Вопрос № 123575: Ув. эксперты, помогите решить задачу:
Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд –q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кол...Вопрос № 123580: Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением нескольких задач:
1. Два одинаковых заряда величиной 0.4 нКл находятся на расстоянии 2 см. Какой заряд и где надо поместить, чтобы система находилась в равновесии?
2. В вершинах равностороннего тре...
Вопрос № 123.575
Ув. эксперты, помогите решить задачу:
Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд –q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x, если x>>R.
Каждый элементарный заряд dq, расположенный на кольце, создаёт потенциал в точке x, равный
(1/4пe0)*dq/sqrt(x^2+R^2). Здесь e0 - диэлектрическая проницаемость вакуума (эпсилон 0).
Складывая потенциалы от элементарных зарядов, получим потенциал, который создают
все заряды кольца:
(1/4пe0)*(-q)/sqrt(x^2+R^2).
Добавим к нему потенциал поля точечного заряда, получим потенциал системы кольцо + точечный заряд:
(1) phi = (1/4пe0)*q*(1/x - 1/sqrt(x^2+R^2)).
При х >>R:
sqrt (x^2+R^2) = x*sqrt(1+(R/x)^2) = x*(1 + (1/2)*(R/x)^2).
1/sqrt(x^2+R^2) = (1/x)*(1/(1 + (1/2)*(R/x)^2)) = 1/x - (1/2)*R^2/x^3.
Подставляем приближенное выражение в (1), получим:
phi = (1/4пe0)*R^2/x^3 при x>>R.
Поле в точке на оси кольца направлено вдоль оси (это следует из симметрии задачи). Поэтому
E = -d phi/dx = (1/4пe0)*q*(3/2)*R^2/x^4 =
= (3/8пe0)*q*R^2/x^4.
Ответ отправил: Lang21 (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 18.02.2008, 11:10
Отвечает: Скоморохов Владимир Иванович
Здравствуйте, Алексей Вадимович!
Заряд –q равномерно распределен по всему кольцу. На каждую единицу длины кольца бу-дет приходиться заряд τ = (–q)/(2*π*R).
Напряженность электрического поля, создаваемого заряженным кольцом, в каждой точке пространства будет являться геометрической суммой напряженностей, создаваемых от-дельными элементами кольца.
Элемент l1 в точке А (так назовем точку, в которой по условию задачи требуется найти модуль напряженности электрического поля) будет создавать напряженность
Е1 = ko*τ*l1/(2*R^2), направленную под углом α к оси кольца.
Здесь ko = 9*10^9 H*м^2/Кл^2.
Элемент l2 (расположенный полярно по отношению к элементу l1) в этой точке создает на-пряженность Е2 = ko*τ*l2/(2*R^2). При сложении напряженностей от этих элементов коль-ца в сумму войдут только проекции векторов Е1 и Е2 на ось, перпендикулярную плоскости кольца. Точно также попарно войдут проекции напряженности, создаваемой всеми други-ми элементами кольца.
Поэтому вектор напряженности в точке А будет равен
Е = –2*q*2*π*R*ko*cosα/(2*R^2) = –2*q*π*ko*cosα/R. (1)
Заменив в формуле (1) cosα = x/(√(x^2 + R^2), получим для модуля напряженности:
Е = 2*q*π*ko*x/((R*(√(x^2 + R^2)).
Ответ: Модуль напряженности поля равен: Е = 2*q*π*ko*x/((R*(√(x^2 + R^2)).
Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением нескольких задач:
1. Два одинаковых заряда величиной 0.4 нКл находятся на расстоянии 2 см. Какой заряд и где надо поместить, чтобы система находилась в равновесии?
2. В вершинах равностороннего треугольника сос стороной а=5 см находятся заряды +q, +q и -q. Найти напряженность поля Е и потенциал в центре треугольника, если q=5 нКл.
3. Какой скоростью будет обладать электрон, пролетев ускоряющую разность потенциалов 200 В ? Какую работу совершит электрическое поле?
4. Энергия плоского воздушного конденсатора 0.4 нДж, напряжение на обкладках 600 В, площадь пластин 1 кв.см. Определить расстояние между обкладками и напряженность поля.
5. Отклонение стрелки вольтметра до конца шкалы соответствует напряжению 15 В. Ток, текущий при этом через вольтметр I=7.5 мА. Определить ток, текущий через вольтметр, когда вольтметр показывает напряжение 5 В, и внутреннее сопротивление вольтметра.
6.На цоколе электрической лампочки написано 220 В, 100 Вт. Для измерения сопротивления лампочки в холодном состоянии на лампу подали напряжение 2 В, при этом сила тока была 54 мА. Найти приблизительно температуру накала вольфрамовой нити. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама а=0,0052 1/К.
7. Сила тока в проводнике сопротивления R=10 Ом за время t=50c равномерно нарастает от I1=5 А до I2=10 А. Определить количество теплоты Q, выделившейся за это время.
Заранее благодарствую за ответы.
Отправлен: 17.02.2008, 20:51
Вопрос задал: Petro (статус: Посетитель)
Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Gerhard
Здравствуйте, Petro!
3) Работа электрического поля равна произведению заряда электрона на ускоряющую разность потенциалов:
A=e*U (1)
где e=1,6*10^-19 Кл, U=200 В
A=1,6*10^-19*200=3,2*10^-17 Дж
По теореме о кинетической энергии работа электрического поля равна приращению кинетической энергии электрона:
e*U=m*V^2/2 (2)
где m=9,11*10^-31 кг - масса электрона, V - искомая скорость электрона; выразим её:
V=КОРЕНЬ(2*e*U/m)=КОРЕНЬ(2*1,6*10^-19 *200/9,11*10^-31)=8,38*10^6 м/с
4) Формула для энергии поля конденсатора:
W=C*U^2/2 (1)
где W=0.4 нДж, U=600 В, C - емкость плоского конденсатора, которая ищется как:
С=eps*eps0*S/d (2)
где S=1 кв.см, eps0=0,885*10^-11 Ф/м, eps - диэлектрическая проницаемость, для воздуха можно считать равной единице, d - искомое расстояние между обкладками
Подставляя (2) в (1) выражаем d:
d=eps*eps0*S*U^2/(2*W)=0,885*10^-11*10^-4*(600)^2/(2*4*10^-10)=3,98*10^-1 м
Поскольку поле плоского конденсатора является однородным, его напряженность можно найти по формуле:
E=U/d=600/3,98*10^-1=1,5 кВ/м
5) Сопротивление вольтметра r найдем по закону Ома:
r=U1/I1 (1)
где U1=15 В, I1=7,5 мА
r=15/(7,5*10^-3)=2 кОм
Когда по вольтметру потечет ток I2, напряжение будет равно U2=5 В; снова можем записать закон Ома:
I2=U2/r (2)
Подставляя (1) в (2) получаем:
I2=U2*I1/U1=5*(7,5*10^-3)/15=2,5 мА
6) Зависимость электрического сопротивления от температуры дается формулой:
R(T)=R0*(1+a*(T-T0)) (1)
где R(T) - сопротивление, соотв. температуре Т, R0 - сопротивление, соотв. темп Т0, в нашем случае Т0 соотв. комнатной температуре; а=0,0052 1/К - температурный коэффициент сопротивления вольфрама
Сопротивление R0 найдем по закону Ома:
R0=U0/I0 (2)
где U0=2 В, I0=54 мА
Сопротивление R(T), соотв. искомой температуре накала нити найдем из закона Джоуля-Ленца:
R(T)=U^2/P (3)
где U=220 В - рабочее напряжение лампы, при котором её нить разогревается до температуры накала, Р=100 Вт - мощность лампы
Подставляя (2) и (3) в (1) выражаем Т, при этом комнатной температурой Т0 можно пренебречь (20 С по сравнению с ~2000 С):
T=1/a*(U^2*I0/(P*U0)-1)=1/0,0052*((220)^2*54*10^-3/(100*2)-1)=2321 C
--------- По возможности пишите ответ к задаче )
Ответ отправил: Gerhard (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 18.02.2008, 08:08 Оценка за ответ: 5
Отвечает: DrMeks
Здравствуйте, Petro!
1) Условие равновесия - сумма сил, действующих на заряд равна 0.
На 1-й заряд действуют силы F21=k*q1*q2/d^2 и F1=k*q1*q/x^2.
k*q1*q2/d^2=k*q1*q/x^2 (1)
аналогично на 2-й заряд: F12=k*q2*q1/d^2 и F2=k*q2*q/(d-x)^2.
k*q2*q1/d^2=k*q2*q/(d-x)^2 (2)
из (1) и (2) => q2/d^2=q/x^2 и q1/d^2=q/(d-x)^2, т.к. q1=q2, q/x^2=q/(d-x)^2,
отсюда x^2=(d-x)^2 или x=d/2=1см.
Найдем величину неизвестного заряда из (1) k*q1*q2/d^2=k*q1*q/x^2
k*q1*q2/d^2=k*q1*q/(d/2)^2
q=q2/4=0.1нКл. Заряд должен иметь знак противоположный q1 и q2.
Ответ отправил: DrMeks (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 18.02.2008, 10:11
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Petro! 1. Одноимённые заряды отталкиваются. Другой заряд может уравновесить силу отталкивания противоположно направленной силой притяжения, значит, он д.б. противоположного знака и помещаться посередине. Но тогда его расстояние до каждого из крайних зарядов будет в 2 раза меньше расстояния между ними. Т.к. сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния, для выравнивания сил величина центрального заряда д.б. 1/4 от величины крайнего, т.е. 0.1 нКл. (Равновесие будет неустойчивым: если
один из крайних зарядов чуть приблизится к центральному, притяжение станет сильнее отталкивания; он притянется к центральному и оттолкнёт второй крайний). 7. Закон равномерного изменения тока во времени выражается уравнением: i = I1 + k*t (1), где t - текущее время, i - мгновенное значение тока, k - коэффициент пропорциональности. Учитывая, что I1 + k*T = I2, где T = 50с - продолжительность процесса, k = (I2 - I1
)/T (2). Количество теплоты dQ, выделившейся за элементарное время dt равно: dQ = i2*R*dt (3). Подставив в (3) значение i из (1) и проинтегрировав от 0 до T, после преобразований с учётом (2) получим: Q = ((I12 + I1*I2 + I22)/3)*10*50 = ((52 + 5*10 + 102)/3)*R*T = 29167 Дж. Примечание: выражение (I12 + I1*I2 + I22)/3 - это квадрат "эквивалентного
по нагреву" значения тока; может пригодиться.
Ответ отправил: SFResid (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 18.02.2008, 11:41 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Скоморохов Владимир Иванович
Здравствуйте, Petro!
1. Дано: l = 2см = 2*10^–2м, q1 = q2 = q = 0,4нКл =0,4*10^–9Кл.
Пусть искомый заряд qx размещен на расстоянии r2 от заряда q2, тогда расстояние заряда qx до заряда q1 будет r1 = l – r2.
Для того, чтобы заряд qx был в равновесии, сила F1, действующая на него со стороны за-ряда q1, должна быть равна равна силе F2, действующей на него со стороны заряда q2.
По закону Кулона: (1/(4*π*ε*εo))*(q1*qx)/(r1^2) = (1/(4*π*ε*εo))*(q2*qx)/(r2^2).
Так заряды одинаковы q1 = q2, то 1/(l – r2)^2 = 1/(r2^2) и l – r2 = r2.
Итак r2 = l/2 = 2см/2 = 1см =10^–2м.
Условием равновесия системы будет равенство нулю суммы сил, действующих на каждый из зарядов: F1= F2, F21 = F1, F2 = F21, где F1 – сила взаимодействия зарядов qx и q1; F1 – си-ла взаимодействия зарядов qx и q2; F21 – сила взаимодействия зарядов q1 и q2.
F21 = F1. Запишем согласно закону Кулона:
(1/(4*π*ε*εo))*(q1*q2)/(l^2) = (1/(4*π*ε*εo))*(q2*qx)/(r2^2).
Избавимся от одинаковых сомножителей: q1/(l^2) = qx/(r2^2).
Разрешим относительно qx = (q1*r2^2)/l^2 = q*l^2/(4*l^2) = q/4 = 0,1нКл.
Ответ: Отрицательный заряд величиной 0,1нКл следует поместить в середине между за-рядами q1 и q2, чтобы система находилась в равновесии. Иначе положительно заряженные заряды "разбегутся".
3. Дано: е = 1,602*10^–19Кл; me = 9,11*10^–31кг; U = 200В.
Работа (А) сил электростатического поля определяется произведением заряда электрона е на разность потенциалов U:
А = е*U.
Вычислим эту работу А = 1,6*10^–19Кл*200В = 200эВ.
Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, имеет кинетическую энергию:
Wк = me*c^2*((1/(√(1 – β^2)) – 1), (1)
где me – масса покоя электрона, с – скорость света, равная 3*10^8 м/с, β = v/c.
Wк = е*U
Обозначим через В = (1/(√(1 – β^2)) – 1 и разрешим равенство (2) относительно В
Получим В = (е*U)/(me*c^2). Используя численные значения задачи, рассчитаем В.
В = (1,602*10^–19Кл*200В)/(9,11*10^–31кг*9*10^16м^2/с^2) = 0,04
1/(√(1 – β^2) = 1,04; 1/(1 – β^2) = 1,0816; 1 – β^2 = 1/1,0816 = 0,9246; β^2 = 0,0754;
β = 0,2746; И следовательно v = 0,2746*3*10^8 м/с = 0,824*10^8 м/с.
Ответ: Электрон будет обладать скоростью v = 0,824*10^8 м/с. Электрическое поле со-вершит работу 200эВ.
4. Дано: W = 0,4нДж = 0,4*10^–9Дж; U = 600В, S = 1см^2 = 10^–4м^2
Энергия плоского воздушного конденсатора определяется формулой:
W = (C*U^2)/2, (1)
где С – емкость конденсатора, U – напряжение на обкладках конденсатора.
Из (1) найдем емкость конденсатора С = (2*W)/U^2. (2)
C другой стороны в системе СИ емкость С = (εo*ε*S)/d. (3)
Здесь εo – диэлектрическая проницаемость вакуума (воздуха),
равная 8,854*10^–12(A*c)/(B*м), ε =1, S – площадь пластин конденсатора, d – расстояние между пластинами (обкладками) конденсатора.
Сопоставляя (2) и (3), получим (εo*ε*S)/d = (2*W)/U^2 (4)
Разрешим (4) относительно d = (εo*ε*S*U^2)/(2*W).
Следовательно расстояние между обкладками будет
d = ((8,854*10^–12(A*c)*10^–4м^2*600^2В^2)/(B*м)*2*0,4*10^–9Дж = 0,4м .
Напряженность электрического поля между пластинами найдем как
Е = U/d = 600В/0,4м = 1500В/м.
Ответ: Расстояние между обкладками 0,4м. Напряженность поля 1500В/м.
5. Дано: Uпред = 15В, Iпред = 7,5*10^–3 A, U1 = 5В.
Из закона Ома для участка цепи найдем внутреннее сопротивление вольтметра
Rвнутр = U/I, где U – предельное напряжение, измеряемое вольтметром; I – показание зна-чения силы тока, соответствующее предельному напряжению.
Rвнутр = 15В/(7,5А*10^–3 A) = 2000 Ом.= 2кОм.
Сила тока, текущего через вольтметр, когда вольтметр показывает напряжение 5В, со-ставляет I1 = U1/Rвнутр = 5В/(2000 Ом) = 2,5мА
Ответ: Внутреннее сопротивление вольтметра составляет 2кОм. Сила тока при показании вольтметра 5В составляет 2,5мА.
6. Дано: U = 220B, P = 100Вт, U1 = 2B, I = 54*10^–3 A, а = 5,2*10^–3 1/К.
Сопротивление нити лампочки (вольфрама) при температуре Т определяется формулой
RT = R0*(1 + a*T), (1)
где R0 – сопротивление лампочки в холодном состоянии, a - температурный коэффициент сопротивления вольфрама.
R0 = U1/ I = 2В/(54*10^–3A), где U1 – напряжение, которое подали на лампочку, I – сила тока, проходящего через лампочку при измерении сопротивления лампочки в холодном состочнии.
RT = U^2/Р, где U – напряжение, на которое рассчитана лампочка, Р – потребляемая мощ-ность лампочки.
Из соотношения (1) найдем искомую температуру:
Т = ((RT/R0) – 1))/a = ((I*U^2)/(Р*U1) – 1))/a =
= ((54*10^–3A*(220В)^2)/(100Вт*2B) – 1)/(5,2*10^–3 1/К) = 2320 К.
Ответ: Температура накала вольфрамовой нити равна 2320 К.
7. Дано: R =10 Ом, ∆t = 50c, I1 = 5A, I2 =10 A
Количество теплоты, выделившееся за время dt на сопротивлении R при прохождении че-рез него тока в соответствии с законом Джоуля – Ленца выражается формулой:
dQ = (I^2)*R*dt, (1)
где dQ – элементарное количество теплоты, I – сила тока, dt – бесконечно малый интервал времени. Из условия равномерности нарастания тока: I = k*t (2)
k = (I2 – I1)/∆t = (10A – 5А)/50с = 0,1А/с.
C учетом (2) формула (1) запишется как dQ = (k^2*t^2)*R*dt, (3)
Проинтегрировав (3), получим:
Q = (R*k^2)*интеграл от 0 до 50с(t^2*dt) = (10 Ом*0,01А^2/с^2)*(t^3/3)
Так как ∆t = t – to = 50c, а to = 0, то t =50с
Откуда Q = (10 Ом*0,01А^2/с^2)*(t^3/3) = (0,1В*А/с^2)*(50^3c^3/3) = 4166,7Дж.
Ответ: Выделившееся количество теплоты составляет 4166,7Дж.
Ответ отправил: Скоморохов Владимир Иванович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 20.02.2008, 20:34 Оценка за ответ: 5
