Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Ноябрь 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1443
∙ повысить рейтинг » 		Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 786
∙ повысить рейтинг » 		epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 333
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2750
Дата выхода:12.11.2020, 20:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:150 / 124
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 199557: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. При вычислении перейти к полярным координатам z=√(x2+y2) z=0 x2+y2=R2...

Консультация # 199557:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. При вычислении перейти к полярным координатам
z=√(x2+y2)
z=0
x2+y2=R2

Дата отправки: 07.11.2020, 20:09
Вопрос задал: iranisimova36@gmail.com (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, iranisimova36@gmail.com!
Даны ограничивающие поверхности : x2 + y2 = R2 ; z1 = 0 ; z2 = √(x2 + y2) .
Перейти к полярным координатам и вычислить объём тела м-ду указанными поверхностями.

Решение : Связь объём тела с полярнымы координатами хорошо описана в учебной статье "Тройные интегралы. Вычисление объёма тела. Тройной интеграл в цилиндрических координатах" Ссылка . Цитирую : "Цилиндрические координаты - это, по сути, полярные координаты в пространстве. В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами φ и r точки M' - проекции точки M на плоскость XOY и аппликатой z самой точки M .
Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формул ам:
x = r·cos(φ) ; y = r·sin(φ)
z = z (аппликата остаётся неизменной)"

Применительно к нашей задаче преобразование выглядит следующим образом:
V = v∫∫∫ f(x;y;z)·dx·dy·dz ==> v∫∫∫ f(r·cos(φ);r·sin(φ);z)·r·dr·dφ·dz

Заменяем декартовы уравнения заданных поверхностей на цилиндрические:
x2 + y2 = R2
[r·cos(φ)]2 + [r·sin(φ)]2 = R2
r2·[cos2(φ) + sin2(φ)] = R2
r2·1 = R2
r = R - боковая поверхность цилиндра.

z1 = 0 ==> z1 = 0 - дно цилиндра.

z2 = √(x2 + y2)
z2 = √{[r·cos(φ)]2 + [r·sin(φ)]2}
z2 = √(r2)
z2 = r - верхняя поверхность коронки.

Чертим график. Заданное тело представляет собой к оронку, полученную из цилиндра с высверленным сверху конусом.
Чтоб Вам легче было представить его : на плоскости xOy (z1 = 0 ; на столе) стоит цилиндр (пенёк) радиусом R и высотой H = R . В этом пеньке сверху высверлили коническое дупло до самого дна. Чертёж и вычисления прилагаю ниже.

Ответ : Объём тела равен 2·π ·R3 / 3 ед3.
Переходить из цилиндрических координат к полностью полярным координатам имеет смысл в решениях задач со сферическими поверхностями (куполами). В текущей задаче вертикальные ограничивающие поверхности (z1 = 0 и z2(r) = r ) не имеют никакой зависимости от зенитного угла. Поэтому добавление полярно-зенитного угла в решение бессмысленно и усложнят процесс.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 12.11.2020, 13:51

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 12.11.2020, 14:41
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное