RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 182244: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Найти наименьший корень уравнения ((x-2)^2)*2^x (икс минус два в квадрате,умноженное на два в степени икс) с точностью E=10^-4 1)Методом половинного деления 2)Методом простых итераций 3)Мето... Вопрос № 182244:
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Отправлен: 17.02.2011, 23:40 Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) : Здравствуйте, Посетитель - 345351! Отделение корней достигается построением эскиза графика функции f(x)=(x-2)22x-1. Вычисляя производную, находим f'(x)=2(x-2)2x[1+((x/2)-1)ln2] Ее нули: x=x*=2-2/ln2 (приближенно -0,89) и x=2. При x<x* f'(x)>0, при x*<x<2 f'(x)<0, при x>2 f'(x)>0. Кроме того, предел f(x) на -∞ равен -1, а на +∞ равен +∞. Отсюда вытекает следующее. 1) На участке (-∞;x*) f(x) возрастает от -1 до некоторого положительного значения f(x*) (оно положительно потому, что f(0)=3>0). Следовательно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень. Вычисляя f(x) в целочисленных точках легко видить, что этот корень равен -6. 2) На участке (x*;2) f(x) убывает от положителього значения f(x*) до f(2)=-1. Следовательно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень. 3) На участке (2;+∞) f(x) возрастает от -1 до +∞. Следоват ельно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень. Таким образом, f(x) имеет ровно 3 корня: 1) x=-6 2) в интервале (1;2) (поскольку f(1)=1>0). 3) в интервале (2;3) (поскольку f(3)=7>0). Выбор промежутка для итерационных методов: Для применимости итерационных методов достаточно знакопостоянство первой и второй производных на выбираемом участке. Дополнительно (для оценки погрешности) нужно еще оценить минимум модуля первой производной. Вычисляя вторую производную, находим f''(x)=2x[x2ln22+4(1-ln22)x+2-8ln2+4ln22] Таким образом, исследование знака f''(x) сводится к нахождению корней квадратного уравнения. С помощью например, калькулятора, проверяем, что на отрезке [1;2] лежит ровно один корень, приближенно равный 1,15. Далее отыскиваем ближайшие точки смены знака функции f(x). Простым подбором определяем, что при x=1,2 f(x)>0, а при x=1,4 f(x)<0. Следовательно, отрезок [1,2;1,4] удовлетворяет нашим условиям. Остается оценить первую производную на этом отрезке. Так на нем f''(x)>0, а f'(x)<0, то минимуи |f'(x)| достигается при x=1,4. Простое использование калькулятора дает оценку |f'(1,4)|>2,5. Метод Ньютона. f(x)=(x-2)22x-1 Выбираем отрезок [1,2;1,4]. На этом отрезке легко оценить первую производную |f'(x)|>=2,5 (а сама производная знакопостоянна - отрицательна). На этом же отрезке вторая производная положительна. Это обеспечивает применимость метода Ньютона. Погрешность оцениваем по известной формуле: |x-x0|<=|f(x)|/min|f'(x)|<d=0,4|f(x)|. Нулевое приближение x0=1,2; d=0,18813 Первое приближение x1=x0-f(x0)/f'(x0)=1,377038; d=0,00319 Второе приближение x2=x1-f(x1)/f'(x1)=1,38018; d=2,37E-6 Заданная точность достигнута, приближенное значение x=1,3801 Метод итераций. Уравнение f(x)=0 удобно занисать в виде x=x+f(x)/3. Оценка погрешности проводится так же, как и в методе Ньютона. Итерации определяются формулой: xn+1=xn+f(xn)/3): n=0 x0=1,2 d=0,18813 n=1 x1=1,35678 d=0,02385 n=2 x2=1,37665 d=0,00358 n=3 x3=1,37964 d=0,00055 n=4 x4=1,38010 d=8,6E-5 Заданная точность достигнута. Приближенное значение x=1,3801 Метод половинного деления. Точность оцениваем по той же формуле. a,b - концы отрезка (номер приближения n опускается) x=(a+b)/2 n=1 a:=1.2; b:=1.4; x=1,3 d=0,082618 n=2 a:=1.3; b:=1.4; x=1,35 d=0,03080 n=3 a:=1.35; b:=1.4; x=1,375 d=0,00526 n=4 a:=1,375; b:=1.4; x=1,3875 d=0,007399 n=5 a:=1,375; b:=1,3875; x=1,38125 d=0,00108 n=6 a:=1,375; b:=1,38125; x=1,378125 d=0,002099 n= 7 a:=1,378125; b:=1,38125; x=1,3796875 d=0,000515 n=8 a:=1,3796875; b:=1,38125; x=1,38046875 d=-0,00029 n=9 a:=1,3796875; b=1,3804 6875; x=1,380078125 d=0,00011 n=10 a:=1,380078125; b=1,38046875; x=1,3802734375 d=8,848E-5 n=11 a:=1,380078125; b=1,3802734375; x=1,38017578125 d=1,049E-5 Заданная точность достигнута. Приближенное значение x=1,3801
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор) Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.29 от 18.02.2011 |
| В избранное | ||
