Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Май 2021   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров
Статус: Советник
Рейтинг: 599
∙ повысить рейтинг » 		Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 373
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 264
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:2881
Дата выхода:31.05.2021, 22:45
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:11 / 131
Вопросов / ответов:3 / 5

Консультация # 200967: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Необходимо привести пример функции, являющейся ограниченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку. Ответ необходимо обосновать. ...
Консультация # 200968: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: вычислить границы...
Консультация # 200969: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Пользуясь только определением интеграла, как предела интегральных сумм, вычислите интеграл от функции y= 2x+5 по отрезку [-1;1]. Приведите пример функции, являющейся органиченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку.. ..

Консультация # 200967:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Необходимо привести пример функции, являющейся ограниченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку. Ответ необходимо обосновать.

Дата отправки: 26.05.2021, 10:47
Вопрос задал: nadechka3535 (1-й класс)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Академик):

Здравствуйте, nadechka3535!

Ответ на Ваш вопрос содержится ниже:



А я как раз, по совпадению, несколько минут назад подумал о функции Дирихле... smile

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Академик)
Дата отправки: 26.05.2021, 10:57 style="font-style: italic; color: gray;">нет комментария
-----
Дата оценки: 26.05.2021, 14:03
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 200968:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
вычислить границы

Дата отправки: 26.05.2021, 13:32
Вопрос задал: ushatalal (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Академик):

Здравствуйте, ushatalal!

Я предполагаю, что можно воспользоваться тем, что Тогда

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Академик)
Дата отправки: 26.05.2021, 14:19
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует vsetin (7-й класс):

Проблемы (неопределенность вида 0/0) только с y. Поэтому воспользуемся правилом Лопиталя и продифференцируем числитель и знаменатель по y. Тогда при y, стремящемся к 0

lim [ tg (2*x*y)/(x2*y) ] = lim [ d/dy { tg (2*x*y)} /d/dy (x2*y) ] = lim [ 2*x/cos2(2*x*y )/x2 ] =lim [ 2/(x*cos2(2*x*y ) ],
который при х стремящемся к 1 и при y стремящемся к 0 равен 2/(1*cos2(2*1*0) = 2/(1*1) =2

ОТВЕТ: 2

Консультировал: vsetin (7-й класс)
Дата отправки: 26.05.2021, 21:42
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 200969:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Пользуясь только определением интеграла, как предела интегральных сумм, вычислите интеграл от функции y= 2x+5 по отрезку [-1;1]. Приведите пример функции, являющейся органиченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку.

Дата отправки: 26.05.2021, 13:45
Вопрос задал: nadechka3535 (1-й класс)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Академик):

Здравствуйте, nadechka3535!

Пользуясь только определением интеграла, как предела интегральных сумм, вычислите интеграл от функции y= 2x+5 по отрезку [-1;1].

nadechka3535


Так как заданная функция непрерывна на заданном отрезке, то искомый интеграл существует. Разобьём отрезок интегрирования на равных частей и построим полос одинаковой ширины Абсциссы точек разбиения таковы:


За точки примем правые концы оснований -ых полос. Составим интегральную сумму Римана:




В соответствии с определением,


Приведите пример функции, являющейся органиченной на отрезке [-15;-8], для которой не существует определенный интеграл по этому отрезку.

nadechka3535

Я ответил на этот вопрос здесь: Ссылка >>.

Ответ отредактирован модератором Гордиенко Андрей Владимирович (Академик) 26.05.2021, 14:26

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Академик)
Дата отправки: 26.05.2021, 14:23
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует vsetin (7-й класс):

Разобьем отрезок интегрирования [-1; 1] на N равных частей и определим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, т.е. на каждом отрезке будем выбирать, соответственно, наибольшее и наименьшее значение. Тогда искомый интеграл (интегральная сумма), если он существует, будет находиться между ними, а, увеличивая N, разность между верхней и нижней частью можно сделать сколь угодно малой. В противном случае, интеграл не существует.

При разбиении отрезка [-1; 1] на N равных частей координаты K-й точки разбиения равны:

xK = -1 + Δx*k, где K=0, 1, 2, ..., N, а Δx=(1 - (-1)) /N = 2/N

Назовем I-м отрезком отрезок [xI-1; xI], но здесь I=1,2, ..., N. Каждый такой отрезок имеет длину Δx.

На данном отрезке функция y=2*x+5 (строго) возрастает. Поэтому на каждом I-м отрезке для нижней суммы Дарбу следует брать значение в левом конце отрезка (наименьшее значение), а для верхней - в правом конце (наибольшее значение).
< br>Нижняя сумма Дарбу (суммирование по I от 1 до N):

SНИЖН = Σ F( xI-1 )*Δx = Σ (2*xI-1 + 5)*Δx = Σ (2*(-1 + Δx*(I-1) ) + 5)*Δx = 3*Σ*Δx + 2*(Δx)2*Σ (I-1) = 3*Δx*N +2*(Δx)2*Σ*(I-1) =
= 3*Δx*N + 2*(Δx)2*(1+N)*N/2 - 2*(Δx)2*N = 3*(2/N)*N + 2*(2/N)2*(1+N)*N/2 - 2*(2/N)2*N =
= 6 +4*(N+1)/N - 4/N = 6 + 4 + 4/N - 4/N = 10.

Верхняя сумма Дарбу (суммирование по I от 1 до N):

SВЕРХН = Σ F( xI )*Δx = Σ (2*xI + 5)*Δx = Σ (2*(-1 + Δx*I ) + 5)*Δx = 3*Σ*Δx + 2*(Δx)2*Σ I = 3*Δx*N +2*(Δx)2*Σ*I =
= 3*Δx*N + 2*(Δx)2*(1+N)*N/2 = 3*(2/N)*N + 2*(2/N)2*(1+N)*N/2 =
= 6 +4*(N+1)/N = 6 + 4 + 4/N -= 10 + 4/N.

Таким образ ом, значение искомого интеграла S лежит в диапазоне:

10 < S < 10 + 4/N

И если его нужно вычислить с точностью до ε, т.е., чтобы SВЕРХН - SНИЖН = 4/N < ε, достаточно взять N > 4/ε.

Таким образом, интеграл существует и равен 10.

ОТВЕТ: 10.

Что касается функции, ограниченной на отрезке [-15;-8], для которой на этом отрезке интеграл не существует, то это условие будет выполнено, например, если верхняя и нижняя суммы Дарбу существуют, но сходятся к разным пределам.

В качестве примера такой функции обычно приводят функцию Дирихле, в которой функция принимает значение 1, если x - рациональное число, и 0 - если x - иррациональное число.

Поскольку на любом, сколь угодно малом отрезке, есть и рациональные, и иррациональные числа, то на этом отрезка максимальное значение функции равно 1, а минимальное - 0. Поскольку эти максимумы и минимумы одинаковы на всех отрезках разбиения, то нетруд но вычислить верхнюю и нижнюю суммы Дарбу на отрезке [-15;-8].

SНИЖН =0
SВЕРХН= 7

вне зависимости от N.

Таким образом, выбрав ε <7 (например, ε =1) ни при каких N мы не сможем обеспечить, чтобы SВЕРХН - SНИЖН < ε.
Значит, на этом отрезке интеграл функции Дирихле не существует.

Консультировал: vsetin (7-й класс)
Дата отправки: 26.05.2021, 19:34
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное