Консультация # 200981: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью alpha, проходящей через точку пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, середину ребра AB и точку F ребра DD1 такую, что D1F=2FD. В каком отношении плоскость alpha делит ребро C1D1? ...Консультация # 200982: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильные шестиугольники. Точка M - середина ребра CC1. Постройте прямую пересечения плоскостей D1ME1 и ABC. В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы? ...Консультация # 200985: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
В кубе ABCDEFGH на диагоналях BE и AC взяты соответственно точки M и N так, чтобы отрезок MN был параллелен FD. Найдите удвоенное отношение FD к MN. (кроссворд 5 букв)...Консультация # 200989: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных...
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью alpha, проходящей через точку пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, середину ребра AB и точку F ребра DD1 такую, что D1F=2FD. В каком отношении плоскость alpha делит ребро C1D1?
Дано: В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка E - середина диагоналей грани A1B1C1D1 . Точка F делит ребро DD1 на части в отношении D1F = 2·FD . Точка H - середина ребра AB . Надо построить сечение плоскостью α , проходящей через точки F , E и H . Вычислить отношение отрезков ребра C1D1 , разделенного плоскостью α .
Решение : Существует неск-ко типов параллелепипедов: Прямоугольный, Прямой , Наклонный (сложнейший для расчётов сечений), Ромбоэдр, Куб (простейший, см статью ru.wikipedia.org/wiki/Параллелепипед (Ссылка) )
В Условии задачи НЕ заданы ни тип, ни размеры параллелепипеда. Выберем для расчёта популярнейший тип - Прямоугольный параллелепипед, у кот-го все грани - прямоугольники. Пусть все рёбра его осн
ования равны 1, а высота h = 2 .
Ключевое построение секущей плоскости α выполнено по формулам, опубликованным в учебно-методической статье "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость. Урок4" Ссылка2 Формулы и вычисления я выполнил в приложении Маткад . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом. Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х его ортогональных проекций.
Ответ: построенная плоскость сечения α выделена на скрине жёлтой заливкой. Отношение от
резков ребра C1D1 , разделенного плоскостью α, равно 4 (как C1F / D1F ) .
Теперь зададим другие размеры параллелепипеда. Пусть AB = 100, AD = 200 , h = 50 . Уравнение плоскости стало 30000·x + 100000·y - 60000·z - 5000000 = 0 . Длины отрезков тоже увеличились : D1K = 20 , C1K = 80 , но искомое отношение C1K / D1K = 4 , оно НЕ зависит от размеров параллелепипеда.
Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 29.05.2021, 14:05
style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария ----- Дата оценки: 29.05.2021, 16:30
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильные шестиугольники. Точка M - середина ребра CC1. Постройте прямую пересечения плоскостей D1ME1 и ABC. В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы?
Условие : В правильной 6-угольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 точка M - середина ребра CC1 . Задано построить прямую пересечения плоскостей D1ME1 и ABC, а также вычислить, в каком отношении плоскость α = D1ME1 делит диагональ B1E призмы?
Решение: В Условии задачи НЕ заданы размеры призмы. Пусть все рёбра основания равны a = 1, а высота h = 1 . В конце Решения убедимся, что Ответ (отношение отрезков) НЕ зависит от размера призмы. Начертим призму в декартовой системе координат, поместив вершину A в начало координат. Тогда координаты вершин будут A(0 ; 0 ; 0), B(a/2 ; -a·√(3)/2 ; 0), C(1.5·a ; -a·√(3)/2 ; 0), D(2·a ; 0 ; 0), … Точка M(1.5·a ; -a·√3 / 2 ; h/2) - есть средне-арифметическое координат точек C и C1 . Точка U(a ; 0 ; 0) - центр нижнего основания; Точка Q(a ; 0 ; h/2) - це
нтр призмы.
Ключевое построение секущей плоскости α выполнено по формулам, опубликованным в учебно-методической статье "Как составить уравнение плоскости?" mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html (ссылка)
Уравнение нашей плоскости α = √(3)·x + y - 2·√(3)·z = 0 НЕ содержит свободного члена! Значит, секущая плоскость проходит ч-з начало координат с вершиной A(0 ; 0 ; 0) . Но вершины A и D1 симметричны относительно центра призмы Q ! А поскольку AB || D1E1 , то, вероятно, что сечение проходит и ч-з вершину B ? Проверяем : α(Bx ; By ; Bz) = 0 - верно! Равенство α(B) = 0 значает, что точка B принадлежит плоскости α ! Ну, тогда и точка M должна иметь пограничного собрата на продолжении линии MQ , то есть: в точке F2 - середине ребра
FF1 ! Проверяем : α(Fx ; Fy ; h/2) = 0 - значит, задача решена! С такой редкой центральной симметрией диагональ B1E делится пополам плоскостью α в центре призмы - точке Q .
Ответ: Секущая плоскость α делит диагональ B1E призмы пополам. Прямая пересечения плоскостей α и ABC - это ребро AB , поскольку плоскость ABC - это плоскость нижнего основания xOy (её формула z = 0).
Формулы и вычисления я выполнил в приложении Маткад . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом. Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х его ортогональных проекций.
Если задать a = 10, а
h = 20 , то уравнение плоскости изменяется на α = √(3)·x + y - √(3)·z , длины отрезков равны: B1Q = EQ = √[a2 + (h/2)2] = 10·√2 = 14,142 и по-прежнему делятся пополам секущей плоскостью НЕзависимо от размеров призмы.
Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 31.05.2021, 13:08
style="font-style: italic;">Спасибо большое! ----- Дата оценки: 31.05.2021, 13:28
ПРИМЕЧАНИЕ. Ниже векторы обозначены полужирным шрифтом (например, K).
Поскольку эта задача из стереометрии, выберем три вектора, не лежащие в одной плоскости (чтобы ни один из них не выражался через другие). Например, выберем векторы D1C1, D1E1 и C1C. Для краткости обозначим их, соответственно, I, J и К.
В результате все ребра, кроме ребер BC, B1C1, EF и E1F1, выражаются через один из этих векторов.
Вышеуказанные четыре ребра (BC, B1C1, EF и E1F1) лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Значит, их можно рассматривать как какой-то один и тот же вектор. Найдем его. Например, найдем вектор C1B1.
Этот вектор лежит на прямой, параллельной диагонали D1
sub>A1, которая является биссектрисой ∠E1D1C1. Значит, складывая векторы D1E1 и D1C1, мы получаем вектор I+J, сонаправленный вектору C1B1. Найдем длину вектора I+J.
Пусть длина шестиугольника равна A. Тогда I2=J2=A2.
(I+J)2=I2+J2+2*I·J=A2+A2+2*A*A*cos(120°)=2*A2-2*A2*cos(60°)=2*A2-2*A2*0,5=A2, т.е. длина вектора I+J та же, что и векторов I и J.
Поскольку все стороны у данного шестиугольника равны, а длина I+J равна длинам I и J, значит, вектор I+J не просто сонаправлен вышеуказанным четырем векторам, а равен им.
То есть это и есть искомый вектор.
Будем для каждой точки определять "координаты" относительно точки D1, т.е. будем определять векторы, начало которых находится в точке D1, а концы - в данной точке. В задаче фигурируют АВС, М, D1ME1 и B1E. Определим "координаты" соответствующих точек.
1) Теперь найдем линию пересечения плоскостей АВС и D1ME1.
Воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости, проведенной через три точки с "координатами" R1, R2, R3 (относительно некоторой фиксированной точки), если "координаты" данной точки R можно представить в виде:
R=p*R1+q*R2+s*R3, где p, q, s - такие действительные числа, что p+q+s=1.
Тогда, с одной стороны, "координаты" любой точки пересечения можно задать как координаты плоскости АВС, т.е. в виде:
Приравниваем эти два выражения и приводим подобные:
I*(p+q+1) + J*(2*p+q) + K = I*t + J*s + K*t/2
I*(p+q+1-t) + J*(2*p+q-s) + K*(1 - t/2) = 0
Поскольку векторы I, J, K различные и не лежат в одной плоскости (независимые), то нулевой вектор можно получить, только умножая каждый вектор на 0. Поэтому приравниваем к нулю коэффициенты при всех трех векторах:
p+q+1-t=0 2*p+q-s=0 1 - t/2=0
или
t=2 p+q+1-2=0 2*p+q-s=0
У нас осталось два уравнения с тремя
неизвестными. Значит, можем остальные переменные выразить через какую-нибудь одну. Поскольку t известна, а в паре с ней шла переменная s, значит, все можно выразить через s.
Тогда координаты точки пересечения плоскостей можно представить в виде (см. выше "С другой стороны...")
r=I*2 + J*s + K*2/2 = 2*I + K + s*J,
т.е. это прямая , проходящая через точку с "координатами" 2*I + K в направлении вектора J (а также в противоположном направлении).
Вспомним, что эти "координаты" уже встречались у точек А и В. Проверяем и видим, что при s=1 получаем точку В, а при s=2 - точку А. Значит, обе точки лежат на этой прямой.
ОТВЕТ: это прямая, проходящая через точки А и В.
2) В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы.
Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через через точку B1 в направлении вектора EB1.
EB1= D1E - D1B1 = (J+K) - (2*I+J) = K - 2*I
Уравнение прямой:
r = D1B1 + p*EB1, где p - любое число
или
r = 2*I+J + p*(K-2*I) = 2*(1-p)*I +J + p*K
Наша задача - определить значение "p", которое означает, какую часть диагонали B1E составляет отрезок от точки Е до точки пересечения с плоскостью.
Уравнение для точки в плоскости D1ME1 уже нашли в пункте 2 ("С другой стороны..."). Приравниваем эти значения и приводим подобные.
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: В кубе ABCDEFGH на диагоналях BE и AC взяты соответственно точки M и N так, чтобы отрезок MN был параллелен FD. Найдите удвоенное отношение FD к MN.
Дано : отрезок MN параллелен диагонали куба FD . Вычислить удвоенное отношение FD к MN .
Решение: В декартовой системе координат xOyz начертим куб ABCDEFGH с единичными рёбрами. Тогда координаты вершин будут A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0), … G(1; 1; 1), H(1; 0; 1).
Вычислим направляющие векторы прямых FD , AC , BE, как описано в учебно-методической статье "Уравнения прямой в пространстве" Ссылка1 . Составим уравнения этих прямых.
Зададим точки M и N на отрезках BE и AC с пока что неизвестными координатами Xn , Ym . Каждая точка имеет по 3 координаты в пространстве, но принадлежность этих точек родительским прямым позволяют выразить каждую точку ч-з 1 неизвестную координату. А направляющий вектор отрезка MN выражен ч-з те же 2 неизвестные координаты Xn и Ym .
Условие "MN паралл
елен диагонали куба FD" означает пропорциональность проекций направляющих векторов отрезков MN и FD (см статью "Линейная зависимость и НЕзависимость векторов" Ссылка2 )
Составлять уравнения и решать их Вы можете любым удобным Вам способом. Я решаю в приложении Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом. Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х чисел его ортогональных проекций.
Ответ: Удвоенное отношение FD к MN равно числу 6 . Слово "шесть&quo
t; содержит 5 букв для Вашего кроссворда.
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!