Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Октябрь 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 1040
∙ повысить рейтинг » 		Konstantin Shvetski
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 691
∙ повысить рейтинг » 		Gluck
Статус: 3-й класс
Рейтинг: 191
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2736
Дата выхода:25.10.2020, 18:45
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:147 / 124
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 199366: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Не могу понять, как происходит разбор данного выражения. Тоже упрощение, но какое-то хитрое, модули, вроде бы тема простая, но как оказывается не совсем так, смена знаков не даёт мне покоя. Модули, разложение на промежутки, то, что хочу уяснить раз и навсегда, пока...

Консультация # 199366:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:


Не могу понять, как происходит разбор данного выражения. Тоже упрощение, но какое-то хитрое, модули, вроде бы тема простая, но как оказывается не совсем так, смена знаков не даёт мне покоя. Модули, разложение на промежутки, то, что хочу уяснить раз и навсегда, пока что и этого хватит за глаза. Разложение на промежутки это связано с нахождением ОДЗ, правильно? Ссылка >>

Дата отправки: 20.10.2020, 18:16
Вопрос задал: 450044gq (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, 450044gq!
Условие : Дана функция f(x) = (x+2)·√[(x+2)2 - 8·x] / (x2 - 4·|x-1|)
Требуется упростить это выражение для различных интервалов знако-постоянства.

Решение: Очень хорошо, что Вы, наконец предоставили "некоторое пояснение к задаче", тк вчера я показал Вам в минифоруме ошибочное решение. За полвека я успешно решал множество производственных задач и уравнений, я прочно уяснил, что после извлечения корней типа √a = ±b надо учитывать и анализировать оба знака (плюс и минус) на их соответствие физическому смыслу. Сравнив Ваше пояснение со своим я несколько минут не мог понять, почему при переходе ч-з точку x=2 Ваш Ответ меняет знак? Я стал рыскать в интернете и увидел странное Правило, которое я раньше не знал почему-то:
√a = |b| если a >= 0 и b2 = a , потому что в процессе решения арифметических операций (не технических!) кор ень должен быть положительным числом! Я думал, что попал на сайт самодуров, поискал ещё - такой сговор существует!!

Определение : Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа a называется такое НЕотрицательное число, квадрат которого равен a . Главное! Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один НЕотрицательный результат (цитата из Ссылка )

Теперь Ваша задача решается просто, достаточно разложить всё по полочкам.
Первая полочка : Квадрат под радикалом √[(x+2)2 - 8·x] - от радикалов стараемся избавиться в первую очередь!
Раскрываем скобки f(x) = (x+2)2 - 8·x = x2 + 4x + 4 - 8x = x2 - 4x + 4 = (x-2)2
и расправляемся с радикалом как повар с картошкой: √[(x+2)2 - 8·x] =  730;[(x - 2)2] = |x - 2|
Исходное выражение упростилось до
f(x) = (x+2)·|x-2| / (x2 - 4·|x-1|)

Вторая полочка : досадные модули |x-2| и |x-1| . С ними проще, ибо всем известно школьное преобразование :
|x-2| = x - 2 при x >= 2 , однако |x-2| = 2 - x при x < 2 . Значит, задачу надо рассмотреть при разных значениях x , чтобы избавиться от операций модуля. У нас 2 модуля. Начнём с самого положительного:

Рассмотрим сначала область x >= 2 . В этой области |x-2| = x-2 , а |x-1| = x-1
Наша функция упростится до
f(x) = (x+2)·(x-2) / [x2 - 4·(x-1)] = (x+2)·(x-2) / (x2 - 4·x + 4) = (x+2)·(x-2) / (x-2)2 = (x+2) / (x-2)
Однако, знаменатель дроби (x - 2) обращается в 0 при x = 2 , а делить на 0 нельзя. Значит, в точке x = 2 функция имеет разрыв второго рода. И мы должны сузить область определения, заменив x >= 2 на x > 2 .
То есть f(x) = (x+2) / (x-2) если x ∈ (2 ; ∞) (- как в Вашем пояснении).

Далее рассмотрим интервал 1 <= x < 2 . В нём по-прежнему |x-1| = x-1 , но |x-2| = -(x-2) = 2 - x . Тогда
f(x) = (x+2)·(2 - x) / (x2 - 4·(x-1)) = (x+2)·(2-x) / (x2 - 4·x + 4) = (x+2)·(2-x) / (x-2)2 = (x+2) / (2-x)
Тут x ∈ [1 ; 2) . Точка x=1 входит в этот полу-интервал, а разрывная x=2 - НЕ входит!

Остался интервал x < 1 , где |x-1| = -(x-1) = 1-x , и |x-2| = -(x-2) = 2 - x . В этой x-области наша функция упростится до
f(x) = (x+2)·(2 - x) / [x2 - 4·(1 - x] = (2+x)·(2-x) / (x2 + 4·x - 4) = (4 - x2) / (x2 + 4·x - 4)
В дробях надо всегда искать "подводные камни", когда знаменатель обращается в нуль, на который делить нельзя.

Решаем уравнение x2 + 4·x - 4 = 0 . И получаем x = -2 ± 2·√2 . Это значит, из рассматриваемой ОДЗ (Области Допустимых Значений)
x = x ∈ (-∞ ; 1) надо "выколоть&quo t; точки разрыва 2го рода x1 = -2 - 2·√2 ≈ -4,83 и x2 = -2 + 2·√2 ≈ 0,83

Таким образом, итоговый Ответ: упрощённая функция равна
f(x) = (4 - x2) / (x2 + 4·x - 4) если x ∈ [-∞ ; 1) и при этом x <> -2 ± 2·√2 ;
f(x) = (x+2) / (2-x) если x ∈ [1 ; 2) ;
f(x) = (x+2) / (x-2) если x ∈ (2 ; +∞) .

График Вашей исходной функции прилагаю.

Я постарался объяснить всё подробно. Если у Вас что-то осталось непонятным, спрашивайте в минифоруме.
Полезная статья от профессионального репетитора по Вашей теме "Как упростить сложный радикал" Ссылка
=Удачи! smile

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 22.10.2020, 14:12
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное