Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июнь 2021   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров
Статус: Советник
Рейтинг: 926
∙ повысить рейтинг » 		Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 325
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 279
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:2892
Дата выхода:12.06.2021, 04:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:12 / 131
Вопросов / ответов:7 / 9

Консультация # 201033: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Найти объем тела, ограниченного поверхностями:...
Консультация # 201034: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Вычислить тройной интеграл:...
Консультация # 201065: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти уравнение главной нормали в точке (1,0,1) для кривой x^2+y^2=1,z^2+y^2=1. ...
Консультация # 201099: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Вычислить площадь фигуры:...
Консультация # 201100: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Вычислить площадь фигуры:...
Консультация # 201101: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: вычислить площадь фигуры:...
Консультация # 201106: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: найти остаток от деления многочлена x^(4)+2x^(3)+x^(2)+x+1 на 2x^(2)+3x+1 в кольце Z/3Z?...

Консультация # 201033:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Дата отправки: 01.06.2021, 16:16
Вопрос задал: lyskov.kirill (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, lyskov.kirill!

Уравнение задаёт сферу, радиус которой равен а центр находится в начале координат. Выясним, какую поверхность задаёт уравнение Получим




Значит, это уравнение задаёт круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат и проходит через точку а радиус равен

В прикреплённом файле фигура, объём которой требуется вычислить, обозначена красным цветом. На верхнем рисунке показан фронтальный разрез, а внизу -- го ризонтальный разрез. Для уменьшения расчётной работы воспользуемся тем, что объём этой фигуры равен умноженному на четыре объёму фигуры, которая задаётся следующей системой неравенств:

Область (фигура) расположена в первом октанте координатного пространства.



Основанием цилиндра является замкнутая область представляющая собой круг откуда получим




Поскольку постольку остаётся неравенство причём Тогда, переходя к цилиндрической системе координат, получим








(ед. объёма).

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 08.06.2021, 14:24
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 201034:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить тройной интеграл:

Дата отправки: 01.06.2021, 16:17
Вопрос задал: lyskov.kirill (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, lyskov.kirill!

Уравнение задаёт верхнюю часть сферы, радиус которой равен а центр находится в начале координат. Уравнение задаёт верхнюю часть конуса второго порядка Неравенство задаёт плоскость и расположенное за ней полупространство

Выясним, по какой линии пересекаются заданные полусфера и часть конуса второго порядка:





то есть линия пересечения полусферы и части конуса второго порядка -- окружность, которая задаётся уравнениями

Проекция этой окружности на плоскость задаётся уравнением

Значит, область представляет собой фигуру, которая ограничена снизу верхней частью конуса второго порядка сверху -- сферой спереди -- плоскостью Эту фигуру можно задать следующей системой неравенств:

На рисунке в прикреплённ ом файле указанная фигура показана на фронтальной и горизонтальной проекциях и закрашена серым цветом.

Переходя к цилиндрической системе координат, получим



(интеграл вычислен здесь: Ссылка >>);


Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 09.06.2021, 11:13
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 201065:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти уравнение главной нормали в точке (1,0,1) для кривой x^2+y^2=1,z^2+y^2=1.

Дата отправки: 03.06.2021, 07:58
Вопрос задал: Vlad_ok (1-й класс)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, Vlad_ok!

Выполним параметризацию кривой в точке Пусть Тогда Значит, параметризация кривой в окрестности точки имеет вид


При этом


Точке соответствует значение параметра Канонические уравнения главной нормали таковы:

или, в данном случае,

а параметрические таковы:


Литература
Цыпкин А. Г., Цыпкин Г. Г. Математические формулы. -- М.: Наука, 1985.

Ответ отредактирован модератором Гордиенко Андрей Владимирович (Советник) 04.06.2021, 23:31

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 04.06.2021, 23:09 style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария
-----
Дата оценки: 05.06.2021, 13:18
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультирует vsetin (Студент):

ПРИМЕЧАНИЕ. Полужирным шрифтом обозначены векторы.

Сначала параметризуем кривую в окрестностях точки (1; 0; 1). Поскольку в условии заданы уравнения, напоминающие уравнения окружности, то можно задать:
x = cos(t), y=sin(t), z = cos(t).
Очевидно, они удовлетворяют уравнениям в условии, а при t=0 дают нам точку (1; 0; 1).

ПРИМЕЧАНИЕ (для справки). Вышеуказанное параметрическое уравнение относится не ко всей кривой, задаваемой уравнениями из условия, а лишь к ее части, проходящей через точку (1; 0; 1). Например, уравнениям в условии задачи также удовлетворяет точка (1; 0; -1), но на нашей параметрической прямой она не лежит (у нашей прямой x=z, а у данной точки x= -z).

Нам нужно найти главную нормаль. Среди прочих, она обладает такими свойствами:
1) лежит в соприкасающейся плоскости;
2) перпендикулярна касательной в данной точке.

