RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 178722: Здравствуйте Уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Тема: Комплексные числа. z-комплексное число. z+1/z=-1 Найдите z^n+1/z^n, n принадлежит множеству натуральных чисел.... Вопрос № 178724: Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу. Тема: Комплексные числа. Сумма квадратов корней уравнения z^3 - 6*z^2 + a*z + 40 = 0 равна 28. Найдите а и решите это уравнение.... Вопрос № 178726: Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу. Тема: Комплексные числа. Вычислите сумму. S=cos φ + a*cos 2φ + a^2*cos 3φ + ... + a^(n-1)*cos nφ. ... Вопрос № 178730: Уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Это последняя и я отстану, мне самой стыдно столько спрашивать. Тема: Комплексные числа. Найдите остаток от деления многочлена z^2010 - 4*z^2009 + 3 на многочлен z^2 + z + 1.... Вопрос № 178737: Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу. Тема: комплексные числа. Составьте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, конями которого являются числа z1=3i, z2=3, z3=-2-i. ... Вопрос № 178741: Уважаемые эксперты, помогите решить задачу! В первой урне лежат 3 белых и 4 черных шара, во второй - 5 белых и 3 черных. В третью (пустую) урну помещаются 2 случайно выбранных шара из первой урны и 1 из второй. Какова после этого вероятность и... Вопрос № 178722:
Здравствуйте Уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу.
Отправлен: 29.05.2010, 12:16 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант : Здравствуйте, STASSY. Найдем корни уравнения: z+1/z=-1 ->z2+z+1=0 z1= -(1/2)+i*√3/2= cos(2*Pi/3)+i*sin(2*Pi/3) z2= -(1/2) -i*√3/2= cos(4*Pi/3)+i*sin(4*Pi/3) по формуле Муавра: z1n= cos(2*Pi*n/3)+i*sin(2*Pi*n/3) z1-n= cos(2*Pi*(-n)/3)+i*sin(2*Pi*(-n)/3)=cos(2*Pi*n/3) - i*sin(2*Pi*n/3) z1n+z1-n=2*cos(2*Pi*n/3) z2n= cos(4*Pi*n/3)+i*sin(4*Pi*n/3) z2-n= cos(4*Pi*(-n)/3)+i*sin(4*Pi*(-n)/3)=cos(4*Pi*n/3) - i*sin(4*Pi*n/3) z2n+z2-n=2*cos(4*Pi*n/3) Т.к. период cos(φ) равен 2*Pi и cos(2*Pi/3)=cos(4*Pi/3)= -1/2 (n=1) cos(4*Pi/3)=cos(8*Pi/3)= -1/2 (n=2) cos(6*Pi/3)=cos(12*Pi/3)= 1 (n=3) Получим: если z+1/z=-1 , то zn+1/zn={2, n=3*k, k=1,2,3... -1, n≠3*k, k=1,2,3. ..}
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант
Вопрос № 178724:
Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу.
Отправлен: 29.05.2010, 12:46 Отвечает star9491, Профессионал : Здравствуйте, STASSY. 1) Согласно формулам Виета для корней z1, z2, z3 справедливы равенства z1+z2+z3=6 z1*z2+z1*z3+z2*z3=a Так как z12+z22+z32=(z1+z2+z3)2-2(z1*z2+z1*z3+z2*z3) то 28=36-2a ----> a=4 2) Решаем уравнение z3-6z2+4z+40=0. Это уравнение имеем корень z=-2. Раскладывая на множители, получаем (z+2)(z2-8z+20)=0 Решая квадратное уравнение z2-8z+20=0, получаем z=4±2i Ответ: a=4, z1=-2, z2=4-2i, z3=4+2i
Ответ отправил: star9491, Профессионал
Вопрос № 178726:
Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу.
