вычисляя нервые члены последовательности, получаем d22=1/450 d32=3/980 d42=2/675 d52=20/7623 d62=75/33124 d72=7/3600 d82=196/117045 Отсюда видно, что dn растет до d4, а потом начинает убывать. Возникает предположение, что d4 и есть наибольший член последовательности. Доказать это можно используя средства дифференциального исчисления. Для этого вместо последовательности рассмотрим функцию непрерывной переменной F(x)=x(x-1)2/((x+2)(x+1)2(2x+1) 2) Достаточно доказать, что F(x) убывает при x≥4. Так как F'(x)=[-8x7+4x6+64x5+26x4-48x3-52x2-8x+2]/[...]2 где многоточием обозначен знаменатель, то в свою очередь достаточно установить, что функция g(x)=-8x7+4x6+64x5+26x4-48x3-52x2-8x+2 отрицательна при x≥4. Далее вычисляем производные: g'(x)=-52x6+24x5+320x4+104x3-144x2-104x-8 g''(x)=-336x5=120x4+1280x3+312x-288x-104 g'''(x)=-1680x4+480x3+3840x2+624x-288 g''''(x)=-6720x3+1440x2+7680x+624 g'''''(x)=-20160x2+2880x+7680 g''''''(x)=-40320x+2880 Очевидно, что g'''''' ;(x)<0 при x≥1 g'''''(1)=-20160+2880+7680=-9600<0 и убывает при x≥1 так как g''''''(x)<0. Следовательно, g'''''(x)<0 x≥1. Вычисляем далее g''''(2)=-32016<0 при этом g'''''(x)<0 при x≥2. Следовательно, g''''(x)<0 x≥2. Вычисляем далее g'''(2)=-6720<0 при этом g''''(x)<0 при x≥2. Следовательно, g'''(x)<0 x≥2. Вычисляем далее g''(3)=-35528<0 при этом g'''(x)<0 при x≥3. Следовательно, g''(x)<0 x≥3. Вычисляем далее g'(3)=-7880<0 при этом g''(x)<0 при x≥3. Следовательно, g'(x)<0 x≥3. Наконец вычисляем g(4)=-46430<0 при этом g'(x)<0 при x≥4. Следовательно, g(x)<0 x≥4. Это доказывает наше предположение. Таким образом Sup(dn)=d4=√2/675
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор)
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.22 от 18.10.2010 |
...
Ответ поддержали (отметили как правильный):
| В избранное | ||