Вектор касательной также лежит в соприкасающейся плоскости и его можно вычислить, продифференцировав н аше параметрическое уравнение кривой:

a = (dx/dt; dy/dt; dz/dt) = (-sin(t); cos(t); -sin(t)).

Вторая производная тоже лежит в соприкасающейся плоскости. Кроме того, есть возможность вектор второй производной сделать перпендикулярным касательной, если сделать так, чтобы во всех точках длина касательной была одинаковой, например, равной 1. Тогда, по сути, вторая производная будет отражать вращение вектора касательной.

Поэтому сначала пронормируем вектор касательной:

e = (-sin(t); cos(t); -sin(t)) / sqrt(1 + sin2(t))= = (-sin(t)/sqrt(1 + sin2(t)); cos(t)/sqrt(1 + sin2(t)); -sin(t)/sqrt(1 + sin2(t)))

А теперь поворачиваем (дифференцируем) этот вектор и найдем его значение в точке (1; 0; 1), т.е. при t=0. Чтобы облегчить себе жизнь, члены, в которых в результате дифференцирования будем множитель sin(t), даже не будем выписывать, т.к. при t=0 он обратится в ноль.

В результате пол учим вектор главной нормали с точностью до множителя:

de/dt (0) = (-1·/sqrt(1); 0; -1·/sqrt(1)) = (-1; 0; -1)

Значит, можно взять b= (1; 0; 1)

Выпишем уравнение соответствующей прямой, проходящей через точку r0=(1; 0; 1) в направлении вектора b:

r = r0 + b·s = (1+s; 0; 1+ s)

ОТВЕТ: x(s) = 1 +s; y(s) =0; z(s) = 1+s, где s - любое число.

Консультировал: vsetin (Студент)
Дата отправки: 05.06.2021, 15:03 style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария
-----
Дата оценки: 05.06.2021, 15:13
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Кривая линия задана системой из 2х уравнений : x2 + y2 = 1 , z2 + y2 = 1 .
Требуется составить уравнение главной нормали в точке M(1,0,1) на этой кривой.

Решение: Всегда трудно решать задачи в пространственной геометрии, если не можешь представить исследуемую фигуру в воображении или на чертеже.
Первое заданное уравнение x2 + y2 = 1 - это окружность с радиусом R = 1 и центром в начале координат на плоскости xOy (z = 0).
Второе уравнение z2 + y2 = 1 - аналогичная окружность на плоскости yz (x = 0). На первый взгляд кажется, будто нам дана сфера. Но это предположение ошибочно, тк уравнение сферы
x2 + y2 + z2 = R2 . Мне понадобилось 4 дня, чтобы найти и понять формулы вычисления Главной нормали, а также создать объёмный чертёж заданной фигуры в программе Маткад с возможностью просмотра этого чертежа при его вращении .

Фигура представляет собой Эллиптический цилиндр с огромной дырой, "простреленной" сбоку. На ниже-приложенном чертеже мы видим трубу высотой h = 2·R = 2 и радиусом R = 1 с бесконечно-тонкими стенками. В этой трубе сбоку просверлили отверстие диаметором R = 1 . В итоге от боковой цилиндрической поверхности осталось 2 лепестка, касающихся в 2х точках

Ещё одна затрудняющая особенность фигуры: Любая из бесчисленного множества точек на боковой цилиндрической поверхности имеет главную нормаль, ориентированную строго-горинтально в направлении прочь от оси цилиндра. В частности, вектор глав-нормали в точке Q(1, 0, 0) имеет направление nQ(1, 0, 0). Но только крайние точки отрезка MN имеют наклонные векторы глав-нормали
nM(1, 0, 1) и nN(1, 0, -1) .

Наши лучшие эксперты уже показали Вам 2 решения. И вероятно мой Ответ уже избыточен. Однако в процессе кропотливого изучения материала я нигде не увидел допустимость применения упрощённых методов, применён ных в выше-ответах. Во многих серьёзных статьях и форумах вектор главной нормали рекомендовано вычислять по надёжным, полноценным формулам : Направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение :
[[r→' × r→''] × r→'] - цитата из Ссылка1 ,
где r = r(t) = {(x(t), y(t), z(t)} - радиус-вектор кривой, заданной параметрически, а
[r→' × r→''] - векторное произведение её первой и второй производных.

Я долго недоумевал, почему авторы академических учебников не применяют упрощённую формулу, использованную в выше-ответах? После кропотливых проверочных сравнений/вычислений оказалось, что упрощённая формула даёт НЕ всегда правильный результат. Я заметил, что направление вт орой производной совпадает с направлением главной нормали в плоских кривых и в пространственных кривых с равномерным кручением.

Андрей Владимирович, как опытный математик, сразу сообразил, что наша кривая - плоская, хотя и задана в пространстве.
В простейшей винтовой линии, заданной уравнением
{cos(t) , sin(t) , t} направления второй производной и главной нормали совпали. Но в чуть более сложной "винтовке"
{cos(t) , sin(t) , t2} в точке (-1, 0 , 1) при t0=1 угол м-ду указанными направлениями оказался 6° !

Вы можете выбрать любой из 3х полученных Вами Ответов. Но для защиты первого варианта Ответа Вам надо быть готовым к доп-вопросам настороженного преподавателя типа : "Обоснуйте возможность упрощения" или "Объясните разницу м-ду нормалью и главной нормалью".

Во 2м Ответе эксперт vsetin изящно оперирует тригонометрическими параметрами кривой. Но если Ваш преподаватель старенький или уставший, то нестандарт ные приёмы решения могут вызвать его дополнительные уточняющие вопросы, а нужны ли они Вам?

Вычисления я сделал в приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Прилагаю также чертёж объёмный и видео-вращение фигуры. На нём мелькает курсор, которым я вращал фигуру, чтоб получше показать её Вам.

(в моём браузере сервер сообщает "Файл не найден", даю доп-ссылку в мини-форуме.)
От вет : уравнение главной нормали в точке (1,0,1) в параметрической форме: (p+1 , 0 , p+1) , где p - любое действительное число.

Учебные статьи: Нормаль ru.wikipedia.org/wiki/Нормаль , Главная нормаль и Бинормаль Ссылка4 ,
Разница м-ду нормалью и главной нормалью к кривой dxdy.ru/post248357.html
ДифференциальнаяГеометрия.pdf Ссылка6 , Кривая вПространстве.pdf Ссылка7
ДифференциГеометрия.pdf Ссылка8 , Сопровождающий3хГранникКривой.gif Ссылка9, ДифГеометрия.pdf Ссылка10

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 10.06.2021, 13:16

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 10.06.2021, 11:22 style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария
-----
Дата оценки: 10.06.2021, 16:34
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 201099:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить площадь фигуры:

Дата отправки: 06.06.2021, 12:59
Вопрос задал: ushatalal (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, ushatalal!

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков заданных функций:













В прикреплённом файле фигура, площадь которой нужно вычислить, закрашена серым цветом.

Вычислим искомую площадь:


(ед. площади).

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 06.06.2021, 15:50
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 201100:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Вычислить площадь фигуры:

Дата отправки: 06.06.2021, 12:59
Вопрос задал: ushatalal (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, ushatalal!

В прикреплённом файле фигура, площадь которой требуется вычислить, закрашена серым цветом. Рассчитаем её площадь как умноженную на площадь части этой фигуры, обозначенной буквой В рассматриваемом случае должно выполняться неравенство поэтому






(ед. площади).

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 07.06.2021, 17:20
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 201101:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
вычислить площадь фигуры:

Дата отправки: 06.06.2021, 13:00
Вопрос задал: ushatalal (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Советник):

Здравствуйте, ushatalal!

Кривая, которая ограничивает заданную фигуру, называется астроидой. Эта кривая представляет собой траекторию точки подвижной окружности радиуса которая катится по неподвижной окружности радиуса [Ссылка >>] В Вашем случае Вид этой кривой показан в прикреплённом файле. Фигура, площадь которой требуется вычислить, на рисунке закрашена серым цветом.

Поскольку постольку в первом квадранте координатной плоскости
Искомая площадь равна удвоенной площади той части фигуры, которая расположена в первом квадранте, то есть




(ед. площади).

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 07.06.2021, 06:52
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 201106:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

найти остаток от деления многочлена x^(4)+2x^(3)+x^(2)+x+1 на 2x^(2)+3x+1 в кольце Z/3Z?

Дата отправки: 07.06.2021, 03:58
Вопрос задал: bugarz (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует vsetin (Студент):

Пусть, f(x)=x4+2·x3+x2+x+1, g(x)=2·x2+3·x+1.

Тогда f(0)=1, g(0)=1
f(1)=6≡0 (mod 3), g(1)=6≡0
f(2)=16+16+4+2+1=39 ≡ 0 (mod 3), f(2)=8+6+1=15≡0

Если записать f(x)≡p(x)·g(x) +r(x) (mod 3), где r - "остаток",
то, например, при x=2 получаем:
f(2)=p(2)·g(2)+r(2) или 0 ≡ p(x)·0 + r(2) ⇒ 0 ≡ 0 + r(2) ⇒ r(2) ≡ 0.

Аналогичным образом при x = 3 получаем также r(3)≡0.

При x=1 f(1)≡p(1)·g(1) + r(1) или 1≡1·p(1)+r(1) или 1≡p(1)+r(1)
Поскольку r(1)<p(1), т.к. r - "остаток", то теоретически возможны варианты: p(1) = 1, r(1)=0, а также p(1)=2, r(1)=0 или r(1)=1.
Однако уравнению 1≡p(1)+r(1) удовлетворяет только пара p(1)=1, r(1)=0.

Значит, во всех трех случаях остаток равен 0.

ОТВЕТ: 0

Вроде бы, так.

Консультировал: vsetin (Студент)
Дата отправки: 07.06.2021, 12:04
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное