Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 151
от 27.06.2006, 16:05

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 118, Экспертов: 25
В номере:Вопросов: 20, Ответов: 24


Вопрос № 46935: Вычислить определенные интегралы. ∫(((x^2)+6x+9)sin2x)dx от -3 к 0...
Вопрос № 46936: Найти неопределенные интегралы ∫(((x^2)+1)/(((x^3)+3x+1)^5)dx...
Вопрос № 46937: Вычислить определенные интегралы ∫dx/(x*sqrt((x^2)-1)) от sqrt(3) до sqrt(8)...
Вопрос № 46939: Найти неопределеные интегралы. ∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx...
Вопрос № 46941: Найти неопределенные интегралы ∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx ...
Вопрос № 46942: Найти неопределеный интеграл ∫(((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))dx ...
Вопрос № 46946: 1. Найти общий итеграл диференциального уравнения. (ответ представить в виде Ψ(x,y)=C.) x dx-y dy=yx^2dy-xy^2dx...
Вопрос № 46951: Знайти загальний інтеграл диф-ого рівняння. Найти общий интеграл диф-го уравнения. y^2 y 4y'=------- +10----- + 5 x^2 x ...
Вопрос № 46952: Найти общий интеграл диф-го уравнения. x+5y-6 y'=---------- 7x-y-6 ...
Вопрос № 46954: Решить задачу Коши. 2y y- ---------- = (x+1)^3 , y(0) =1/2 (x+1)...
Вопрос № 46955: Решить задачу Коши. y (x+ln^2 y-ln y)y' = --- , Y =0 x=-2 ...
Вопрос № 46956: Найти ришения задачи Коши y' - y = xy^2, y(0)=1...
Вопрос № 46958: Вычислить определённые интегралы ∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx от 2 к 3...
Вопрос № 46962: Найти общий интеграл дифер. уравнения. (sin y + y sin x + 1/x)dx + (x cos y - cos x +1/y)dy=0...
Вопрос № 46963: 8. Для даного диференційного рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, що проходить через точку М. y’=y-x, M(4,2). ...
Вопрос № 46964: 9. Найти линию, проходящую через точку Mo и обладающую тем свойством, что в любой её точке M касательный вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M. Коэффициент пропорциональности равен а. <br...
Вопрос № 46965: 10. Найти общее решение дифференциального уравнения (1+sin x)y'''+y''=cosx y''...
Вопрос № 46967: Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения (1+sin x)*y''=cosx*y'' 11 Найти решение задачи Коши. y''+50*sin y*cos y^3=0 12. загальне рішення диференціального рівняння. y’’’-y’’=6x+5. 13. Знайти зага...
Вопрос № 46970: Вычислить определенные интегралы. ∫dx/(sqrt((64-(x^2))^3)) [0; 4*sqrt(3)]...
Вопрос № 46972: 14. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x)...

Вопрос № 46.935
Вычислить определенные интегралы.

∫(((x^2)+6x+9)sin2x)dx от -3 к 0
Отправлен: 21.06.2006, 15:52
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
∫(((x^2)+6x+9)sin2x)dx=(-1/2)∫(((x^2)+6x+9)dcos(2x)=
(-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/2)∫(2*x+6)cos(2x)dx=
(-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)∫(2*x+6)dsin(2x)=
(-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)(2*x+6)sin(2x)+(-1/4)∫sin(2x)dx=
(-1/2)(((x^2)+6x+9)cos(2x)-(-1/4)(2*x+6)sin(2x)+(1/8)*cos(2x) [-3;0]=
(-1/2)(9)*1+(1/8)-[(-1/2)((9-18+9)cos(-6)-(-1/4)(-6+6)sin(-6)+(1/8)*cos(-6)]=
-9/2+1/8-1/8*cos(-6)
Вроде, со знаками - порядок

Удачи!
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:07
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.936
Найти неопределенные интегралы

∫(((x^2)+1)/(((x^3)+3x+1)^5)dx
Отправлен: 21.06.2006, 15:55
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Mr Jackal!

