Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Иванов Константин Владиславович/Aspirine!
Берете формулы для вычисления cos & sin для разности, суммы, половинного аргумента и пр.
Показываете, что tg(3pi/8) = sqrt(2) + 1
Собственно, проще всего это сделать через формулу приведения
tg(3pi/8) = sin(3pi/8) / cos(3pi/8) = cos(pi/2 - 3pi/8) / sin(pi/2 - 3pi/8) = cos(pi/4) / sin(pi/4)
половинный коэффициент:
sin(pi/4) = sqrt([1 - cos(pi/2)]/2)
cos(pi/4) = sqrt([1 + cos(pi/2)]/2)
Из имеющихся равенств и выражаем tg(3pi/8) и показывем, что он дествительно равен sqrt(2) + 1
отсюда значение вашего выражения равно [16/pi]*[3pi/8] = 6
sqrt(x) - корень квадратный из x
PS: Как угадать, что именно это решение? Я просто на калькуляторе посчитал.
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 15.02.2007, 15:16 Оценка за ответ: 5
Отвечает: spaar
Добрый вечер, Aspirine.
Пусть arctg(√2 + 1) = x , т.е. x - это угол (в принципе, в нахождении этого угла и заключается задача), такой, что
tg(x) = √2 + 1 .
Имеет место известная формула
(cos(x))^2 = 1 / ((tg(x))^2 + 1) , т.е.
(cos(x))^2 = 1 / (4 + 2√2) ;
имеет место и ещё одна известная формула
cos(2x) = 2(cos(x))^2 - 1 , т.е.
cos(2x) = 1 / (2 + √2) - 1 = - (√2 + 1) / (√2 + 2) = | следует умножить числитель и знаменатель на (2 - √2) | = (2 - √2 - 2) / (4 - 2) = - √2 / 2 ; т.о.
2x = (+/-) 3pi / 4 + pi * k , (k - любое целое число), т.е.
x = (+/-) 3pi / 8 + (pi/2) * k .
Но область значений функции arctg: [- pi / 2 ; pi / 2] , т.е. надо брать
x = 3pi / 8.
P.S. И на калькуляторе считать ничего не нужно.
P.P.S. (оффтоп) Вопрос Сухомлину Кириллу Владимировичу (или тому, кто тоже знает): "Как же ставить верхние индексы?"
Ответ отправил: spaar (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 15.02.2007, 20:08 Оценка за ответ: 5
