Вопрос № 123454: Уважаемые эксперты!
Помогите пожалуйста с решением этих задач:
1) Механическая система состоит из двух шариков, массы которых m1=m; m2=2m, соединенных между собой невесомой пружиной. В начальный момент пружина не деформирована, шарики удержив...Вопрос № 123540: Граната, летящая со скоростью 10 мс, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 мс. Найти скорость меньшего осколка...Вопрос № 123544: Два заряда Q1= 30 нКл и Q2= -30 нКл расположены на расстоянии r=25 см друг от друга. Найти напряженность и потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии r=5 см от первого заряда....
Вопрос № 123.454
Уважаемые эксперты!
Помогите пожалуйста с решением этих задач:
1) Механическая система состоит из двух шариков, массы которых m1=m; m2=2m, соединенных между собой невесомой пружиной. В начальный момент пружина не деформирована, шарики удерживаются в одной горизонтальной плоскости на некотором расстоянии от земли и им сообщают начальные скорости: шарику массой m1 - скорость v1=3v в вертикальном направлении, а шарику массой m2 - скорость v2=2v в горизонтальном направлении. Скорости шариков находятся в одной плоскости. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите величину импульса
этой системы в момент времени, когда ее центр масс достигнет половины максимальной высоты относительно первоначального уровня.
2) Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что все время находится в зените в одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника R больше радиуса Земли R0? Считать известными радиус Земли R0 и ускорение свободного падения у поверхности Земли.
(Знаю что уже публиковали эту задачу, но то решение мне неясно и не кажется верным).
Буду рад любой помощи.
Отправлен: 17.02.2008, 00:36
Вопрос задал: Kroco (статус: 2-ой класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Kroco!
Задача 1
Радиус-вектор центра масс равен (M=m1+m2):
(1) R = (m1*r1+m2*r2)/M (здесь R, r1, r2 - векторы)
Вектор скорости центра масс получается дифференцированием:
(2) V = (m1*v1+m2*v2)/M (здесь V, v1, v2 - векторы).
Отсюда следует, в частности, что импульс системы можно расчитывать или как сумму импульсов или как импульс, связанный с ЦМ:
(3) M*V = m1*v1+m2*v2.
Считаем, что ось z вертикальна, а ось x горизонтальна.
В начальный момент составляющие скорости ЦМ по формуле (2), с учётом условий задачи, равны:
(4) Vz = (m/M)*3v = v; Vx = (2m/M)*2v = (4/3)*v, (M=3m).
Известно, что при движении центра масс можно учитывать только внешние силы. То есть, задача сводится к расчёту движения материальной точки с определённой начальной скоростью в поле силы тяжести.
Максимальная высота ЦМ Hm удовлетворяет соотношению
(5) Vz = v = sqrt(2*g*Hm),
а вертикальную составляющую скорости Vz' на половине максимальной высоты можно найти из формулы:
(6) Vz' = sqrt(2*g*(Hm/2)).
Комбинируя (5) и (6), находим
(7) Vz'=v/sqrt(2).
Горизонтальная составляющая скорости ЦМ не изменяется, поэтому составляющие импульса равны:
Pz=3mv/sqrt(2), Px=4mv, а модуль P равен mv*sqrt(82)/2.
Задача 2
Пусть M, R, T - масса, радиус и период вращения Земли, k - гравитационная постоянная, r - радиус орбиты спутника, v - скорость спутника, g - ускорение свободного падения на поверхности земли.
Центростремительная сила равна силе притяжения:
(1) mv^2/r = kmM/r^2.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли вычисляется через гравитационную постоянную и массу Земли:
(2) g = kM/R^2
Период вращения спутника равен периоду вращения Земли:
(3) T = 2п/(v/r), (т.к. v/r - это круговая частота вращения).
Теперь нужно решить систему уравнений (1)-(3) и найти r.
Из (1) и (2) выражаем v через r:
v = sqrt(k*M/r)= R*sqrt(g/r).
Подставляем v в (3):
2п/T = (R/r)*sqrt(g/r)
Перепишем последнее уравнение так, чтобы r входило в него только в виде отношения отношения r/R:
2п/T = (R/r)*sqrt(g)*sqrt(R/r)/sqrt(R) = sgrt(g/R)*(R/r)^(3/2).
Вычисляем, считая R=6,371e6 м, Т = 24*60*60 = 8,64e4 c g = 9.8м/с^2.
Получим:
(r/R) = 6,625.
Подробно о геостационарной орбите спутника можно прочитать в Википедии.
Ответ отправил: Lang21 (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 17.02.2008, 12:11 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое, Вы мне очень помогли.
Вопрос № 123.540
Граната, летящая со скоростью 10 мс, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 мс. Найти скорость меньшего осколка.
Отвечает: Химик CH
Здравствуйте, Чернов Дмитрий Алексеевич!
По закону сохранения импульса
m*v=m1*v1+m2*v2
m*10=0.6m*25+0.4m*v2
v2=(10-0.6*25)/0.4=-12.5
то есть второй осколок полетит со скоростью 12,5м/с в направлении, противоположном направлению полёта гранаты
--------- Солнце ярче светится и веселей пейзаж, когда в желудке плещется C2H5OH
Ответ отправил: Химик CH (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 17.02.2008, 16:36 Оценка за ответ: 5
Отвечает: -=Dr. Штопор=-
Здравствуйте, Чернов Дмитрий Алексеевич.
Согласно закону сохранения импульса:
m*v(векторно) = m1*v1(векторно) + m2*v2(векторно)
Считая, что граната и осколки движутся равномерно и прямолинейно, спроецируем Закон Сохранения Импульса на ось, вдоль которой движутся тела системы.
m*v=m1*v1-m2*v2
Зная соотношение масс, можно подставить:
m*v = 0.6*m*v1 - 0.4*m*v2
Подставляем известные значения, получаем линейное уравнение относительно v2:
10*m = 0.6*25*m - 0.4*m*v2 // делим всё уравнение на m
10 = 15 - 0.4*v2;
0.4*v2 = 5
v2 = 5 / 0.4 = 12.5 (м/с)
Ответ: 12.5 м/с.
____________________________
Tantum possumus, quantum scimus
--------- Tantum possumus, quantum scimus
Ответ отправил: -=Dr. Штопор=- (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 17.02.2008, 16:40
Отвечает: Скоморохов Владимир Иванович
Здравствуйте, Чернов Дмитрий Алексеевич!
Дано: v =10м/с, m1 = 0,6*m; v1 = 25м/с
Запишем закон сохранения импульса в проекциях на ось Х, совпадающей с направлением движения гранаты: m*v = 0,6*m*v1 + (1 – 0,6)*m*v2, (1)
где m – масса всей гранаты, v – скорость гранаты до разрыва, v1 – скорость большого ос-колка, v2 – скорость меньшего осколка.
Упростим выражение (1), разделив на m, v = 0,6*v1 + 0,4*v2,
Разрешив относительно v2, получим v2 = (v – 0,6*v1)/0,4
Вычислим скорость меньшего осколка гранаты v2 = (10 – 0,6*25)/0,4 = –12,5м/с
Ответ: Скорость меньшего осколка гранаты составляет: –12,5м/с.
Два заряда Q1= 30 нКл и Q2= -30 нКл расположены на расстоянии r=25 см друг от друга. Найти напряженность и потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии r=5 см от первого заряда.
Отвечает: Скоморохов Владимир Иванович
Здравствуйте, Чернов Дмитрий Алексеевич!
Дано: Q1 = 30 нКл, Q2 = –30 нКл; r = 25 см = 0,25м; r1 = 5 см = 0,05м.
Модуль напряженности E и потенциал φ электрического поля определяются соотноше-ниями:
E = (ko*|q|)/(ε*r^2) (1)
и φ = ko*q/(ε*r), (2)
где ko = 1/(4*π*εo) = 9*10^9 H*м^2/Кл^2, εo – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), ε – диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха ε =1), q – заряд, создающий электрическое поле в точке, находящейся на расстоянии r.
Напряженность в точке А (обозначим так точку, о которой идет речь в задаче) создается обоими зарядами и в соответствии с принципом суперпозиции равна сумме напряженно-стей Е1 и Е2.
Напряженность Е1 = (ko*|Q1|)/(r1^2)
Напряженность Е2 = (ko*|Q2|)/(r – r1)^2
Напряженность в точке А, создаваемая зарядами Q1 и Q2, равна
Е = Е1 + E2 = ko*((|Q1|)/(r1^2) + (|Q2|)/(r – r1)^2.
Произведем вычисления
Е = 9*10^9 H*м^2/Кл^2*30нКл*((1/(25*10^–4м^2) +1/(0,04м^2)) = 270H/Кл*(400+25) =
= 114,75 кH/Кл = 114,75 кВ/м
Потенциал в точке А также, как и напряженность, в силу суперпозиции равен сумме
φ = φ1+φ1 = ko*((Q1/r1)+(Q2/(r – r1)) = 9*10^9 H*м^2/Кл^2*30Кл*(1/0,05м + 1/0,2м) =
= 9*H*м/Кл*30*(1/0,05 + 1/0,2) = 270* 25 В = 6,75 кВ
Ответ: Напряженность равна 114,75 кВ/м, а потенциал 6,75 кВ.
