/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 130
от 03.06.2006, 18:35

Вопрос № 44.513

Прошу помочь :Вычислить предел двумя способами:1) используя разложение по формуле Тейлора 2)с помощью правила Лопиталя lim(x^3/(ln(1-2x)+2x+2x^2)) x->0 Заранее спасибо!

Отправлен: 28.05.2006, 21:03 Вопрос задал: Вячеслав Sage (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: [PROnet] * St@cK ! N.Nov Здравствуйте, Вячеслав Sage! 2)По лопиталю: дифференцируем: 3х^2/ ((-2/1-2x)+2 + 4x) не памагло, ещё раз проводим ту же процедуру: 6x/ (4/(1-2x)^2 +4) и в нуле это будет ноль P.S. Если что не так - по лицу не бить --------- Семь бед - один ответ: RESET !!!

Ответ отправил: [PROnet] * St@cK ! N.Nov (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 28.05.2006, 21:11

Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович Здравствуйте, Вячеслав Sage! По Тейлору: ln(1+x) = 1 + x - x^2/2 + x^3/3 + o(x^4) ln(1-2x) = 1 - 2x - 2x^2 - 8x^3/3 + o(x^4) x^3 / (ln(1-2x)+2x+2x^2) = x^3 / (-8x^3/3 + o(x^4)) => lim = -3/8 По Лопиталю: [PROnet] * St@cK ! N.Nov начал хорошо, но допустил ошибку - потерял минус. ((-2/1-2x)+2 + 4x)' = (-4/(1-2x)^2 + 4) { -2(f^(-1))' = -2(-f^(-2)*f') = 2f'/f^2 = -4/f^2 } Получаем 0/0 - "лопиталим" еще раз: lim{6 / [-16/(1-2x)^3]} = -3/8 при x -> 0. Здесь также при диффиренцировании "вылазят" два минуса и еще два раза "вылазит" коэффициент 2.

Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 28.05.2006, 23:02 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки:

Вопрос № 44.536

1)площадь области ограниченной линиями x=5 cos t y=2 sin t 0<=t<=2pi 2)длину дуги кривой l x=3t^2+1 y=3t-t^3 0<=t<=1

Отправлен: 29.05.2006, 07:19 Вопрос задал: Вячеслав Sage (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович Здравствуйте, Вячеслав Sage! 1) Это площадь эллипса: 2*5*pi = 10pi 2) dx = 6t∙dt; x' = 6t; dy = 3∙(1-t^2)∙dt; y' = 3(1 - t^2); L = integral[√((x')^2+(y')^2)]dt = integral[3∙(1+t^2)]dt = [t^3 + 3t]|[0;1] = 4;

Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 08:28 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 44.555

Вычислить пределы функций. lim {x->0} ((7^3x)-(3^2x))/(tgx+x^3)

Отправлен: 29.05.2006, 11:32 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! Все тоже правило Лопиталя, так при подстановке х получаем неопределенность "0/0": f(x)=(7^3x)-(3^2x) f'(x)=3*ln(7)*(7^3x)-2*ln(3)*(3^2x) g(x)=tgx+x^3; g'(x)=1/(cos(x))^2+3*x^2; lim{x->0}=f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)=(3*ln(7)*(7^3x)-2*ln(3)*(3^2x))/(1/(cos(x))^2+3*x^2)= ={при подстановке х}=3*ln(7)-2*ln(3); --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 12:09 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 44.556

Вычислить пределы функций. lim {x->0} ((e^sin2x)-(e^sinx))/tgx

Отправлен: 29.05.2006, 11:34 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! Правило Лопиталя: f(x)=(e^sin(2x))-(e^sin(x)); f'(x)=2*cos(2x)*e^sin(2x)-cos(x)*e^sin(x) g(x)=tgx; g'(x)=1/(cos(x))^2 lim{x->0}=f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)=(2*cos(2x)*e^sin(2x)-cos(x)*e^sin(x))/(1/(cos(x))^2)= ={при подстановке х}=(2*1*1-1*1)/1=1; --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 12:10 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 44.559

Здравствуйте, эксперты! Задача: «На столе стоит бокал, внутренняя поверхность которого получена вращением параболы y = x^2 вокруг своей оси. В него кидают шарики радиусов 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 (после каждого броска шарик достают и кидают новый). Сколько из этих шариков застрянут, не долетев до дна бокала и какой (-ие)?». Я решил задачу, но решение не верно (с ответом не сходится), решение в приложении. Заранее благодарю. Приложение: Чертим параболу y = x^2. Чтобы застрял шарик, надо, чтобы расстояние от центра шарика до вершины параболы должно быть больше радиуса. Имеем: 0,3^2=0.09 0.4^2=0.16 0.5^2=0.25 0.6^2=0.36 Значит они все долетят до дна. А настоящий ответ: 1 (но какой именно шарик не указано).

Отправлен: 29.05.2006, 11:52 Вопрос задал: [vanya777] (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: romodos Здравствуйте, [vanya777]! Хм..Вы как-то странно решаете. Я пошел самым простым путем. Постоил графики функций y=x^2-R и y=-sqrt(R^2-x^2) Это как раз и моделирует нахождение шарика на дне. И что я увидел? Все пары графики имеют по одной общей точке (-R;0) что соответсвует касанию, кроме одной при R=0.6 Тогда графики пересекаются в точках x=+-0.45 Значит, шарик радиусом R=0.6 не долетил до дна. --------- The Source is Our Soul. FAQ me off!

Ответ отправил: romodos (статус: Практикант) Ответ отправлен: 29.05.2006, 12:08 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Гениально просто... Спасибо. Могли бы показать графики функций? Скиньте на vanya777@yandex.ru

Отвечает: wils0n Здравствуйте, [vanya777]! Попробую дать более строгое объяснение. Если окружность (шарик) долетает до дна, то она обязательно соприкасается с параболой в точке (0,0). Если нет, то мы искуственно пердвиним её в точку (0,0). При этом окружность будет касаться параболы в точке (0,0) и пересекать её ещё в двух точках. Давайте искать окружности, которые будут иметь центр на оси Y и проходить через начало координат. При этом понаблюдаем при каком максимальном радиусе они не будут иметь точек пересечения с параболой y=x^2: Такие окружности с рабиусом r будут иметь уравнение x^2+(y-r)^2 = r^2, причём согласно нашим требованиям y>=0 (так как окружность должна полностью лежать выше оси Х) Давайте искать точки пересечения с параболой y=x^2. То есть мы решаем систему x^2+(y-r)^2 = r^2 y=x^2 подставляем второе уравнение в первое и получаем y + (y-r)^2 = r^2 y + y^2 - 2yr + r^2 = r^2 /*r^2 сокращаем*/ y^2 - y(2r-1) = 0 y(y - (2r-1)) = 0 Отсюда получаем, y = 0 y = 2r-1 Если r <= 0.5, то второе значение y не будет решением, так как в этом случае y принимает отрицательное значение (см. выше) или ноль. Если r > 0.5, то второе значение y будет заведомо положительным, а это значит, что окружность будет иметь точки пересечения с параболой, что означает, что шарик с таким радисом застрянет. Отсюда ответ: Шарики с радиусом r <= 0.5 достигнут дна, а шарик с радиусом r = 0.6 застрянет --------- Life is like a box with chocolate. You never know what you're gonna get. (c) Forrest Gump's mom

Ответ отправил: wils0n (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 12:38 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо.

Отвечает: Atti Здравствуйте, [vanya777]! Есть решение попроще! Радиус кривизны параболы р(х)=((1+(у1)^2)^1.5)/у2. здесь у1 и у2- первая и вторая производные. получаем р(х)=0,5*(1+4х^2)^1.5. Минимум при х=0. Значит, до дна бокала долетят шарики радиус которых меньше радиуса кривизны в х=0. р(0)=0,5. Отсюда такой же ответ, как и предидущего автора.

Ответ отправил: Atti (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 19:41 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 44.567

Вычислить пределы функций lim {x->0} (((2^2x)-1)/x)^(x+1)

Отправлен: 29.05.2006, 12:42 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! lim{x->0}(((2^2x)-1)/x)^(x+1)= ={воспользуемся теоремой о бесконечно малых эквивалентных функциях, можно говорить что [(2^2x)-1]~2x*ln(2) (взято из таблицы эквивалентных функций)}= =lim{x->0}((2x*ln(2))/x)^(x+1)=lim{x->0}(2*ln(2))^(x+1)={при подстановке х}=2*ln(2); Да, а задачи то становятся все веселее и веселее ;o) --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 16:24

Вопрос № 44.568

Вычислить пределы функций lim {x->1} (2*(e^(x-1))-1)^(x/(x-1))

Отправлен: 29.05.2006, 12:43 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! lim{x->1}(2*(e^(x-1))-1)^(x/(x-1))={немного преобразуем}= =lim{x->1}(1+2*e^(x-1)-2)^(1/(2*e^(x-1)-2))*(2*e^(x-1)-2)*(x/(x-1))= ={используем второй замечательный предел}= =e^lim{x->1}(2*x*(e^(x-1)-1))/(x-1)= ={так как [e^(f(x))-1]~f(x) то (e^(x-1))-1)~x-1 (теорема о бесконечно малых эквивалентных функциях)}= =e^lim{x->1}(2*x*(x-1))/(x-1)=e^lim{x->1}(2*x)=e^2; Да, а задачи то становятся все веселее и веселее ;o) --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 16:25

Вопрос № 44.569

Вычислить пределы функций lim {x->pi/4} (sinx+cosx)^(1/tgx)

Отправлен: 29.05.2006, 12:45 Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Mr Jackal! lim{x->pi/4}(sinx+cosx)^(1/tgx)={так как tgx=sin(x)/cos(x)}=lim{x->pi/4}= =lim{x->pi/4}(sinx+cosx)^(cos(x)/sin(x))={при подстановке х}=(√2/2+√2/2)^((√2/2)/(√2/2))= =(√2)^(1)=√2; --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 14:05

Вопрос № 44.584

Здравствуйте эксперты. Помогите пожалуйста решить систему диф. уравнений ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ. Методом исключения решил. x'=x-5y y'=-x+3y

Отправлен: 29.05.2006, 15:13 Вопрос задал: Калимуллин Дамир Рустамович (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович Здравствуйте, Калимуллин Дамир Рустамович! http://math.nw.ru/~budylin/repl/exp/index.html Тут написано, как считать матричную экспоненту. Аналитическую часть решения, я так понимаю, несложно провести. z' = Az; z = exp(At); A = T∙L∙T^-1; L = лI + N; exp(A) = T∙e^л∙(I+N)∙T^-1 Считаете собственные вектора, вычисляете T. Из T и A находите L. Разложить на сумму - вообще не проблема.

Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 29.05.2006, 16:08 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Нас так не учили решать, поэтому незнаю как это делается. Спасибо, что откликнулись

Отвечает: Tigran K. Kalaidjian Здравствуйте, Калимуллин Дамир Рустамович! Посмотрите задачник Филиппова по дифурам - там хорошо описано. --------- aqua nostra ignis est

Ответ отправил: Tigran K. Kalaidjian (статус: Профессионал) Армения, Ереван Организация: Физический факультет МГУ WWW: Персональная страница ---- Ответ отправлен: 29.05.2006, 20:55

Вопрос № 44.596

Срочно Нид Хелп! Помогите разложить функцию в ряд Фурье! F(x) = [x] на интервале (0 пи)

Отправлен: 29.05.2006, 16:32 Вопрос задал: Тесля Дмитрий Валерьевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Tigran K. Kalaidjian Здравствуйте, Тесля Дмитрий Валерьевич! Разбейте отрезок [0,pi] на 4 отрезка: [0,1],[1,2],[2,3],[3,pi], рассмотрите разложение в ряд соответствующих "прямоугольных" функций на [0,pi] (т.е. функции, равной нулю всюду, кроме [1,2], где она равна 1, функции, равной нулю всюду, кроме [2,3], где она равна 2 и др.) и получившиеся ряды сложите. --------- aqua nostra ignis est

Ответ отправил: Tigran K. Kalaidjian (статус: Профессионал) Армения, Ереван Организация: Физический факультет МГУ WWW: Персональная страница ---- Ответ отправлен: 30.05.2006, 16:07 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Чудненько! Биг фенкс!

© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А. Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31 Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.34 от 01.06.2006