∫(((x^2)+1)/(((x^3)+3x+1)^5)dx={заносим под знак дифферинциала (x^2)+1}=
=(1/3)∫d(x^3+3x+1)/(x^3+3x+1)^5={t=x^3+3x+1}=(1/3)∫dt/t=(1/3)*(-1/(4*t^4))=(1/3)*(-1/(4*(x^3+3x+1)^4))
---------
Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:05
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.937
Вычислить определенные интегралы

∫dx/(x*sqrt((x^2)-1)) от sqrt(3) до sqrt(8)
Отправлен: 21.06.2006, 15:58
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
∫dx/(x*sqrt((x^2)-1))=[t=sqrt((x^2)-1); dt=xdx/sqrt(x^2-1)]=
∫dt/(1+t^2)=artcg(t)=arctg(sqrt((x^2)-1))
integral=arctg(sqrt(8-1))-arctg(sqrt(3-1))=arctg(sqrt(7))-arctg(sqrt(2))
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:23
Оценка за ответ: 5

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Mr Jackal!
пусть p=sqrt((x^2)-1),dx=2x/(sqrt((x^2)-1)), x^2=p^2+1, при х=sqrt(3), р=при х=sqrt(8), р=sqrt(7),
∫dx/(x*sqrt((x^2)-1)) = ∫dp/(2(p^2+1))=1/2arctgp от sqrt(2) до sqrt(7)= 1/2(arctg(sqrt(7))- arctg(sqrt(2))
Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:26
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.939
Найти неопределеные интегралы.

∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx
Отправлен: 21.06.2006, 16:01
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))=2*(x^3)+4*x^2+3/(x^2-2*x)
3/(x^2-2*x)=A/x+B/(x-2)
3=A*(x-2)+B*x
A+B=0
-2*A=3
A=-3/2
B=3/2
3/(x^2-2*x)=(-3/2)*(x-2)+(3/2)*x
∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx=∫(2*(x^3)+4*x^2+(-3/2)*(x-2)+(3/2)*x)dx=
(1/2)*x^4+(4/3)*x^3+(-3/2)ln(x-2)+(3/2)ln(x)=
(1/2)*x^4+(4/3)*x^3+(3/2)ln(x/(x-2))
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:32
Оценка за ответ: 5

Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Mr Jackal!

I=∫((2(x^5)-8(x^3)+3)/((x^2)-2x))dx=2∫(x^4/(x-2))dx-8∫(x^2/(x-2))dx+3∫dx/(x^2-2x)

Обозначим полученные интегралы соответственно через I1, I2, I3:
I1=2∫(x^4/(x-2))dx;
I2=-8∫(x^2/(x-2))dx;
I3=3∫dx/(x^2-2x);

I1=2∫(x^4/(x-2))dx=2∫(((x^4)-16+16)/(x-2))dx=2∫(x^3+2x^2+4x+8)dx+2∫16*dx/(x-2)=2*((x^4)/4+(2/3)*x^3+2x^2+8x)+32*ln(x-2);

I2=-8∫(x^2/(x-2))dx=-8∫(((x^2)-4+4)/(x-2))dx=-8∫(x+2)dx-8∫4*dx/(x-2)=-8*((x^2)/2+2x)-32*ln(x-2);

I3=3∫dx/(x^2-2x)={разобьем дробь 1/(x^2-2x) на простейшие};
1/(x^2-2x)=A/x+B/(x-2)=((A+B)x-2A)/(x^2-2x)
Получаем систему:
A+B=0;
-2A=1
A=-1/2; B=1/2, следовательно
I3=3∫dx/(x^2-2x)=3*(-1/2)∫(dx/x)+3*(1/2)∫dx/(x-2)=(-3/2)*ln(x)+(3/2)*ln(x-2);

Итог:
I=I1+I2+I3={после упрощения}=(1/2)*x^4+(4/3)*x^3-(3/2)*ln(x)+(3/2)*ln(x-2)
---------
Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:49
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.941
Найти неопределенные интегралы

∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx
Отправлен: 21.06.2006, 16:32
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Mr Jackal!
∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx=∫2/(х+2)dx+∫1/(x+1)^3dx=2ln(x+1)+1/(x+1)^2 +c
Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 16:42
Оценка за ответ: 3

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
Небольшая ошибка в предыдущем ответе

∫((2(x^3)+6(x^2)+7x+4)/((x+2)(x+1)^3))dx=∫2/(х+2)dx+∫1/(x+1)^3dx=2ln(x+2)+(-1/2)/(x+1)^2 +C
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 17:12
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.942
Найти неопределеный интеграл

∫(((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))dx

Отправлен: 21.06.2006, 16:38
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Mr Jackal!
Разложим на дроби:
((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2+1)=(Ax^3+Ax+Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2+Cx^2+Dx+Cx+D)/((x^2+x+1)(x^2+1));

Получаем систему:
A+C=1
B+C+D=0
A+C+D=1
B+D=1
Решение системы A=2; B=1; C=-1; D=0

∫(((x^3)+x+1)/(((x^2)+x+1)(x^2)+1))dx=∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)-∫xdx/(x^2+1)=
=∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)-(1/2)∫(x^2+1)dx/(x^2+1)=ln(x^2+x+1)-(1/2)*ln(x^2+1);
---------
Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Студент)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:11
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.946
1. Найти общий итеграл диференциального уравнения. (ответ представить в виде Ψ(x,y)=C.) x dx-y dy=yx^2dy-xy^2dx
Отправлен: 21.06.2006, 16:51
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Топрчий Андрей Валерьевич/Arian!
x dx-ydy=y(x^2)dy-x(y^2)dx
x(1+y^2) dx=y(1+x^2)dy
x/(1+x^2) dx=y/(1+y^2)dy
(1/2)ln(x^2+1)=(1/2)ln(y^2+1)+(1/2)ln(C)
x^2+1=C(y^2+1)

Ответ (x^2+1)/(y^2+1)=C
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 17:00
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.951
Знайти загальний інтеграл диф-ого рівняння.
Найти общий интеграл диф-го уравнения.
y^2 y
4y'=------- +10----- + 5
x^2 x
Отправлен: 21.06.2006, 17:17
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
4y'=y^2/x^2 +10 *y/x +5
сделаем замену
y=x*t; y'=t+x*t'
4*(t+x*t')=t^2+10*t+5
4*x*t'=t^2+6*t+5=(t+1)*(t+5)
4*dt/((t+1)*(t+5))=dx/x
1/((t+1)*(t+5))=A/(t+1)+B/(t+5)
1=A*(t+5)+B*(t+1)
A+B=0
5*A+B=1

B=-A
5*A-A=1 => A=1/4, B=-1/4

dt/(t+1)-dt/(t+5)=dx/x
ln((t+1)/(t+5))=ln(x)+ln(C)
(t+1)/(t+5)=C*x
(y/x+1)/(y/x+5)=C*x
(y+x)/(y+5*x)=C*x

Ответ (y+x)/(y+5*x)=C*x
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 21:23
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.952
Найти общий интеграл диф-го уравнения.

x+5y-6
y'=----------
7x-y-6
Отправлен: 21.06.2006, 17:19
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!

(Метод переноса начала координат в точку пересечения прямых)
Найдём точку пересечения прямых
7x-y-6=0
x+5y-6=0
x=1; y=1
сделаем замену
x=x1+1
y=y1+1
получим следующее уравнение
y1'=(x1+5y1)/(7x1-y1) - это однородное уравнение
сделаем замену
y1=t*x1; y1'=t+t'*x1
t+t'*x1=(x1+5x1*t)/(7x1-x1t)=(1+5t)/(7-t)
x1*t'=(1+5t)/(7-t)-t=(1+5t-7t+t^2)/(7-t)=(1-2t+t^2)/(7-t)=((1-t)^2)/(7-t)
(7-t)dt/((1-t)^2)=dx1/x1
разложим дробь (7-t)/((1-t)^2)=A/(1-t)+B/((1-t)^2)
7-t=A(1-t)+B
t: -1=-A
1: 7=A+B
т.о. А=1; B=6
ntegral dt/(1-t)=-ln(1-t)
ntegral dt/((1-t)^2)=integral -d(1-t)/((1-t)^2)=1/(1-t)
[1/(1-t)+6/((1-t)^2)]dt=dx1/x1
-ln(1-t)+6/(1-t)=ln(x1)+ln(C)
возвращаемся к нашим переменным
-ln(1-y1/x1)+6/(1-y1/x1)=ln(x1)+ln(C)
-ln((x-y)/(x-1))+6(x-1)/(x-y)=ln(x-1)+ln(C)

e^(6(x-1)/(x-y))=C*(x-y)
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 22.06.2006, 10:58


