Консультация # 185123:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас решить следующую задачу:
Методом исключения неизвестных найти частное решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

Спасибо.

Дата отправки: 09.01.2012, 09:47
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, lamed!
Приводим систему к нормальной форме, заменяя dx/dt во втором уравнении из первого
dx/dt=-x+3y
dy/dt=x+y+e^2t
Дифференцируем первое уравнение, заменяя dy/dt из второго уравнения
d²x/dt²=-dx/dt+3(x+y+e^2t)
и заменяем в нем 3y из первого исходного уравнения системы
d²x/dt²=4x+3e^2t
Решаем полученное уравнение. Характеристическое уравнение λ²-4=0 имеет корни ±2, общее решение однородного уравнения x=C₁e^2t+C₂e^-2t.
Частное решение ищем в виде x=Ate^2t. Подставляя в уравнение, находим A=3/4.
Общее решение
x=(3/4)te^2t+C₁e^2t+C₂e^-2t
После этого из первого уравнения исходной системы находим
y=(1/3)(dx/dt+x)=(3/4)te^2t+(1/4)e^2t+C₁e^2t-(1/3)C₂e^-2t

Подс тавляя t=0 получаем из начальных условий
С₁+С₂=0
(1/4)+С₁-(1/3)С₂=0
Отсюда находим
C₁=-3/16
C₂=3/16

Ответ:
x=(3/4)te^2t-(3/16)e^2t+(3/16)e^-2t
y=(3/4)te^2t+(1/4)e^2t-(3/16)e^2t-(1/16)e^-2t

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 10:27 5 Большое спасибо! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 10:45

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185124:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, решите систему уравнений X' = AX, для которой

Ответ необходимо записать в матричной форме.
Спасибо.

Дата отправки: 09.01.2012, 10:16
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, lamed!
Решение в прикрепленном файле.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 13:29 Прикреплённый файл: посмотреть » [28.3 кб] 5 Большое спасибо, Дмитрий Германович! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 13:32

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185125:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас решить следующую задачу.
Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.
x³+4x+8=0
Спасибо.

Дата отправки: 09.01.2012, 11:03
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, lamed!

Известно, что для уравнения третьей степени, имеющего вид
ax³ + bx² + cx + d = 0,
состав его корней определяется при помощи дискриминанта
Δ = − 4b³d + b²c² − 4ac³ + 18abcd − 27a²d².

В нашем случае a = 1, b = 0, c = 4, d = 8,
Δ = -4 · 1 · 4³ - 27 · 1² · 8² = -1984 < 0,
следовательно, заданное уравнение имеет один действительный и пару комплексно сопряжённых корней.

Учитывая, что функция y(x) = x³ + 4x + 8 при x = -2 принимает значение y(-2) = -8, а при x = -1 - значение y(-1) = 3, приходим к выводу, что корень заданного уравнения находится в промежутке ]-2; -1[.

Находим производную функции y(x): y'(x) = 3x² + 4. В промежутке ]-2; -1[ f'(x) > 0, поэтому за первое приближение в способе касательных берём x0 = -1, т. к. y(-1) = 3 > 0:
x₁₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀) = -1 - 3/7 = -10/7 ≈ -1,362;
x₁₂ = a - (b - a)f(a)/(f(b) - f(a)) = -2 - (-8)(-1 - (-2))/(3 - (-8)) = -2 + 8/11 = -14/11 ≈ -1,27.

Искомый корень находится в промежутке ]-1,43; -1,27[. Имеем
f(-1,43) = (-1,43)³ + 4 · (-1,43) + 8 ≈ -0,644,
f(-1,27) = (-1,27)³ + 4 · (-1,27) + 8 ≈ 0,872,
f'(-1,27) = 3 · (-1,27)² + 4 ≈ 8,839,
x₂₁ = (-1,27) - 0,872/8,839 ≈ -1,369,
x₂₂ = (-1,43) - (-0,644)(-1,27 - (-1,43))/(0,872 - (-0,644)) ≈ -1,362.

Искомый корень находится в промежутке ]-1,369; -1,362[. Имеем
f(-1,369) = (-1,369)³ + 4 · (-1,369) + 8 ≈ -0,0417,
f(-1,362) = (-1,362)³ + 4 · (-1,362) + 8 ≈ 0,0254,
f'(-1,362) = 3 · (-1,362)² + 4 ≈ 9,565 ,
x₂₁ = (-1,362) - 0,00254/9,565 ≈ -1,362,
x₂₂ = (-1,369) - (-0,0417)(-1,362 - (-1,369))/(0,0254 - (-0,0417)) > -1,365.

Следовательно, x ≈ -1,36.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 09.01.2012, 15:47 5 Большое спасибо, Андрей Владимирович! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 16:43

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185126:

Здравствуйте! Прошу помощи в решении следующей задачи:
Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж. z=10+2xy-x²; 0≤y≤4-x
Спасибо.

Дата отправки: 09.01.2012, 11:09
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, lamed!

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 15:37 5 Большое спасибо, Дмитрий Германович! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 16:39

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185127:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с такой задачей:
Даны функция z=z(x,y), точка A(x₀, y₀) и вектор a. Найти:
1. grad z в точке A;
2. производную в точке A по направлению вектора a.
z=arcsin(x²/y); A(1;2), a=5i-12j.
Спасибо.

Дата отправки: 09.01.2012, 11:50
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, lamed!

Находим частные производные:
∂z/∂x = 2x/(y√(1 - (x²/y)²)),
∂z/∂y = -x²/(y²√(1 - (x²/y)²)).

Находим значения частных производных в точке А:
∂z/∂x|_A = 2 · 1/(2√(1 - (1²/2)²)) = 2/√3,
∂z/∂y|_A = -1²/(2²√(1 - (1²/2)²)) = -1/(2√3).

Следовательно,
grad z = (2/√3)i - (1/(2√3)j,
|grad z| = √((2/√3)² + (-1/(2√3))²) = √(4/3 + 1/12) = √(17/12) = (1/2)√(17/3).

Находим направляющие косинусы вектора a:
cos α = 5/√(5² + (-12)²) = 5/√13,
cos β = -12/√(5² + (-12)²) = -12/13.

Находим производную функции z в точке А по направлению вектора a:
dz/da = (2/√3)(5/13) + (-1/(2√3))(-12/13) = 10/(13√3) + 6/(13√3) = 16/(13√3).

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 09.01.2012, 12:57 5 Большое спасибо, Андрей Владимирович! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 13:03

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185128:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите решить задачу:
Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функции y=f(x) в виде y=ax+b.

x  1   2   3   4   5
========================
y 5.2 6.2 4.7 2.7 3.2

Дата отправки: 09.01.2012, 12:01
Вопрос задал: lamed (Академик)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, lamed!

Заполним следующую таблицу:

i  x_i  y_i (x_i)^2 (x_i)(y_i)
=============================
1   1   5,2    1         5,2
2   2   6,2    4        12,4
3   3   4,7    9        14,1
4   4   2,7   16        10,8
5   5   3,2   25        16
-----------------------------
∑  15  22     55        58,5

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 09.01.2012, 14:10 5 Спасибо, Андрей Владимирович! С уважением. ----- Дата оценки: 09.01.2012, 14:41

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185129:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки А(-4;3)и данной прямой y=-1.Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

Дата отправки: 09.01.2012, 16:12
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
Расстояние от точки кривой (х,у) до точки А:

Расстояние от точки кривой (х,у) до прямой у=-1:





Парабола:

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 16:26

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185130:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Даны координаты вершин пирамиды АВСD A(-1;1;-5) B(3;5;-7) C(1;12;-15) D(-1;3;-4). требуется записать векторы АВ, АС, АD в системе орт и найти модули этих векторов; найти угол между векторами АВ и АС; найти проекцию вектора АD на вектор АВ; Найти площадь грани АВС и объём пирамиды.

Дата отправки: 09.01.2012, 16:24
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!








V равно определителю, составленному из координат векторов АВ, АС, АD, разделенному на 6:
V=108/6=18

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 17:01

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185131:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Даны координаты точек А(-2;3;1) В(2;5;-3) С(-1;2;-3). Составить каноническое уравнение прямой АВ; составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; найти расстояние от точки С до прямой АВ.

Дата отправки: 09.01.2012, 16:32
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
Каноническое уравнение прямой АВ:



Уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ:

Нормаль к плоскости будес совпадать с направляющим вектором прямой: (2;1;-2)
2(x+1)+y-2-2(z+3)=0
2x+y-2z-6=0
Точка пересечения:
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде
x=2t-2, y=t+3, z=-2t+1
и подставим в уравнение плоскости
2(2t-2)+t+3-2(-2t+1)-6=0
9t=9
t=1
(0;4;-1)
Расстояние от точки С до прямой АВ:
Искомое расстояние будет равно расстоянию от точки С до точки пересечения плоскости 2x+y-2z-6=0 и прямой АВ, то есть (0;4;-1)

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 16:37

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185133:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
найти уравнение сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты А(-5;-7) В(7;-2) С(11;20)

Дата отправки: 09.01.2012, 17:36
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
АВ:




AC:




Угловые коэффициенты соответственно 5/12 и 27/16.

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 17:49

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185134:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Даны координаты точек А(-2;3;1) В(2;5;-3) С(-1;2;-3). составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; найти расстояние от точки С до прямой АВ.

Дата отправки: 09.01.2012, 17:51
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
Уравнение прямой АВ:

Нормаль к плоскости равна направляющему вектору прямой: (4;2;-4)
4(x+1)+2(y-2)-4(z+3)=0
4x+2y-4z-12=0
2x+y-2z-6=0 - уравнение плоскости
Для нахождения точки пересечения уравнение прямой в параметрической форме x=4t-2, y=2t+3, z=-4t+1 подставляем в уравнение плоскости:
2(4t-2)+2t+3-2(-4t+1)-6=0
18t-9=0
t=0,5
(0;4;-1)
Расстояние:

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 18:05

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185135:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Даны координаты вершин пирамиды АВСD A(-1;1;-5) B(3;5;-7) C(1;12;-15) D(-1;3;-4). найти проекцию вектора АD на вектор АВ; Найти площадь грани АВС и объём пирамиды.

Дата отправки: 09.01.2012, 18:34
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
AB={4;4;-2}
AC={2;11;-10}
AD={0;2;1}

1) проекция AD на AB:
пр=(AD,AB)/|AB|=(0*4+2*4+1*(-2))/√(16+16+4)=6/6=1
2) площадь ABC
S=0.5|ABxAC|=0.5|{-40+22,-(-40+4),44-8}|=0.5|{-18,36,36}|=9|{1,-2,-2}|=9*3=27
3) объем прирамиды:
М=(1/6)|(AB,AC,AD)|=(1/6)|([ABxAC],AD)|=(1/6)|{-18,36,36},{0,2,1}}|=(1/6)|-18*0+36*2+36*1|=108/6=18

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 18:57

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185136:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:Вычислить криволинейный интеграл по заданному контору L,
∫(5arcctge^x-lnx-7y)dx+(3e^(y^2)-4x+1)dy , где L- контур прямоугольника с вершинами в точках: А(1;1), B(1;3), C(10;3); D(10;1)

Дата отправки: 09.01.2012, 21:10
Вопрос задал: Иван Зиновьев (2-й класс)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Асмик Гаряка (Академик):

Здравствуйте, Иван Зиновьев!

По формуле Грина

Это утроенная площадь прямоугольника со сторонами 9 на 2. 18*3=54

Консультировал: Асмик Гаряка (Академик) Дата отправки: 09.01.2012, 23:05 5 нет комментария ----- Дата оценки: 09.01.2012, 23:16

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185137:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Дана невырожденная матрица А 201
-243
-310
найти обратную и пользуясь правилом умножения матриц, показать. что А*А^-1=E

Дата отправки: 09.01.2012, 21:32
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Асмик Гаряка (Академик):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!


Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной

Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу :

Шаг:2
Разделим строку 1 на a₁₁ = 2
Получим матрицу :


Шаг:3
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a₂₁= -2
Вычитаемая строка :

-2 0 -1 -1 0 0

Модифицированная матрица :


< br>Шаг:4
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a₃₁= -3
Вычитаемая строка :
-3 0 -3/2 -3/2 0 0

Модифицированная матрица :


Шаг:5
Разделим строку 2 на a2,2 = 4
Получим матрицу :

Шаг:6
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a₃₂= 1
Вычитаемая строка :
0 1 1 0.25 0.25 0

Модифицированная матрица :

1  0  0.5  0.5    0    0
0  1  1    0.25  0.25  0
0  0  0.5  1.25  -0.25 1

1  0  0.5  0.5    0     0
0  1  1    0.25   0.25  0
0  0  1    2.5   -0.5   2

1  0  0.5  0.5   0     0
0  1  0  -2.25  0.75  -2
0  0  1  2.5    -0.5   2

1  0  0  -0.75  0.25 -1
0  1  0  -2.25  0.75 -2
0  0  1   2.5   -0.5  2

Консультировал: Асмик Гаряка (Академик) Дата отправки: 09.01.2012, 21:59

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!
Альтернативное решение по формуле:

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник) Дата отправки: 09.01.2012, 23:19

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 185138:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
решить систему с помощью определителей:4x+3y-2z=-1
3x+y+z=3
x-2y-3z=8

Дата отправки: 09.01.2012, 21:35
Вопрос задал: Вахутин Андрей Сергеевич (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Асмик Гаряка (Академик):

Здравствуйте, Вахутин Андрей Сергеевич!

Матрица системы

Ее определитель равен 4*(-1)-3*(-10)+(-2)*(-7) =-4- (-30)+14 = 40
Чтобы найти x,заменяем первый столбец матрицы вектором b

x=80/40=2
Чтобы найтиy,заменяем второй столбец матрицы вектором b

y=-120/40=-3

Чтобы найти z,заменяем третий столбец матрицы вектором b

z=0

Консультировал: Асмик Гаряка (Академик) Дата отправки: 09.01.2012, 21:51

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль