Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Апрель 2012   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Mr. Andy
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 19396
∙ повысить рейтинг » 		Асмик Гаряка
Статус: Академик
Рейтинг: 10413
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7194
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1669
Дата выхода:25.04.2012, 12:30
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:78 / 126
Вопросов / ответов:3 / 6

Консультация # 185871: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Вычислить интеграл при помощи теоремы вычетов: Заранее благодарен за помощь! ...

Консультация # 185872: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Найти все разложения заданных функций по степеням заданной разности.Указать области пригодности каждого из разложений: 1) 2)Консультация # 185873: Здравствуйте! У меня в озникли сложности с таким вопросом: Найти все особые точки заданной функции ,определить их характер и найти вычеты в них.Установить,чем является для данной функции бесконечно удалённая точка,и найти вычеты в ней. 1)

Консультация # 185871:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Вычислить интеграл при помощи теоремы вычетов:



Заранее благодарен за помощь!

Дата отправки: 21.04.2012, 22:48
Вопрос задал: G-buck (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, G-buck!
Интеграл равен 2*Pi*i, умноженному на сумму вычетов в точках z=0 и z=Pi.
Обе точки являются полюсами второго порядка.
Вычет f(z) в полюсе z=a второго порядка находим по формуле
res f(z)=[(z-a)2f(z)]'|z=a

В точке z=0
resf(z)=[cos z/(z-Pi)2]'|z=0=[-(sin z)(z-Pi)2-(cos z)*2(z-Pi)]/(z-Pi)4|z=0=2/Pi3
В точке z=Pi
resf(z)=[cos z/z2]'|z=Pi=[-(sin z)z2-(cos z)*2z)]/z4|z=Pi=2/Pi3

Интеграл равен 2*Pi*i*(4/Pi3)=8i/Pi2

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 21.04.2012, 23:33

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 22.04.2012, 10:25
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует vanger (Профессионал):

Здравствуйте, G-buck!

Подынтегральная функция голоморфна в указанном круге, за исключением двух точек: z = 0 и z = . Поэтому искомый интеграл равен сумме вычетов, умноженных на :
.
Вычеты равны (-1)-му коэффициенту разложения в ряд Лорана. Вот не мудрствуя лукаво и найдём коэффициенты в данных точках.
В нуле:
.
Т.е. .

В пи:

.
Т.е. .

Итак, значение интеграла есть
.

Консультировал: vanger (Профессионал)
Дата отправки: 21.04.2012, 23:37

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 22.04.2012, 10:25
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 185872:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти все разложения заданных функций по степеням заданной разности.Указать области пригодности каждого из разложений:

1)

2)

Заранее благодарен за помощь!

Дата отправки: 21.04.2012, 22:58
Вопрос задал: G-buck (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует vanger (Профессионал):

Здравствуйте, G-buck!

1.
.
,
где
, n чётное,
, n нечётное
(расписали ряд для косинуса и синуса).
Т.о.
,
где cn описаны выше.
Ряд сходится во всех точках, кроме .

Консультировал: vanger (Профессионал)
Дата отправки: 21.04.2012, 23:55
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует асяня (5-й класс):

Здравствуйте, G-buck!
2)

Особыми точками f(z) являются z1=-1, z2=1, z3=∞.
Запишем разложение в окрестности точки z1=-1. Расстояние до ближайшей особой точки z2=1 равно 2. Поэтому разложение будет пригодно в кольце 0<|z+1|<2 .

Разложим дроби 1/(z-1)2, 1/(z-1)3 в ряды по степеням z+1.

Используя почленное дифференцирование ряда, находим


Следовательно,

или

Консультировал: асяня (5-й класс)
Дата отправки: 22.04.2012, 23:33
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 185873:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти все особые точки заданной функции ,определить их характер и найти вычеты в них.Установить,чем является для данной функции бесконечно удалённая точка,и найти вычеты в ней.

1)

2)

Заранее благодарен за помощь!

Дата отправки: 21.04.2012, 23:17
Вопрос задал: G-buck (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует vanger (Профессионал):

Здравствуйте, G-buck!

1.

Особых точек, очевидно, три: 1, 0 и бесконечность. По очереди:

.

Это полюс(2 порядка). Хотя бы потому, что регулярна в 1 и потому в её разложении в ряд есть только главная часть. Вычет найдём просто найдя (-1) член ряда Лорана
,
.
Т.е. вычет равен .



.

Это существенно особая точка, т.к. предела(даже бесконечного) не существует. Действительно, если устремлять z к нулю вдоль действительной оси, модуль f(z) стремится к бесконечности, а если устремлять вдоль мнимой, модуль не превышает 1, а потому модуль f(z) ограничен.

Вычет просто разложением в ряд найти не получится, т.к. и дробь и экспонента дадут бесконечное число членов. Вспомним определение вычета:
,
где - положительно ориентированная малая окружность с центром в нуле.

непрерывна(и даже регулярна) в нуле, поэтому
.

Действительно, , где - некоторая регулярная в нуле функция и
и потому
.
Второй интеграл равен нулю, т.к.
,
где . Т.к. альфа стремится к нулю, при z стремящемся к нулю, мю стремится к нулю при уменьшении радиуса окружности(выражение слева от радиуса не зависит, т.к. подынтегральная функция голоморфна в нуле). Потому, левый интеграл равен нулю.


А уже интеграл от экспоненты ищем, глядя на ряд Лорана:


Т.е. искомый вычет в нуле равен 1.




.

Это устранимая особая точка, т.к. . Действительно, дробь, очевидно, стремится к нулю, экспонента тоже:

.

В том, что вычет равен нулю, можно убедиться по -честному проинтегрировав по большой окружности с центром в нуле:

, при .

Консультировал: vanger (Профессионал)
Дата отправки: 23.04.2012, 15:20

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 24.04.2012, 22:01
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, G-buck!
1) Для вычисления вычета в нуле разложим функцию в ряд Лорана
1/(1-z)=1=z+z2+...+zn+zn+1+... (геометрическая прогрессия)
Дифференцируя это равенство, находим
1/(1-z)2=1+2z+3z2+...+nzn-1+(n+1)zn+...
Показательную функцию раскладываем по таблице
e1/z=1+(1/z)+1(2z)+1/(6z2)+....+1/(n!zn)+(1/(n+1)!zn+1)+...
Перемножая ряды и удерживая только коэффициент при 1/z, находим
f(z)=...+[1+1+(1/2)+...+(1/(n-1)!)+(1/n!)+...]1/z+...=...+(e/z)+...
Следовательно, вычет в точке z=0 равен e.

Вычет в бесконечности находим по теореме о полной сумме вычетов (она должна быть равна нулю).
Так как вычет в точке z=1 равен -e, а в точке z=0 вычет равен e, то в бесконечности вычет равен нулю.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 23.04.2012, 20:31

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 24.04.2012, 22:01
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное