Вопрос № 108713: Здраствуйте. Помогите решить интересную задачу.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала....
Вопрос № 108.713
Здраствуйте. Помогите решить интересную задачу.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
Отправлен: 09.11.2007, 17:01
Вопрос задал: Slade (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Slade!
Здраствуйте. Помогите решить интересную задачу.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
Шар с моментом инерции J = 2/5*m*R^2 при качении вниз по сфере приобретает кинетическую энергию поступательного движения m*v^2/2 и кинетическую энергию вращательного J*w^2/2 = (2/5)*m*R^2*(v/R)^2/2 = 1/5*m*v^2.
Полная кинетическая энергия будет m*v^2*(1/2+1/5) = 7/10*m*v^2.
Эта энергия равна изменению потенциальной m*g*h = m*g*(R + r)*(1 - cos(ф)), где ф - угол отклонения от вертикальной оси сферы.
R + r - потому что центр тяжести шара двигается по радиусу R + r.
Таким образом,
7/10*m*v^2 = m*g*(R + r)*(1 - cos(ф))
cos(ф) = 1 - (7/10)v^2/(g*(R + r))
Сила реакции опоры равна 0 в точке отрыва.
При этом сила тяжести имеет тангенциальную компоненту вдоль вектора скорости m*g*sin(Ф) и нормальную m*g*cos(ф).
До точки отрыва нормальная компонента была настолько велика, что радиус кривизны был меньше радиуса сферы и для компенсации избыточной силы действовала сила реакции опоры, так что совместная сила была равна m*v^2/(R + r).
В точке отрыва нормальная компонента силы тяжести обеспечивает центростремительное ускорение в точности равное v^2/(R + r). Т.е.
m*v^2/R = m*g*cos(ф)
cos(ф) = v^2/(g*(R + r))
Сравнивая с предыдущим выражением для cos(ф) получим
1 - (7/10)v^2/(g*(R + r)) = v^2/(g*(R + r))
v^2 = (10/17)g(R + r)
w = v/r = sqrt((10/17)g(R + r))/r
Есть одна заковыка: расчёт шёл из соображений, что радиус шара достаточно мал, чтобы не удариться об пол до момента отрыва.
Это однако, скорее всего верно не всегда. Это будет неверно, если высота, на которую опустится шар к моменту отрыва больше 2*R, т.е.
(R + r)(1 - cos(ф)) > 2R или cos(ф) < 1 - 2*R/(R + r) = (r - R)/(r + R)
Мы нашли ранее, что cos(ф) = v^2/(g*(R + r)) = 10/17 в точке отрыва.
Т.е. условие касания шаром поверхности стола (r - R)/(r + R) > 10/17
17r - 17R > 10r + 10R, 7r > 27R, r > (27/7)R.
Т.о. наше решение верно пока радиус шара меньше (27/7) радиуса сферы.
В остальных случаях мы може рассчитать угловую скорость исходя из уравнения сохранения энергии, где изменение потенциальной энергии равно m*g*2*R:
7/10*m*v^2 = 2*m*g*R
v^2 = (20/7)gR
w = v/r = sqrt((20/7)gR)/r
Проверьте вычисления.
А задача действительно интересная.
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.11.2007, 06:55 Оценка за ответ: 5