Вопрос № 46.954
Решить задачу Коши.
2y
y- ---------- = (x+1)^3 , y(0) =1/2
(x+1)
Отправлен: 21.06.2006, 17:22
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
y'-2y(x+1)=(x+1)^3, y(0)=1/2
решим сначала однородное уравнение
y'-2y(x+1)=0
(x+1)dy=2ydx
dy/y=2dx/(x+1)
ln(y)=2ln(x+1)+ln(C)
y=C((x+1)^2)
воспользуемся методом вариации постоянных
ищем решение в виде
y=C(x)*((x+1)^2) - подставим в исходное уравнение
y'=C'(x)*((x+1)^2)+2*C(x)*(x+1)

C'(x)*((x+1)^2)+2*C(x)*(x+1)-2*C(x)*(x+1)=(x+1)^3
C'(x)=x+1
C(x)=(x^2)/2+x+C

т.о.
y=((x^2)/2+x+C)*((x+1)^2)
найдём константу из условия y(1)=1/2
1/2=(1/2+1+C)*4
1/8=3/2+C =>C=-11/8

Ответ: y=((x^2)/2+x-11/8)*((x+1)^2)
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:03
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.955
Решить задачу Коши.
y
(x+ln^2 y-ln y)y' = --- , Y =0
x=-2
Отправлен: 21.06.2006, 17:26
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Arian!

Насколько я понял, задание следующее (Вы писали в форум): Решить задачу Коши (x+ln^2 y-ln y)y' = y/2, y x=2 =1. Т. е. при x=2 y=1.

Мои выкладки находятся в приложении.

С уважением,
Mr. Andy.

Приложение:

---------
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 23.06.2006, 10:51


Вопрос № 46.956
Найти ришения задачи Коши

y' - y = xy^2, y(0)=1
Отправлен: 21.06.2006, 17:28
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
y' - y = xy^2
делаем замену z=1/y z'=-y'/y2
z'+z=-x
решаем уравнение z'+z=0
dz/z=-dx
ln(z)=-x+ln(C)
z=C*e^(-x)
подставим z=C(x)*e^(-x) в исходное ур-е, получим
C'(x)e^(-x)-C(x)*e^(-x)+C(x)*e^(-x)=x
C'(x)=x*(e^x)
C(x)=(x-1)*(e^x)+C
z=((x-1)*(e^x)+C)*e^(-x)=(x-1)+C*(e^(-x))
y=1/((x-1)+C*(e^(-x)))
y(0)=1/(-1+C)=1 => -1+C=1 => C=2
Ответ
y=1/((x-1)+2*(e^(-x)))

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:08
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.958
Вычислить определённые интегралы

∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx от 2 к 3
Отправлен: 21.06.2006, 17:33
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx
сделаем замену
t=(3-2x)/(2x-7)
t(2)=-1/(-3)=1/3
t(3)=-3/(-1)=3
(2x-7)*t=(3-2x); 2x*t+2x=7*t+3; x=(7*t+3)/(2*t+2)
dx=[7*(2*t+2)-2*(7*t+3)]/((2*t+2)^2)dt
получим интеграл по t от 1/3 до 3 от [2*sqrt(t)/((t+1)^2)]dt
сделаем замену
z=sqrt(t); dz=dt/(2*sqrt(t)); dt=2zdz
z(1/3)=sqrt(1/3)
z(3)=sqrt(3)
получим интеграл по z от sqrt(1/3) до sqrt(3) от 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)dz
разложим 4*(z^2)/(((z^2)+1)^2) на простейшие дроби
4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)=(Az+B)/((z^2)+1)+(Cz+D)/(((z^2)+1)^2)
4*(z^2)=(Az+B)*((z^2)+1)+(Cz+D)=A(z^3)+B(z^2)+Az+B+Cz+D
A=0; B=4; A+C=0; B+D=0 => A=0; B=4; C=0; D=-4
т.о.
4*(z^2)/(((z^2)+1)^2)=4/((z^2)+1)-4/(((z^2)+1)^2)
интеграл от dz/((z^2)+1)=arctg(z)
интеграл от dz/(((z^2)+1)^2)=z/(2*((z^2)+1))+arctg(z)

