Вопрос № 74601: Приветствую всех! Вопрос по РЯДАМ:
Нужно доказать, что ряд сходится.
Само задание следующее:
Значек суммы 1/n^2 (еденица деленное на n в степени 2), границы от n=1 до бесконечности.
Очень нужна помощь! Заранее спасибо!...
Вопрос № 74.601
Приветствую всех! Вопрос по РЯДАМ:
Нужно доказать, что ряд сходится.
Само задание следующее:
Значек суммы 1/n^2 (еденица деленное на n в степени 2), границы от n=1 до бесконечности.
Очень нужна помощь! Заранее спасибо!
Отправлен: 07.02.2007, 16:31
Вопрос задал: Snatch (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Verena
Здравствуйте, Snatch!
Вообще, это ряд Дирихле (со степенью >1 сходится). Но если доказывать, можно использовать признак Раабе (т.е. lim n*((a(n)/a(n+1))-1)=q, сходится при q>1)
lim n*((n+1)^2/n^2 - 1)= lim ((n+1)^2-n^2)/n) = lim ((2n+1)/n)= 2>1 => сходится
n->беск
--------- Эта история - не для истории, понимаешь?
Ответ отправила: Verena (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.02.2007, 17:18
Отвечает: Калимуллин Дамир Рустамович
Здравствуйте, Snatch!
1/n^p - это ряд Дирехле (обощенно-гармонический). Расмотрим функцию f(x)=1/x^p. Рассмотрим интеграл
integral(от 1 до беск)dx/x^p=lim(b->беск)inegral(от 1 до b)dx/x^p)=lim(b->беск)x^(1-p)/(1-p)| подстановка 1 и b. =>lim(b->беск)x^(1-p)/(1-p)+1/(p-1)=1/(1-p)lim(n->беск)b^(1-p)+1/(p-1).
Если p<1 => интеграл расходится, ряд расходится
Если p=1 => интеграл расходится, ряд расходится
Если p>1 => интеграл сходится, ряд сходится.
Вывод. Обобщенно-гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при p<=1.
В Вашем случае p=2, значит ряд сходится.
Если не понятна запись, то сообщите по внутренней почте. Скину решение в word, редакторе формул.
--------- Нет плохого софта, есть плохие люди.
