Вопрос № 75097: Доброе время суток! Поломал зубы об следующую задачку: Разложить на множители и доказать кратность 100 выражения 9^10 + 19^5....Вопрос № 75132: Уважаемые эксперты помагите решить задачи, очень надо!!!!
Хордовая Трапеция ABCD,где AB=BC=CD = AD + DS, где S точка пересечения диагоналей.
Найти велечины внутренних углов Трапеции
мой e-mail : artyomgermany@mail.ru ...
Вопрос № 75.097
Доброе время суток! Поломал зубы об следующую задачку: Разложить на множители и доказать кратность 100 выражения 9^10 + 19^5.
Отправлен: 10.02.2007, 18:07
Вопрос задал: KaRp (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, KaRp!
81^5+19^5=a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3*b+a^2*b^2-a*b^3+b^4)=100*(.....)
Ответ отправила: Яна (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 10.02.2007, 22:54
Отвечает: Nacre
Здравствуйте, KaRp!
9^10+19^5=81^5+19^5
Далее по формуле x^(2n+1)+y^(2n+1)
81^5+19^5=(81+19)(81^4-81^3*19+81^2*19^2-81*19^3+19^4)
81+19=100 => делится на 100
Ответ отправила: Nacre (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 11.02.2007, 13:44
Вопрос № 75.132
Уважаемые эксперты помагите решить задачи, очень надо!!!!
Хордовая Трапеция ABCD,где AB=BC=CD = AD + DS, где S точка пересечения диагоналей.
Найти велечины внутренних углов Трапеции
мой e-mail : artyomgermany@mail.ru
Отправлен: 10.02.2007, 22:48
Вопрос задал: Haiwolf (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: spaar
Привет, Haiwolf!
Основное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (ОСВОЧ): сумма противолежащих углов равна pi.
Пусть AB = BC = CD = a, AD = b, т.е. DS = AS = a - b.
Рассмотрим треугольник BAD. Обозначим углы: ADB = alpha, ABD = beta.
Посмотрим на другие углы:
CBD = alpha (т.к. AD и BC параллельны, BD - секущая), BDC = alpha (т.к. BC = CD = a), DAC = alpha (фигура вообще симметрична относительно прямой, проходящей через S перепендикулярно основаниям).
Теперь, вспомнив об ОСВОЧ, можно написать следующее:
2alpha + alpha + beta = pi; или 3alpha = pi - beta.
Вернёмся к треугольнику BAD.
b = 2 * (a - b) * cos(alpha) (весьма очевидно, если провести перпендикуляр к b из S);
площадь любого треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, поэтому
0.5 * b * BD * sin(alpha) = 0.5 * a * BD * sin(alpha), т.е.
a = b * sin(alpha) / sin(beta);
подставим это выражение в предыдущее уравнение:
b = 2 * (b * sin(alpha) / sin(beta) - b) * cos(alpha);
можно сократить на b и заменить sin(beta) на sin(3alpha), т.к. 3alpha = pi - beta (см. выше):
1 = 2 * (sin(alpha) - sin(3alpha)) * cos(alpha) / sin(3alpha);
sin(3alpha) = 2 * sin(alpha) * cos(alpha) - 2 * sin(3alpha) * cos(alpha);
напомню, что в общем случае
2 * sin(x) * cos(y) = sin(x + y) + sin(x - y);
sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2) * cos((x - y) / 2);
применим пару раз первую из этих формул:
sin(3alpha) = sin(2alpha) - sin(4alpha) - sin(2alpha);
sin(3alpha) + sin(4alpha) = 0;
теперь воспользуемся второй:
2 * sin (7alpha / 2) * cos (alpha / 2) = 0,
что возможно в двух случаях:
1. cos (alpha / 2) = 0
alpha / 2 = pi / 2 + pi * k (k - целое число);
alpha = pi 2 + 2 * pi * k.
2. sin (7alpha / 2) = 0
7alpha / 2 = pi * n (n - целое число);
alpha = (2 * pi / 7) * n.
Значение alpha, очевидно, лежит в пределах от 0 до pi / 2, т.е. в случае 1 подходящих вариантов нет, а в случае 2 такой вариант один:
alpha = (2 * pi / 7)
Внутренние углы трапеции:
BAD = ADC = 2alpha = (4 * pi / 7);
ABC = BCD = alpha + beta = pi - 2alpha = 3 * pi / 7.
Весьма вероятно, что существует более удачный способ решения. Но и этот, кажется, неплохой :)
Ответ отправил: spaar (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 11.02.2007, 21:23 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: thank you very much ;)))
Отвечает: Nacre
Здравствуйте, Haiwolf!
Видимо у этой задачи решения нет.
Если обозначить AB=BC=CD=a, AD=b, AS=SD=c, BS=SC=d
Из условия => b+c=a
Углы CBD=BCA=BAC=CDA=CAD=BDA=альфа из р.б треугольников и параллельных прямых.
b/a=c/d (из трапеции), откуда d=ac/b
Подобные треугольники: ADS~BDC
Откуда b/(c+d)=c/a
Заменим d=ac/b=(b+c)c/b и a=b+c, подставим в пред. отношение. Заменим b/c=x, получим уравнение:
x^3+x^2-2x+1=0
Т.к. x=b/c=sin(2альфа)/sin(альфа)=2cos(альфа) (из теоремы синусов)
Решение уравнения имеет смысл на отрезке [-2;2]
f(x)=x^3+x^2-2x+1
Посчитаем производную, найдём экстремумы: x_max=(sqrt(7)-1)/3, x_min=(sqrt(7)+1)/3~0.55
На краях отрезка [-2;2] функция принимает положительные значения, значит если её значение в x_min больше нуля, то функция не пересекает ось 0X на отрезке [-2;2]. Проверим, так оно и есть f(x_min)=~0.37
Ответ отправила: Nacre (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 12.02.2007, 12:36