в итоге получим выражение -4*z/(2*((z^2)+1)) где z от sqrt(1/3) до sqrt(3)
-4*sqrt(3)/(2*(3+1))-(-4*sqrt(1/3)/(2*(1/3+1)))=
-4*sqrt(3)/8+4*sqrt(1/3)/(8/3)=-sqrt(3)/2+sqrt(3)/2=0

Ответ: ∫(sqrt((3-2x)/(2x-7)))dx от 2 к 3 = 0
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:47
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.962
Найти общий интеграл дифер. уравнения.
(sin y + y sin x + 1/x)dx + (x cos y - cos x +1/y)dy=0
Отправлен: 21.06.2006, 18:01
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
(sin y + y sin x + 1/x)dx + (x cos y - cos x +1/y)dy=0
M(x,y)=sin y + y sin x + 1/x
N(x,y)=x cos y - cos x +1/y
(частные производные)
dM/dy=cos y+sin x
dN/dx=cos y + sin x
т.о. имеем уравнение в полных дифференциалах
ищем решение в виде F(x,y)
где частные производные dF/dx=sin y + y sin x + 1/x; dF/dy=x cos y - cos x +1/y
dF/dx=sin y + y sin x + 1/x проинтегрируем по x при постоянном y
F(x,y)=x*sin(y)-y*cos(x)+ln(x)+phi(y)
продифференцируем по y
dF(x,y)/dy=x*cos(y)-cos(x)+phi'(y)=x cos y - cos x +1/y
phi'(y)=1/y
phi(y)=ln(y)+C
т.о.
получаем ответ: x*sin(y)-y*cos(x)+ln(x)+ln(y)=C
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 23:57
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.963
8. Для даного диференційного рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, що проходить через точку М.

y’=y-x, M(4,2).
Отправлен: 21.06.2006, 18:05
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
Изоклин это ГМТ на плоскости (x,y), в которых наклон касательных к решениям уравнения y'=F(x,y) один и тот же
т.е. F(x,y)=C (const)
в данном случаем F(x,y)=y-x это прямая на плоскости
для нахождения C подставим точку M, получим
C=2-4=-2
т.о. интегральной кривой является прямая y-x+2=0
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 18:32
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.964
9. Найти линию, проходящую через точку Mo и обладающую тем свойством, что в любой её точке M касательный вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox, обратно пропорциональную абсциссе точки M. Коэффициент пропорциональности равен а.

Mo (1, 1/e^2), a=1/4
Отправлен: 21.06.2006, 18:08
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Arian!

Предлагаю Вам ознакомиться с решением, которое находится в приложении.

Ход решения, думаю, правильный, а вот численные выкладки рекомендую проверить...

С уважением,
Mr. Andy.

Приложение:

---------
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 22.06.2006, 09:06


Вопрос № 46.965
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1+sin x)y'''+y''=cosx y''
Отправлен: 21.06.2006, 18:09
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Arian!

Решение находится в приложении.

С уважением,
Mr. Andy.

Приложение:

---------
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 23.06.2006, 08:58


Вопрос № 46.967
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1+sin x)*y''=cosx*y''

11 Найти решение задачи Коши.
y''+50*sin y*cos y^3=0
12. загальне рішення диференціального рівняння.
y’’’-y’’=6x+5.

13. Знайти загальне рішення диференціального рівняння.
у’’’ + 5у’’ + 7у’ + 3у = (16х + 20)е^х.
14. Найти общее решение дифференциального уравнения.
y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x).
15. Найти общее решение дифференциального уравнения.
y'' + 5y' = 50 sh 5x
16. Найти решение задачи Коши.
y'' + 4y = 4/cos 2x, y(0) = 2, y'(0) = 0.
Отправлен: 21.06.2006, 18:17
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
10
если в условии нет ошибки, то решение сводится к нахождению
y''=0
y=C1+C2*x - общее решение

