РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров Статус: Советник Рейтинг: 599 ∙ повысить рейтинг »

Алексеев Владимир Николаевич Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 373 ∙ повысить рейтинг »

CradleA Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 264 ∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:	2882
Дата выхода:	01.06.2021, 23:15
Администратор рассылки:	Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:	12 / 131
Вопросов / ответов:	4 / 5

Консультация # 200981:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью alpha, проходящей через точку пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, середину ребра AB и точку F ребра DD1 такую, что D1F=2FD. В каком отношении плоскость alpha делит ребро C1D1?

Дата отправки: 27.05.2021, 13:59
Вопрос задал: danikfmla (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Дано: В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E - середина диагоналей грани A₁B₁C₁D₁ .
Точка F делит ребро DD₁ на части в отношении D₁F = 2·FD . Точка H - середина ребра AB .
Надо построить сечение плоскостью α , проходящей через точки F , E и H . Вычислить отношение отрезков ребра C₁D₁ , разделенного плоскостью α .

Решение : Существует неск-ко типов параллелепипедов: Прямоугольный, Прямой , Наклонный (сложнейший для расчётов сечений), Ромбоэдр, Куб (простейший, см статью ru.wikipedia.org/wiki/Параллелепипед (Ссылка) )

В Условии задачи НЕ заданы ни тип, ни размеры параллелепипеда. Выберем для расчёта популярнейший тип - Прямоугольный параллелепипед, у кот-го все грани - прямоугольники. Пусть все рёбра его осн ования равны 1, а высота h = 2 .

Ключевое построение секущей плоскости α выполнено по формулам, опубликованным в учебно-методической статье "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость. Урок4" Ссылка2
Формулы и вычисления я выполнил в приложении Маткад . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х его ортогональных проекций.

Ответ: построенная плоскость сечения α выделена на скрине жёлтой заливкой.
Отношение от резков ребра C₁D₁ , разделенного плоскостью α, равно 4 (как C₁F / D₁F ) .

Теперь зададим другие размеры параллелепипеда. Пусть AB = 100, AD = 200 , h = 50 .
Уравнение плоскости стало 30000·x + 100000·y - 60000·z - 5000000 = 0 .
Длины отрезков тоже увеличились : D₁K = 20 , C₁K = 80 , но искомое отношение C₁K / D₁K = 4 , оно НЕ зависит от размеров параллелепипеда.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 30.05.2021, 14:24

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 29.05.2021, 14:05 style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария ----- Дата оценки: 29.05.2021, 16:30

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 200982:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильные шестиугольники. Точка M - середина ребра CC1. Постройте прямую пересечения плоскостей D1ME1 и ABC. В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы?

Дата отправки: 27.05.2021, 13:59
Вопрос задал: danikfmla (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие : В правильной 6-угольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ точка M - середина ребра CC₁ .
Задано построить прямую пересечения плоскостей D₁ME₁ и ABC, а также вычислить, в каком отношении плоскость
α = D₁ME₁ делит диагональ B₁E призмы?

Решение: В Условии задачи НЕ заданы размеры призмы. Пусть все рёбра основания равны a = 1, а высота h = 1 . В конце Решения убедимся, что Ответ (отношение отрезков) НЕ зависит от размера призмы.
Начертим призму в декартовой системе координат, поместив вершину A в начало координат. Тогда координаты вершин будут
A(0 ; 0 ; 0), B(a/2 ; -a·√(3)/2 ; 0), C(1.5·a ; -a·√(3)/2 ; 0), D(2·a ; 0 ; 0), …
Точка M(1.5·a ; -a·√3 / 2 ; h/2) - есть средне-арифметическое координат точек C и C1 .
Точка U(a ; 0 ; 0) - центр нижнего основания; Точка Q(a ; 0 ; h/2) - це нтр призмы.

Ключевое построение секущей плоскости α выполнено по формулам, опубликованным в учебно-методической статье "Как составить уравнение плоскости?" mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html (ссылка)

Уравнение нашей плоскости α = √(3)·x + y - 2·√(3)·z = 0 НЕ содержит свободного члена! Значит, секущая плоскость проходит ч-з начало координат с вершиной A(0 ; 0 ; 0) . Но вершины A и D₁ симметричны относительно центра призмы Q ! А поскольку AB || D₁E₁ , то, вероятно, что сечение проходит и ч-з вершину B ?
Проверяем : α(B_x ; B_y ; B_z) = 0 - верно! Равенство α(B) = 0 значает, что точка B принадлежит плоскости α !
Ну, тогда и точка M должна иметь пограничного собрата на продолжении линии MQ , то есть: в точке F2 - середине ребра FF₁ !
Проверяем : α(F_x ; F_y ; h/2) = 0 - значит, задача решена! С такой редкой центральной симметрией диагональ B₁E делится пополам плоскостью α в центре призмы - точке Q .

Ответ: Секущая плоскость α делит диагональ B₁E призмы пополам.
Прямая пересечения плоскостей α и ABC - это ребро AB , поскольку плоскость ABC - это плоскость нижнего основания xOy (её формула z = 0).

Формулы и вычисления я выполнил в приложении Маткад . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х его ортогональных проекций.

Если задать a = 10, а h = 20 , то уравнение плоскости изменяется на α = √(3)·x + y - √(3)·z , длины отрезков равны:
B₁Q = EQ = √[a² + (h/2)²] = 10·√2 = 14,142 и по-прежнему делятся пополам секущей плоскостью НЕзависимо от размеров призмы.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 01.06.2021, 14:57

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 31.05.2021, 13:08 style="font-style: italic;">Спасибо большое! ----- Дата оценки: 31.05.2021, 13:28

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультирует vsetin (8-й класс):

Часто такие задачи решают с помощью векторов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Ниже векторы обозначены полужирным шрифтом (например, K).

Поскольку эта задача из стереометрии, выберем три вектора, не лежащие в одной плоскости (чтобы ни один из них не выражался через другие).
Например, выберем векторы D₁C₁, D₁E₁ и C₁C. Для краткости обозначим их, соответственно, I, J и К.

В результате все ребра, кроме ребер BC, B₁C₁, EF и E₁F₁, выражаются через один из этих векторов.

Вышеуказанные четыре ребра (BC, B₁C₁, EF и E₁F₁) лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Значит, их можно рассматривать как какой-то один и тот же вектор. Найдем его. Например, найдем вектор C₁B₁.

Этот вектор лежит на прямой, параллельной диагонали D<sub>1A1, которая является биссектрисой ∠E1D1C1. Значит, складывая векторы D1E1 и D1C1, мы получаем вектор I+J, сонаправленный вектору C1B1. Найдем длину вектора I+J.

Пусть длина шестиугольника равна A. Тогда I²=J²=A².

(I+J)²=I²+J²+2*I·J=A²+A²+2*A*A*cos(120°)=2*A²-2*A²*cos(60°)=2*A²-2*A²*0,5=A², т.е. длина вектора I+J та же, что и векторов I и J.

Поскольку все стороны у данного шестиугольника равны, а длина I+J равна длинам I и J, значит, вектор I+J не просто сонаправлен вышеуказанным четырем векторам, а равен им. То есть это и есть искомый вектор.

Будем для каждой точки определять "координаты" относительно точки D1, т.е. будем определять векторы, начало которых находится в точке D1, а концы - в данной точке. В задаче фигурируют АВС, М, D1ME1 и B1E. Определим "координаты" соответствующих точек.

D1D1=0 (нулевой вектор)
D1E1=J
D1E=D1E1+E1E=J+K
D1M=D1C1+1/2*C1C=I+K/2
D1C=D1C1+C1C=I+K
D1B=D1C+CB=(I+K)+(I+J)=2*I+J+K
D1A=D1B+BA=(2*I+J+ K)+J=2*I+2*J+K
D1B1=D1B - B1B=2*I+J+K-K=2*I+J

1) Теперь найдем линию пересечения плоскостей АВС и D1ME1.

Воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости, проведенной через три точки с "координатами" R1, R2, R3 (относительно некоторой фиксированной точки), если "координаты" данной точки R можно представить в виде:

R=p*R1+q*R2+s*R3, где p, q, s - такие действительные числа, что p+q+s=1.

Тогда, с одной стороны, "координаты" любой точки пересечения можно задать как координаты плоскости АВС, т.е. в виде:

p*(2*I+2*J+K) + q*(2*I+J+K) + (1-p-q)*(I+K) = I*(2*p+2*q+1-p-q) +J*(2*p+q)+K*(p+q+1-p-q)=
=I*(p+q+1) + J*(2*p+q) + K

С другой стороны, "координаты" этой же точки можно задать как координаты плоскости D1ME1, т.е. в виде:

s*J+t*(I+K/2)+(1-s-t))*0 = s*J + t*(I+K/2) = I*t + J*s + K*t/2

Приравниваем эти два выражения и приводим подобные:

I*(p+q+1) + J*(2*p+q) + K = I*t + J*s + K*t/2

I*(p+q+1-t) + J*(2*p+q-s) + K*(1 - t/2) = 0

Поскольку векторы I, J, K различные и не лежат в одной плоскости (независимые), то нулевой вектор можно получить, только умножая каждый вектор на 0.
Поэтому приравниваем к нулю коэффициенты при всех трех векторах:

p+q+1-t=0
2*p+q-s=0
1 - t/2=0

или

t=2
p+q+1-2=0
2*p+q-s=0

У нас осталось два уравнения с тремя неизвестными. Значит, можем остальные переменные выразить через какую-нибудь одну. Поскольку t известна, а в паре с ней шла переменная s, значит, все можно выразить через s.

