Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1408
∙ повысить рейтинг »
Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 790
∙ повысить рейтинг »
epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 330
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2748
Дата выхода:10.11.2020, 11:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:150 / 124
Вопросов / ответов:9 / 9

Консультация # 199511: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции....
Консультация # 199512: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции...
Консультация # 199516: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел I, задание: №1 и 2 (Исследовать функцию на непрерывность) ...
Консультация # 199517: Зд равствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел II, задания: №1, 2 , 3 (Найти производные) ...
Консультация # 199518: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Раздел II, задания №4, 5, 6 (Найти производные) ...
Консультация # 199519: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III, задания №1 и 2 (Найти пределы функций) ...
Консул ьтация # 199520: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III, Задания №3 и 4 (Найти пределы функций) ...
Консультация # 199521: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III , задания № 5 и 6 (Найти пределы функций) ...
Консультация # 199522: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III , Задания №7 и 8 (Найти пределы функций) ...

Консультация # 199511:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Дата отправки: 04.11.2020, 21:40
Вопрос задал: svrvsvrv (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, svrvsvrv!
Дана функция y(x) = (x3 + 1) / sin[(1 + 2·x)6 - 1]
Вычислить предел Limx→-1 y(x) , используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Lim y(x) = -1/4 за 1 секунду.
Однако, поскольку задано "Вычислить предел … используя эквивалентные бесконечно малые функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2

При попытке вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 получаем неопределённость вида 0/0 .
Используем правило эквивалентности "Если α → 0 , то sin(α) ~ ^ 5;" .
В нашей задаче знаменатель есть бесконечно малая величина в окрестности x = -1 . Поэтому замена sin(α) → α допустима.
Заменяем знаменатель sin[(1 + 2·x)6 - 1] на (1 + 2·x)6 - 1

Снова пытаемся вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 , и снова получаем неопределённость вида 0/0 .
Разлагаем числитель и знаменатель на множители:
x3 + 1 = (x+1)·(x2 - x + 1)
(1 + 2·x)6 - 1 = 4·x·(x+1)·(4·x2 + 2x + 1)·(4·x2 + 6x + 3)

Сокращаем числитель и знаменатель на множитель (x+1)
Вычисляем предел подстановкой значения x = -1 . Получаем в числителе x2 - x + 1 = 3
В знаменателе 4·x·(4·x2 + 2x + 1)·(4·x2 + 6x + 3) = -12
Ответ : Искомый предел равен 3 / (-12) = -1/4

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 07.11.2020, 18:18

5
Большое Вам спасибо!
-----
Дата оценки: 10.11.2020, 00:19

Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 199512:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции

Дата отправки: 04.11.2020, 21:41
Вопрос задал: svrvsvrv (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, svrvsvrv!
Дана функция y(x) = tg[log4(1 + 5x)] / (x3 + 2·x2 + 5x)
Вычислить предел при x→0 , используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Limx→0 y(x) = 1 / ln(4) за 1 секунду.
Однако, поскольку задано вычислить предел "используя эквивалентные бесконечно малые функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2 .

При попытке вычислить предел простой подстановкой предельного значения x = 0 получаем неопределённость вида 0/0 .
Используем правило эквивалентности "Если &# 945; → 0 , то tg(α) ~ α" .
В нашей задаче числитель дроби есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Поэтому замена tg(α) → α допустима.
Заменяем числитель tg[log4(1 + 5x)] на log4(1 + 5x) .

Выражение log4(1 + 5x) тоже есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Надо заменить её по типу
ln(1 + α) → α с учётом отличия основания нашего логарифма от основания натурального логарифма. В справочнике по школьной математике находим формулу соответствия : log4(b) = ln(b) / ln(4) . Заменяем бесконечно малую функцю log4(1 + 5x) эвивалентом log4(1 + 5x) ~ 5x / ln(4)

В знаменателе выносим x за скобки. Получаем :
Limx→0 = Limx→0 {[5x / ln(4)] / [x·(x2 + 2·x + 5)]} = Limx→0 {5 / [ln(4)·(x2 + 2·x + 5)]} =
= 5 / [ln(4)·(02 + 2·0 + 5)] = 5 / [5·ln(4)] = 1 / ln(4)
Ответ : Искомый предел равен 1 / ln(4) ≈ 0,721

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 08.11.2020, 04:49

5
Огромное Вам спасибо!
-----
Дата оценки: 10.11.2020, 00:24

Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 199516:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел I, задание: №1 и 2 (Исследовать функцию на непрерывность)

Дата отправки: 05.11.2020, 10:59
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

1. Показательная функция 10x непрерывна при любом конечном аргументе x, поэтому функцию

исследуем лишь для тех x, при которых показатель стремится к бесконечности, то при x → 7. Найдём пределы слева и справа:


Так пределы не совпадают, то x = 7 - точка разрыва (второго рода, поскольку один из пределов равен бесконечности) и функция непрерывна везде, кроме x = 7.

2. Функции -x, sin x и x-2 непрерывны при любых x, поэтому исследуем функцию лишь в точках "стыковки":




В точке x = 0 значения пределов слева и справа совпадают друг с другом и со значением функции в точке (y(0) = 0), поэтому разрыва нет. В точке x = π левый и правый предел не совпадают, поэтому это точка разрыва (первого рода, так как оба предела конечны). Функция непрерывна везде, кроме x = π.

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 07:10
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199517:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел II, задания: №1, 2 , 3 (Найти производные)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:02
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

1. Запишем функцию в виде

тогда по формуле производной сложной функции


2. По формуле производной частного


3. Использовав формулы производной сложной функции и частного, получим

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 07:32
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199518:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Раздел II, задания №4, 5, 6 (Найти производные)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:05
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

4. Использовав формулы для производной произведения, сложной и степенной функции, получаем


5. Использовав формулы для производной сложной и показательной функции, получаем


6. Продифференцируем обе части выражения, использовав формулу дифференциала частного и сложной функции:




Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 07:50
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199519:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III, задания №1 и 2 (Найти пределы функций)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:09
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

1. Разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень x (x4):

так как

при любых конечных a и положительных n.

2. Разложив числитель на множители, получаем

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 07:57
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199520:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III, Задания №3 и 4 (Найти пределы функций)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:10
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

3. Числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому имеет место неопределённость вида 0/0. Разложив многочлены на множители и сократив, получаем


4. Воспользовавшись первым замечательным пределом, получаем

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 08:10
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199521:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III , задания № 5 и 6 (Найти пределы функций)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:11
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

5. Воспользовавшись вторым замечательным пределом, получаем


6. Воспользовавшись вторым замечательным пределом, получаем

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 08:34
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199522:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III , Задания №7 и 8 (Найти пределы функций)

Дата отправки: 05.11.2020, 11:12
Вопрос задал: alekseyslobodyanyuk20003 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, alekseyslobodyanyuk20003!

7. Воспользовавшись первым замечательным пределом, получаем:


8. Воспользовавшись следствием из второго замечательного предела, получаем:

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 10.11.2020, 08:41
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!


Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!


В избранное