12
λ^3-λ^2=0 => λ=0, λ=1
т.о. общее решение однородного уравнения имеет вид
y0=C1*e^x+(C2+C3*x)
частное решение ищем методом неопределенных коэффициентов в виде
y1=(x^2)*(Ax+B)
(y1)'=3*A*(x^2)+2*B*x
(y1)''=6*A*x+2*B
(y1)'''=6*A
6*A-6*A*x-2*B=6*x+5
x: -6*A=1
1: 6*A-2*B=5
A=-1/6; B=-3
Овет y=y0+y1=C1*e^x+(C2+C3*x)+(x^2)*(-x/6-3)

15
λ^2+5λ=0; λ=0, λ=-5
y0=C1+C2*e^(-5*x)
Воспользуемся методом вариации постоянных
ищем решение в виде
y=C1(x)+C2(x)*e^(-5*x)
тогда получаем следующую систему
(C1(x))'+(C2(x))'*e^(-5*x)=0
-5(C2(x))'*e^(-5*x)=25(e^(5x)-e^(-5x))
откуда
(C2(x))'=5(e^(10x)-1)
(C1(x))'=-(C2(x))'*e^(-5*x)=-5(e^(5x)-e^(-5x))=-10sh(5x)
C1(x)=-2ch(5x)+A
C2(x)=(1/2)*e^(10x)-5x+B

т.о. общее решение имеет вид y=-2ch(5x)+A+((1/2)*e^(10x)-5x+B)*e^(-5*x)

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 23.06.2006, 14:18


Вопрос № 46.970
Вычислить определенные интегралы.

∫dx/(sqrt((64-(x^2))^3)) [0; 4*sqrt(3)]
Отправлен: 21.06.2006, 18:59
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Mr Jackal!
в справочнике есть формула:
∫dx/(sqrt((a^2-(x^2))^3)) = x/(a^2*(sqrt((a^2-(x^2))+с
если воспользоваться, то
4√3/(64√(64-48)=√3/64
Ответ отправила: Dayana (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 21.06.2006, 20:50
Оценка за ответ: 5

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Mr Jackal!
∫dx/(sqrt((64-(x^2))^3)) [0; 4*sqrt(3)]
сделаем замену
x=8*cos(t)
x(0)=0=8*cos(t)=> t0=PI/2
x(4*sqrt(3))=4*sqrt(3)=8*cos(t)=> t1=PI/6
dx=-8*sin(t)dt
∫-8*sin(t)dt/((8*sin(t))^3)=(-1/64)∫dt/((sin(t))^2)=(1/64)*(ctg(t0)-ctg(t1))=sqrt(3)/64

PS Формула-то формулой, но это не есть основная формула, да и такие формулы тяжело запоминать.Необходимо такие интегралы преобразовывать к простейшим.

Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 22.06.2006, 01:00
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 46.972
14. Найти общее решение дифференциального уравнения. y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x)
Отправлен: 21.06.2006, 19:20
Вопрос задал: Arian (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: gitter
Здравствуйте, Arian!
y'' + 2y' = 3e^x (sin x + cos x)
решаем однородное уравнение
y'' + 2y' =0
λ^2+2λ=0; λ=0, λ=-2
y0=C1+C2*(e^(-2x))
частное решение ищем в виде
y1=e^x (A*sin x + B*cos x)
y1'=e^x (A*sin x + B*cos x)+e^x (A*cos x - B*sin x)=e^x [(A-B)*sin x + (A+B)*cos x]
y1''=e^x (A*sin x + B*cos x)+e^x (A*cos x - B*sin x)+e^x (A*cos x - B*sin x)+e^x (-A*sin x - B*cos x)=e^x[(A-B-B-A)sin x+(B+A+A-B)cos x]
y'' + 2y'=e^x[-2*B*sin x+2*A*cos x]+2*e^x [(A-B)*sin x + (A+B)*cos x]=3e^x (sin x + cos x)
cos x: 2*A+2*(A+B)=3 => 4*A+2*B=3
sin x: -2*B+2*(A-B)=3 => -4*B+2*A=3
т.о.
A=9/10; B=-3/10
т.о. общее решение записывается в виде
y=y0+y1
y=C1+C2*(e^(-2x))+e^x (9*sin x - 3*cos x)/10
Ответ отправил: gitter (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 22.06.2006, 00:33
Оценка за ответ: 5


Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А.
Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.34 от 01.06.2006
Яндекс Rambler's Top100

В избранное