Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Октябрь 2011   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Орловский Дмитрий
Статус: Советник
Рейтинг: 6024
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise
Статус: Профессор
Рейтинг: 5303
∙ повысить рейтинг » 		Роман Селиверстов
Статус: Советник
Рейтинг: 2893
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1521
Дата выхода:10.10.2011, 12:30
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:125 / 189
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 184141: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: К струне длиной L с жёстко закреплёнными концами в момент времени t=0 приложена сила F=ASin(wt) (w - оомега) в точке x=x0 (A=Const). Найти колебания струны, если начальные скорости её точек были равны нулю, а начальные отклонения имели форму параболы, указанной на рисунк...

Консультация # 184141:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
К струне длиной L с жёстко закреплёнными концами в момент времени t=0 приложена сила F=ASin(wt) (w - оомега) в точке x=x0 (A=Const). Найти колебания струны, если начальные скорости её точек были равны нулю, а начальные отклонения имели форму параболы, указанной на рисунке.


Заранее спасибо!

Дата отправки: 04.10.2011, 12:51
Вопрос задал: Посетитель - 382281 (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 382281!

Полагаю, что скорее всего, задача формулируется так:
К струне длиной l с жёстко закреплёнными концами в момент времени t = 0 приложена поперечная сила с линейной плотностью F = A · sin ωt (A = const). Найти колебания струны, если начальные скорости её точек были равны нулю, а начальные отклонения имели форму параболы, указанной на рисунке.



Под линейной плотностью силы понимаем величину силы, приходящейся на единицу длины струны. А найти колебания - это значит найти функцию u(x, t).

Составим сначала уравнение колебаний. В общем случае оно имеет вид
∂2u/∂t2 = a2 · ∂2u/∂x2 + G(x, t), (1)
где a2 = T0/ρ, T0 - начальное натяжение нити, ρ - масса единицы длины струны (линейная плотность струны), G(x, t) = F/ρ.

В нашем случае G(x, t) = A/ρ · sin ωt = α · sin ωt, то есть уравнение (1) запишется в следующем виде:
∂2u/∂t2 = a2 · ∂2u/∂x2 + α · sin ωt, (2)
где α = A/ρ,
а начальные и краевые условия задаются выражениями
u|t = 0 = 4h/l2 · x(l - x) (струна в начальный момент времени имеет форму параболы, показанной на рисунке),
∂u/∂t|t = 0 = 0 (скорости точек струны в начальный момент времени равны нулю),
u|x = 0 = u|x = l = 0 (концы струны жёстко закреплены).

Решение уравнения (2) будем искать в виде суммы двух функций: u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), где функция v(x, t) - решение однородного дифференциального уравнения ∂2v/∂t2 = a2 · ∂2v/∂x2 при начальных и краевых условиях
v|t = 0 = 4h/l2 · x(l - x), ∂v/∂t|t = 0 = 0, v|x = 0 = v|x = l = 0.
Для её нахождения воспользуемся готовым решением, показанным ниже (пример 3), взятым из книги Математика для инженеров: учебник. В 2 т. Т. 2 / Под ред. Н. А. Микулика. - Минск: Элайда, 2006. - 496 с. (с. 260 - 261).


ссылка для загрузки решения однородного уравнения

Понятно, надеюсь, что под F(x) в рассмотренном решении следует понимать ∂v/∂t|t = 0, а выражение для u(x, t) в рассмотренном решении даёт функцию v(x, t).< br>
Функция w(x, t) удовлетворяет уравнению ∂2w/∂t2 = a2 · ∂2w/∂x2 + α · sin ωt при нулевых начальных и краевых условиях
w|t = 0 = 0, ∂w/∂t|t = 0 = 0, w|x = 0 = w|x = l = 0.

Представим функцию G(x, t) = α · sin ωt рядом α · sin ωt = ∑n = 1∞ gn(t)sin (nпx/l), где, согласно книге Карпук А. А., Жевняк Р. М. Сборник задач по специальным главам высшей математики: Уравнения математической физики... - Минск, Харвест, 2007. - 112 с. (с. 31),
gn(t) = (2/l) · 0∫t α · sin (nпx/l) · dx = -2α/(nп) · sin ωt · cos (nпx/l)|x = 0x = l =
= 0, если n = 2k,
= 4α/(nп) · sin ωt, если n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ... .

Итак, к оэффициенты g2k = 0, g2k + 1 = (4α · sin ωt)/((2k + 1)п). Для отыскания коэффициентов ряда в разложен ии w(x, t) = ∑n = 1∞ γn(t) · sin (nпx/l) решим задачу Коши
∂2γ2k + 1(t)/∂t2 + ((2k + 1)пx/l)2γ2k + 1(t) = (4α · sin ωt)/((2k + 1)п),
γ2k + 1(0) = dγ2k + 1(0)/dt = 0.

Решением этой задачи Коши, как указано там же на с. 32, является функция
γ2k + 1(t) = (4αl)/((2k + 1)2п2a) · ((2k + 1)пa/l · sin ωt - ω · sin ((2k + 1)пat/l))/(((2k + 1)пa/l)2 - ω2).

Заметим, что последнее выражение имеет смысл при любом k только в том случае, когда частота ω вынуждающей силы не совпадает с одной из нечётных собственных частот (2k + 1)пa/l струны, то есть в отсутствие резонанса.

Подставив теперь γ2k + 1(t) в ряд w(x, t) = ∑i = 0k γ2k + 1(t) · sin ((2k + 1)пx/l), окончательно найдём, что
w(x, t) = (4αl)/(п2a) · ∑i = 0k ((2k + 1)пa/l · sin ωt - ω · sin ((2k + 1)пat/l))/(((2k + 1)пa/l)2 - ω2) • sin ((2k + 1)пx/l).

Итак, функции v(x, t) и w(x, t) найдены, а их сумма u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) является решением поставленной задачи.

Учитывая срочность решения, я не смог обстоятельно его оформить, Тем не менее, общая идея решения представлена. Впредь, если Вам нужна помощь в решении подобной задачи, постарайтесь обращаться загодя, а не непосредственно перед зачётом.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 04.10.2011, 23:44
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Орловский Дмитрий (Советник):

Здравствуйте, Посетитель - 382281!
Схема решения задачи изложена а прикрепленном файле.

P.S. Во втором уравнении системы, из которой находятся постоянные C1 и C2, пропущена правая часть уравнения:
=A/T

P.P.S. В формулах для C1, C2 и v(x,t) величины ω и a в числителе и знаменателе нужно поменять местами.

Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник)
Дата отправки: 06.10.2011, 22:23
Прикреплённый файл: посмотреть » [34.0 кб]
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.33 от 10.09.2011
В избранное