RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 181742: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу Вас ответить на следующий вопрос: 1) Найти наибольшие и наименьшие значения функции y=(x+3)/(x^2 + 7) на отрезке [-2;2]. 2) Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график: y=(... Вопрос № 181742:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу Вас ответить на следующий вопрос:
Отправлен: 04.01.2011, 22:07 Отвечает Мухуров Петр (2-й класс) : Здравствуйте, Валерия! 1) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке надо: а) найти ее значения на концах этого отрезка (т. е. числа y(-2) и y(2)): y(2) = (2+3)/(2^2+7) = 5/11; у(-2) = (-2+3)/((-2)^2+7) = 1/11; б) найти ее значения в точках, где производная функции равна нулю: y' = [ (x+3)/(x^2+7) ]' = [ (x+3)'(x^2+7) - (x+3)(x^2+7)' ] / (x^2+7)^2 = (-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2); (-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2) = 0; -x^2-6x+7 = 0; x = -1, x = 1 - точки, в которых производная равна нулю; y(1) = (1+3)/(1^2+7) = 4/9; y(-1) = (-1+3)/((-1)^2+7) = 2/9; в) найти ее значения в точках, где функция не имеет производной; y' = (-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2); (x^2+7)^2 = 0; x = ± i√7 (точки не попадают в отрезок, т. к. |x| = √7 = ±2.64) г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее: Наименьшее значение функции y на отрезке [-2;2] min(y) = 1/11; Наибольшее значение функции у на отрезке [-2;2] max(y) = 5/9. 2) Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график: y=(1-2x^3)/2x^2. Алгоритм исследования функции: а) найти область определения функции; б) найти точки пересечения графика функции с осями координат; в) найти асимптоты; г) найти точки возможного экстремума; д) найти критические точки; е) с помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба; ж) построить график, учитывая исследование, проведенное в п.а)-е). а) Область определения функции. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=0; б) Точки пересечения графика функции с осями координат. Ох: уравнение 1-2x^3 = 0 имеет один вещественный корень x=1/(2^(1/3)), => точка пересечения с Ох: (1/(2^(1/3)), 0); Oy: значение уравнения (1-2x^3)/2x^2 при х=0 не определено, поэтому пересечения с осью Оу не будет; в) Асимптоты: Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=0. Так как y → 0 при х → -∞, у → +∞ при х → 0, то прямая x=0 является вертикальной асимптотой графика функции. Если х → +∞(x → -∞), то у → 0; следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции. г) Точки возможного экстремума. Из существования пределов k = lim [х → +∞(x → -∞)] f(x)/x = lim [х → +∞(x → -∞)] (1-2x^3)/2x^3 = -1; lim [х → +∞(x → -∞)] (f(x) - kx) = lim [х → +∞(x → -∞)] ((1-2x^3)/2x^2 +x) = 0; Находим производную и приравниваем к нулю: y' = [ (1-2x^3)/2x^2 ]' = - (x^3+1)/x^3 = 0; x^3 = -1, вещественных корней нет, значит, точек возможного экстремума нет (кроме точки х=0). д) Критические т очки. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную: y'' = (y')' = { [ (1-2x^3)/2x^2 ]' }' = { -(x^3+1)/x^3 }' = 1/x^3. Так как y'' в нуль не обращается, то критических точек нет. е) Исследуем знак первой и второй производных. Точка возможного экстремума, подлежащая рассмотрению: x=0, разделяет область существования функции на интервалы (-∞;0) и (0;+∞). Далее составляем таблицу, в которой колонки - данные интервалы и точки экстремума (в данном случае одна), а строки - y, y' и y'', и расставляем знаки на интервалах, а по знаку второй производной определяем направленность выпуклостей. Исходя из построенной таблицы строим график функции. Удачи!
Ответ отправил: Мухуров Петр (2-й класс)
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.26 от 05.01.2011 |
| В избранное | ||
