Отправлен: 22.02.2007, 11:10
Вопрос задал: Verbat (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, Verbat!
Я думаю Вы недостаточно точно переписали условие. Поэтому могу лишь посоветовать:
при решении не помешает использовать тему про "замечательные пределы"
В частности sinx/x
Если преобразования не получатся, можно попробовать взять производную от числителя и знаменателя и найти предел отношения производных. Повторить эту операцию несколько раз.
Ответ отправила: Яна (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 22.02.2007, 12:14
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Verbat!
Для отыскания предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю, удобно пользоваться правилом Лопиталя - предел дроби равен пределу производной числителя делённой на производную знаменателя.
Для решения Вашего конкретного примера поясните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под выражением
sqrt^3(выражение).
Я такой формы выражения не встречал; поиск в Гугле ничего не дал - все ответы, как будто я запрашивал SQRT(3), т.е. квадратный корень из 3.
Если подразумевается кубический корень, то лучше вместо этого написать возведение в степень ^(1/3); если же это квадратный корень, возведённый в куб (ф-ция SQRT (для удобства чтения её принято набирать заглавными буквами) сама по себе означает именно КВАДРАТНЫЙ корень и никакой другой), то лучше записать так:
(SQRT(подкоренное выражение))^3,
либо просто подкоренное выражение возвести в степень ^(3/2).
Вообще, при однострочной записи выражений рекомендуется "не жалеть скобок", чтобы порядок действий был ясен чётко и однозначно.
На всякий случай уточняю: ф-цию exp(3) обычно понимают как (En)^3, где En = 2,718281828 – основание натуральных логарифмов; иными словами
exp(3) = (2,718281828)^3 = 20.0855369,
т.е. мы имеем дело просто с константой. Если и в данном случае это именно так, пожалуйста, подтвердите.
Примечание: Как оказалось, в обоих случаях предел стремится к нулю (проверено на численных примерах с помощью Excel). Может быть, что-то ещё не так в исходном выражении? Есть подозрение, что в exp(3) на самом деле пропущен x, и следует читать exp(x*3) – это уже не константа, и выражение (exp(x*3)-1) тоже стремится к нулю. Советую проверить.
А вот предположим, что и в самом деле задача такая:
lim (x->0) (((1 + x^4)^(3/2)) - 1)/((x - SIN(x))*(EXP(x*3) - 1))
Правилом Лопиталя, конечно, воспользоваться можно, однако тогда придётся продифференцировать числитель и знаменатель по 4 раза, чтобы их пределы стали не равны нулю. Вид выражения подсказывает, что лучше всего разложить функции в полиномиальные ряды, а потом отбросить члены высшего порядка малости.
Для разложения (1+x^4)^(3/2) применим бином Ньютона, который пригоден и к случаю дробной степени. Вначале сделаем подстановку:
x^4 = u.
Тогда:
(1 + u) ^(3/2) = 1 + (3/2)*u + ....
- ограничиваемся 1-м членом – следующие будут иметь малость более высоких порядков.
Делаем обратную подстановку:
(1+x^4)^(3/2) = 1 + (3/2)*(x^4),
и:
(1 + (x^4))^(3/2) – 1 = 1 + (3/2)*(x^4) – 1 = (3/2)*(x^4)
Для функции SIN(x) используем разложение в ряд Маклорена, ограничившись 2-мя членами:
SIN(x) = x – (x^3)/(3!) = x – (x^3)/6.
Тогда:
x - SIN(x) = x – (x – (x^3)/6) = (x^3)/6.
Аналогично разлагаем функцию EXP, сделав предварительно подстановку:
x*3 = u.
Тогда:
EXP(u) = 1 + u +....
Делаем обратную подстановку:
EXP(x^3) = 1 + x*3 +...,
откуда:
EXP(x^3) – 1 = x*3 + ...
Делаем соответствующие замены в исходном выражении:
lim (x->0) (((1 + x^4)^(3/2)) - 1)/((x - SIN(x))*(EXP(x*3) - 1)) = lim (x->0) ((3/2)*(x^6))/((x*3)*(x^3)/6) =
= ((3/2)*(x^4))/((x^4)/2) = (3/2)/(1/2) = (3/2)*2 = 3.
Подстановка разных значений x в исходное выражение даёт результаты (расчёт выполнен с помощью Excel):
x = 1, результат 0.6043166
x = 0.5, результат 1.328979183
x = 0.2, результат 2.194725412
x = 0.1, результат 2.573817235
x = 0.02, результат 2.910958284
x = 0.01, результат 2.955239755
x = 0.005, результат 2.9775602
Приложение:
Ответ отправил: SFResid (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 27.02.2007, 09:57
