Консультация # 199511: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции....Консультация # 199512: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции...Консультация # 199516: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел I, задание: №1 и 2 (Исследовать функцию на непрерывность) ...Консультация # 199517: Зд
равствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Раздел II, задания: №1, 2 , 3 (Найти производные) ...Консультация # 199518: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Раздел II, задания №4, 5, 6 (Найти производные) ...Консультация # 199519: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III, задания №1 и 2 (Найти пределы функций) ...Консул
ьтация # 199520: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III, Задания №3 и 4 (Найти пределы функций) ...Консультация # 199521: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Раздел III , задания № 5 и 6 (Найти пределы функций) ...Консультация # 199522: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Раздел III , Задания №7 и 8 (Найти пределы функций) ...
Здравствуйте, svrvsvrv! Дана функция y(x) = (x3 + 1) / sin[(1 + 2·x)6 - 1] Вычислить предел Limx→-1 y(x) , используя эквивалентные бесконечно малые функции.
Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Lim y(x) = -1/4 за 1 секунду. Однако, поскольку задано "Вычислить предел … используя эквивалентные бесконечно малые
функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2
При попытке вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 получаем неопределённость вида 0/0 . Используем правило эквивалентности "Если α → 0 , то sin(α) ~ ^
5;" . В нашей задаче знаменатель есть бесконечно малая величина в окрестности x = -1 . Поэтому замена sin(α) → α допустима. Заменяем знаменатель sin[(1 + 2·x)6 - 1] на (1 + 2·x)6 - 1
Снова пытаемся вычислить предел простой подстановкой значения x = -1 , и снова получаем неопределённость вида 0/0 . Разлагаем числитель и знаменатель на множители: x3 + 1 = (x+1)·(x2 - x + 1) (1 + 2·x)6 - 1 =
4·x·(x+1)·(4·x2 + 2x + 1)·(4·x2 + 6x + 3)
Сокращаем числитель и знаменатель на множитель (x+1) Вычисляем предел подстановкой значения x = -1 . Получаем в числителе x2 - x + 1 = 3 В знаменателе 4·x·(4·x2 + 2x + 1)·(4·x2 + 6x + 3) = -12 Ответ : Искомый предел равен 3 / (-12) = -1/4
Здравствуйте, svrvsvrv! Дана функция y(x) = tg[log4(1 + 5x)] / (x3 + 2·x2 + 5x) Вычислить предел при x→0 , используя эквивалентные бесконечно малые функции.
Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Limx→0 y(x) = 1 / ln(4) за 1 секунду. Однако, поскольку задано вычислить предел "используя
эквивалентные бесконечно малые функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2 .
При попытке вычислить предел простой подстановкой предельного значения x = 0 получаем неопределённость вида 0/0 . Используем правило эквивалентности "Если
945; → 0 , то tg(α) ~ α" . В нашей задаче числитель дроби есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Поэтому замена tg(α) → α допустима. Заменяем числитель tg[log4(1 + 5x)] на log4(1 + 5x) .
Выражение log4(1 + 5x) тоже есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Надо заменить её по типу ln(1 + α) → α с учётом отличия основания нашего логарифма от основания натурального логарифма.
В справочнике по школьной математике находим формулу соответствия : log4(b) = ln(b) / ln(4) . Заменяем бесконечно малую функцю log4(1 + 5x) эвивалентом log4(1 + 5x) ~ 5x / ln(4)
1. Показательная функция 10x непрерывна при любом конечном аргументе x, поэтому функцию исследуем лишь для тех x, при которых показатель стремится к бесконечности, то при x → 7. Найдём пределы слева и справа: Так пределы не совпадают, то
x = 7 - точка разрыва (второго рода, поскольку один из пределов равен бесконечности) и функция непрерывна везде, кроме x = 7.
2. Функции -x, sin x и x-2 непрерывны при любых x, поэтому исследуем функцию лишь в точках "стыковки": В точке x = 0 значения пределов слева и справа совпадают друг с другом и со значением функции в точке (y(0) = 0), поэтому разрыва нет. В точке x = π левый и правый предел не совпадают, поэтому это точка разрыва (первого рода, так как оба предела конечны). Функция непрерывна везде, кроме x = π.
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!