Отправлен: 29.05.2010, 13:16 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Академик : Здравствуйте, STASSY. Идея решения заключается в использовании формулы Эйлера cos θ = 1/2 ∙ (exp (iθ) + exp (-iθ)). Выполним необходимые преобразования: S = 1/2 ∙ [exp (iφ) + a ∙ exp (2iφ) + a^2 ∙ exp (3iφ) + … + a^(n – 1) ∙ exp (niφ) + exp (-iφ) + a ∙ exp (-2iφ) + + a^2 ∙ exp (-3iφ) + … + a^(n – 1) ∙ exp (-niφ)] = 1/2 ∙ {[exp (iφ) ∙ (a^n ∙ exp (niφ) – 1)]/[a ∙ exp (iφ) – 1] + + [exp (-iφ) ∙ (a^n ∙ exp (-niφ) – 1)]/[a ∙ exp (-iφ) – 1]}= (промежуточные выкладки опускаем) = = 1/2 ∙ {[exp (iφ) + exp (-iφ) + a^(n + 1) ∙ (exp (niφ) + exp (-niφ)) – a^n ∙ (exp ((n + 1)iφ + exp (-(n + 1)iφ) – 2a]/ /[a^2 – a ∙ (exp (iφ) + exp (-iφ)) + 1]}= [cos φ + a^(n + 1) ∙ cos nφ – a^n ∙ cos (n + 1)φ – a ]/[a^2 – 2a ∙ cos φ + 1]. То есть S = [cos φ + an + 1 ∙ cos nφ – an ∙ cos (n + 1)φ – a]/[a2 – 2a ∙ cos φ + 1]. Опущенные выкладки заключаются в сложении дробей, группировке слагаемых и применении формулы Эйлера… С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Академик
Отвечает star9491, Профессионал : Здравствуйте, STASSY. Другой вариант с использованием формулы Муавра и суммированием геометрической прогрессии: 
Ответ отправил: star9491, Профессионал
Вопрос № 178730:
Уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Это последняя и я отстану, мне самой стыдно столько спрашивать.
Отправлен: 29.05.2010, 19:16 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант : Здравствуйте, STASSY. f(z)=z2010-4*z2009+3 g(z)=z2+z+1 f(z)=g(z)*h(z)+a*z+b g(z) имеет корни: z1= -(1/2)+i*√3/2= cos(2*Pi/3)+i*sin(2*Pi/3) z2= -(1/2)-i*√3/2= cos(4*Pi/3)+i*sin(4*Pi/3) f(z1)= cos(2*Pi*2010/3)+i*sin(2*Pi*2010/3) -4*(cos(2*Pi*2009/3)+i*sin(2*Pi*2009/3))+3=1+0*i - 4*(-(1/2)-i*√3/2)+3=6+2*√3*i также f(z1)=g(z1)*h(z1)+a*z1+b=a*(-(1/2)+i*√3/2)+b f(z2)= cos(4*Pi*2010/3)+i*sin(4*Pi*2010/3) -4*(cos(4*Pi*2009/3)+i*sin(4*Pi*2009/3))+3= 1+0*i - 4*(-(1/2)+i*√3/2)+3=6-2*√3*i , f(z2)=g(z2)*h(z2)+a*z2+b=a*(-(1/2)-i*√3/2)+b Получим систему: |-a/2+i*a*√3/2+b=6+2*√3*i |-a/2-i*a*√3/2+b=6-2*√3*i a=4, b=8 f(z)=g(z)*h(z)+4*z+8 Ответ: 4*z+8
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант
Вопрос № 178737:
Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу.
Отправлен: 29.05.2010, 21:16 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант : Здравствуйте, STASSY. Многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексные корни только парные (сопряженные). Т.к. z1 и z3 не являются сопряженными, то минимальная степень многочлена будет равна 5. p(z)=(z-3*i)*(z+3*i)*(z+2+i)*(z+2-i)*(z-3)=(z2+9)*(z2+4*z+5)*(z-3)=z5+z4+2*z3-6*z2-63*z-135
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант
Вопрос № 178741:
Уважаемые эксперты, помогите решить задачу!
Отправлен: 29.05.2010, 22:16 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Академик : Здравствуйте, Артём Артемов. В третьей урне могут оказаться либо три белых шара (событие A1), либо два белых шара и один черный шар (событие A2), либо один белый шар и два черных шара (событие A3), либо три черных шара (событие A4). События A1, …, A4 несовместны и образуют полную группу событий. Обозначим через A событие, заключающееся в том, что из третьей урны будет извлечен белый шар. По формуле полной вероятности вероятность события A равна P(A) = P(A1) ∙ P(A|A1) + P(A2) ∙ P(A|A2) + P(A3) ∙ P(A|A3) + P(A4) ∙ P(A|A4), (1) где P(Ai) – вероятность события Ai, P(A|Ai) – вероятность события A при условии, что событие Ai произошло. Нетрудно видеть, что P(A|A1) = 3/3 = 1, P(A|A2) = 2/3, P(A|A3) = 1/3, P(A |A4) = 0/3 = 0. Найдем вероятность события A1. Оно может произойти только в том случае, если из первой урны будет извлечено два белых шара, а из второй – один. Вероятность извлечь из первой урны два белых шара равна 3/7 ∙ 2/6 = 1/7. Вероятность извлечь из второй урны белый шар равна 5/8. Тогда P(A1) = 1/7 ∙ 5/8 = 5/56. Найдем вероятность события A2. Оно может произойти в следующих случаях: 1) из первой урны извлечено два белых шара, а из второй – черный шар. Вероятность извлечь из первой урны два белых шара, как было показано выше, равна 1/7. Вероятность извлечь из второй урны черный шар равна 3/8. Тогда вероятность извлечь из первой урны два белых шара, а из второй урны черный шар равна 1/7 ∙ 3/8 = 3/56; 2) из первой урны извлечен один белый шар и один черный шар, а из второй – один белый шар. Вероятность извлечь из второй урны белый шар, как было указано выше, равна 5/8. Белый шар может быть вынут из первой урны при первом извлечении (тогда при втором извлечении будет вынут черный шар) или при втором извлечении (тогда при первом извлечении будет вынут черный шар). Вероятность вынуть из первой урны белый шар при первом извлечении (и черный – при втором) равна 3/7 ∙ 4/6 = 2/7 , а вероятность вынуть белый шар при втором извлечении (и черный – при первом) равна 4/7 ∙ 3/6 = 2/7. Тогда вероятность извлечь из первой урны один белый шар и из второй урны один белый шар равна (2/7 + 2/7) ∙ 5/8 = 20/56. Значит, P(A2) = 3/56 + 20/56 = 23/56. Находим вероятность события A3. Оно может произойти в следующих случаях: 1) из первой урны извлечен один белый шар и один черный шар, а из второй – один черный шар. Вероятность такого события равна (2/7 + 2/7) ∙ 3/8 = 12/56; 2) из первой урны извлечено два черных шара, а из второй – белый шар. Вероятность такого события равна 4/7 ∙ 3/6 ∙ 5/8 = 10/56. Зн ачит, P(A3) = 12/56 + 10/56 = 22/56. Находим вероятность события A4: P(A4) = 4/7 ∙ 3/6 ∙ 3/8 = 6/56. Нетрудно видеть, что P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 5/56 + 23/56 + 22/56 + 6/56 = 56/56 = 1, как и должно быть, если события A1, …, A4 несовместны и образуют полную группу событий. Подставляя в формулу (1) полученные значения вероятностей, имеем P(A) = 1 ∙ 5/56 + 2/3 ∙ 23/56 + 1/3 ∙ 22/56 + 0 ∙ 6/56 = 15/168 + 46/168 + 22/168 ≈ 0,494. Ответ: 0,494. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Академик
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.16 от 26.05.2010 |
| В избранное | ||
