RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 183710: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите решить следующие задания: 1) Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника. При заданном периметре Р (длина забора) найти такие параметры участка, чтобы его площадь была наибольшей. Найти макси... Вопрос № 183710:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите решить следующие задания:
Отправлен: 25.06.2011, 11:11 Отвечает Николка Белый (3-й класс) : Здравствуйте, Лаптев Александр! 1. Сброшу позже. 2. Кубические уравнения решаются с использованием компьютера или алгебраически с использованием метода Кардано. Метод простой. Описание можно прочитать здесь Метод Кардано
Подправил ссылку. (Лысков Игорь Витальеыич)
Исправлена ошибка в написании фамилии математика по просьбе автора ответа.(Гордиенко А.В.) Исправлен цвет правки (несущественное исправление) ----- ∙ Отредактировал: Сучкова Татьяна Михайловна (Администратор) ∙ Дата редактирования: 25.06.2011, 21:46 (время московское)
Ответ отправил: Николка Белый (3-й класс) Оценка ответа: 5
Отвечает Саныч (Профессионал) : Здравствуйте, Лаптев Александр! 1. Прежде всего заметим, что такая же задача (классическая для данной темы), когда имеем прямоугольник с заданным периметром и нужно найти наибольшую плошадь, дает в ответе квадрат. Исходя из этой задачи, можно сделать вывод, что прямоугольный равнобедренный треугольник будет решением и нашей задачи (два треугольника максимальных площадей - квадрат, разрезанный на две части по диагонали). И действительно, пусть a и b - катеты треугольника. Тогда S=ab/2, P=a+b+ √(a2+b2). Отсюда b=(2Pa-P2)/(4a-4P) (1). Подставляя в S, получим S=S(a)=(2Pa2-aP2)/(4a-4P). Находя производную, получим S'=(P/4)(2a2-4aP+P2)/(a-P)2. Приравнивая производную нулю и решая квадратное уравнение, получим два корня: a=P(1+√2/2) - посторонний, так как сторона не может быть больше периметра, a=P(1-√2/2). Можно показать, что это значение дейс твительно дает максимум. Теперь находя другую сторону из (1), получим b=P(1-√2/2). При P=100 m получим a=b=29,29 m. Ответ: a=b=P(1-√2/2).
Ответ отправил: Саныч (Профессионал)
Отвечает Орловский Дмитрий (Советник) : Здравствуйте, Лаптев Александр! 1) Пусть φ - острый угол треугольника, x - гипотенуза. Тогда катеты равны xcosφ и xsinφ. Периметр P=x+xcosφ+xsinφ. Отсюда находим x=P/(1+cosφ+sinφ). Площадь S=(1/2)x2=P2sinφcosφ/2(1+sinφ+cosφ)2 Далее делаем замену y=sinφ+cosφ (1<y≤√2) ---> sinφcosφ=(y2-1)/2. Площадь S=(P2/4)(y2-1)/(y+1)2 S'(y)=P2/[2(y+1)3]>0 S(y) - возрастающая функция --> максимум достигается при y=√2 (отвечает φ=pi/4) Smax=P2/[4(1+√2)2]=P2/4(3+2√2) При P=100 Smax=2500/(3+2√2)
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Советник) Оценка ответа: 5
Отвечает Anton (1-й класс) : Здравствуйте, Лаптев Александр! Вот решение первой задачи: Пусть a -- это первый катит, b -- второй катет, c -- гипотенуза, S -- площадь прямоугольника, P -- периметр треугольника. Составим систему: { (1) S=0,5ab (формула вычисления площади прямоугольного треугольника) (2) a+b+c=100 (определение периметра) (3) (a^2)+(b^2)=(c^2) (теорема Пифагора) } возведем правую и левую части равенства (2) в квадрат, предварительно вычитаем "c": (a^2)+2ab+(b^2)=10000-200c+(c^2) воспользуемся равенством теоремы Пифагора: (c^2)+2ab=10000-200c+(c^2) ab=5000-100c подставим получившееся в формулу площади прямоугольного треугольника S=2500-50c получается, что максимальная площадь будет в том случае, когда "с" минимальна. Это будет только тогда, когда катеты равны друг другу (доказательство см. ниже), а следовательно получаем: { 2*(a^2)=(c^2) (теорема Пифагора) 2a+c=P (определение перим етра) } следовательно получаем: (2^(1/2))*a=c 2a=(2^(1/2))*c ((2^(1/2))+1)*c=P c=P/((2^(1/2))+1) также ищем и "a" (2^(1/2))*a=c 2a+(2^(1/2))*a=P ((2^(1/2))+2)*a=P a=P/((2^(1/2))+2) подставляем значение периметра. ///Ответ: /// a=b=100/((2^(1/2))+2) /// c=100/((2^(1/2))+1) Дополнительное доказательство: Гипотенуза будет наименьшей в том случае, если катеты равны т.к.: Найдем для такого случая долю длины гипотенузы от всего периметра: { 2a+c=P 2(a^2)=(c^2) } тогда: c/(2a+c)=(2^(1/2))*a/((2+(2^(1/2)))*a)=(2^(1/2))/(2+(2^(1/2))) (отношение корня из двух к сумме двух и корня из двух) Если мы будем приближать значение длинны одного из катетов к 0, то доля длинны гипотенузы от значения периметра будет стремиться к 0,5. Сравнив полученные доли, учтя, что периметр -- константа и то, что значение доли при постепенном уменьшении длины катета будет изменяться только в одну сторону (т.е. только увеличиваться), получаем, что наименьшее значение длины гипотенузы будет тогда, когда катеты равны. Прошу прощения за столь кривую речь, но думаю, что это решение Вам поможет. Повторю ответ: a=b=100/((2^(1/2))+2) c=100/((2^(1/2))+1)
Как справедливо заметил эксперт Орловский Дмитрий, выделенное место доказательством не является.
Вы с самого начала выводите формулу, в которой прдполагается, что a=b, а затем анализируете ее в предположении, что a!=b. ----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) ∙ Дата редактирования: 27.06.2011, 21:00 (время московское)
Ответ отправил: Anton (1-й класс)
Отвечает Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор) : Здравствуйте, Лаптев Александр! 1-я задача (еще один вариант решения). Пусть a, b - катеты, S - площадь. Периметр прямоугольного треугольника равен: P = a + b + √(a2+b2) = a + b + √((a+b)2 - 2ab) = a + b + √((a+b)2-4S). Мы видим, что P при постоянном S - монотонно возрастающая функция (a+b). Так как (a+b)/2 ≥ √(ab) = √(2S), то P≥2√(2S)+√(8S - 4S) = 2(1+√2)√S, причем равенство достигается при a = b. Отсюда находим Smax = P2/(4(1+√2)2).
Ответ отправил: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.31 от 07.05.2011 |
| В избранное | ||
