Консультация # 200777: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Известно, что последовательность (n*x(n)) имеет предел. Есть ли предел у последовательности ( x(n) *?n)? Ответ должен быть обоснованным. ...
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Известно, что последовательность (n*x(n)) имеет предел. Есть ли предел у последовательности ( x(n) *?n)? Ответ должен быть обоснованным.
Рассмотрим сначала последовательность Докажем, что она является бесконечно малой последовательностью, то есть Согласно определению предела последовательности, нужно для любого числа установить номер начиная с которого выполняется неравенство Последнее неравенство равносильно неравенству которое выполняется при то есть в качестве искомого номера можно взять Действительно, пусть Тогда
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь последовательность где -- последовательность, которая имеет предел (конечный или бесконечный). Если этот предел конечный, то есть -- сходящаяся последовательность, то она ограничена, а -- произведение ограниченной и бесконечно малой последовательностей -- бесконечно малая последовательность (её предел существует и равен нулю). Если же предел последовательности бесконечный (последовательность является бесконечно большой), то последовательность тоже бесконечно большая как произведение бесконечно большой последовательности и последовательности которая удовлетворяет условию В обоих случаях последовательность имеет предел (конечный или бесконечный).
Литература Альсевич. Л. А. Математический анализ. Последовательности и функции: практикум: учебное пособие / Л. А. Альсевич, С. Г. Красовский, А. Ф. Наумович. -- Минск: Вышэйшая школа, 2019. -- 327 с.
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!