Тогда координаты точки пересечения плоскостей можно представить в виде (см. выше "С другой стороны...")

r=I*2 + J*s + K*2/2 = 2*I + K + s*J,

т.е. это прямая , проходящая через точку с "координатами" 2*I + K в направлении вектора J (а также в противоположном направлении).

Вспомним, что эти "координаты" уже встречались у точек А и В. Проверяем и видим, что при s=1 получаем точку В, а при s=2 - точку А. Значит, обе точки лежат на этой прямой.

ОТВЕТ: это прямая, проходящая через точки А и В.

2) В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через через точку B1 в направлении вектора EB1.

EB1= D1E - D1B1 = (J+K) - (2*I+J) = K - 2*I

Уравнение прямой:

r = D1B1 + p*EB1, где p - любое число

или

r = 2*I+J + p*(K-2*I) = 2*(1-p)*I +J + p*K

Наша задача - определить значение "p", которое означает, какую часть диагонали B1E составляет отрезок от точки Е до точки пересечения с плоскостью.

Уравнение для точки в плоскости D1ME1 уже нашли в пункте 2 ("С другой стороны..."). Приравниваем эти значения и приводим подобные.

2*(1-p)*I +J + p*K = I*t + J*s + K*t/2

I*(2 - 2*p -t) + J*(1-s) + K*(p-t/2) = 0

Приравниваем коэффициенты к нулю.< br>
2 - 2*p -t=0
1-s=0
p-t/2=0

Нас интересуют уравнения
2 - 2*p -t=0
p-t/2=0

2 -2*p -2*p=0
t=2*p

2=4*p

=>p=1/2.

Таким образом, диагональ B1E в точке пересечения делится пополам.

ОТВЕТ: диагональ B1E в точке пересечения делится пополам.</sub>

Консультировал: vsetin (8-й класс) Дата отправки: 31.05.2021, 23:57

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 200985:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
В кубе ABCDEFGH на диагоналях BE и AC взяты соответственно точки M и N так, чтобы отрезок MN был параллелен FD. Найдите удвоенное отношение FD к MN.

(кроссворд 5 букв)

Дата отправки: 27.05.2021, 16:44
Вопрос задал: r-tatiana-1903 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Дано : отрезок MN параллелен диагонали куба FD .
Вычислить удвоенное отношение FD к MN .

Решение: В декартовой системе координат xOyz начертим куб ABCDEFGH с единичными рёбрами. Тогда координаты вершин будут A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0), … G(1; 1; 1), H(1; 0; 1).

Вычислим направляющие векторы прямых FD , AC , BE, как описано в учебно-методической статье "Уравнения прямой в пространстве" Ссылка1 . Составим уравнения этих прямых.

Зададим точки M и N на отрезках BE и AC с пока что неизвестными координатами Xn , Ym . Каждая точка имеет по 3 координаты в пространстве, но принадлежность этих точек родительским прямым позволяют выразить каждую точку ч-з 1 неизвестную координату. А направляющий вектор отрезка MN выражен ч-з те же 2 неизвестные координаты Xn и Ym .

Условие "MN паралл елен диагонали куба FD" означает пропорциональность проекций направляющих векторов отрезков MN и FD (см статью "Линейная зависимость и НЕзависимость векторов" Ссылка2 )

Составлять уравнения и решать их Вы можете любым удобным Вам способом. Я решаю в приложении Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом. Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х чисел его ортогональных проекций.

Ответ: Удвоенное отношение FD к MN равно числу 6 . Слово "шесть&quo t; содержит 5 букв для Вашего кроссворда.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 29.05.2021, 04:46

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 29.05.2021, 04:01

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультация # 200989:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дата отправки: 27.05.2021, 20:22
Вопрос задал: ushatalal (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Михаил Александров (Советник):

Консультировал: Михаил Александров (Советник) Дата отправки: 27.05.2021, 21:48

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка