Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Февраль 2012   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик
Статус: Академик
Рейтинг: 9473
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7029
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise
Статус: Академик
Рейтинг: 5693
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1619
Дата выхода:11.02.2012, 21:30
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:114 / 182
Вопросов / ответов:2 / 5

Консультация # 185380: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Функцию f(x)=x+1 в интервале (0;1) разложить в ряд синусов....

Консультация # 185387: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: 1. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования и найти его значение (двумя способами) 2. Найти двумя способами поток векторного поля

Консультация # 185380:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Функцию f(x)=x+1 в интервале (0;1) разложить в ряд синусов.

Дата отправки: 07.02.2012, 23:14
Вопрос задал: Марина (Посетитель)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует vanger (2-й класс):

Здравствуйте, Марина!

Функция представляет собой сумму чётной и нечётной частей.
// Функция называется чётной, если g(x) = g(-x) и нечётной - если g(-x) = - g(x).

1 - это, в общем, и есть первый член разложения. Разложим x по синусам на интервале (0;1).

Разложение функции f(x)=x+1 по синусам в интервале (0; 1) имеет вид

,
где

Интегрируя по частям получаем

второе слагаемое равно нулю как интеграл косинуса по периоду.
Итак,

Окончательно получаем

Консультировал: vanger (2-й класс)
Дата отправки: 08.02.2012, 00:08
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультирует RED (3-й класс):

Здравствуйте, Марина!


.docx файл(124.8 кб)

Консультировал: RED (3-й класс)
Дата отправки: 08.02.2012, 01:15
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Марина!

Воспользуемся тем, что, согласно [1, с. 189], если функция задана в интервале и кусочно дифференцируема в нём, то её разложение в ряд Фурье по синусам имеет вид


где


В нашем случае функция задана не на интервале а на интервале что не меняет существа дела, поскольку функция становится неопределённой только в начальной и конечной точках отрезка , а это никак не сказывается на интегрировании. Поэтому


Но




следовательно,



Значит, искомое разложение имеет вид

что и даёт ответ на поставленный вопрос.

Литература
1. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2. - СПб.: Политехника, 2003. - 477 с.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 08.02.2012, 20:34
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 185387:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
1. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования и найти его значение (двумя способами)



2. Найти двумя способами поток векторного поля (нормаль-внешняя); вычислить циркуляцию (двумя способами) по контуру пересечения поверхностей (направление обхода против часовой стрелки), проверить является ли поле соленоидальным или потенциальным (в случае потенциальности найти потенциал) Сделать чертеж.


Дата отправки: 08.02.2012, 11:58
Вопрос задал: Дмитрий Сергеевич (Профессор)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Асмик (Академик):

Здравствуйте, Дмитрий Сергеевич!
Условие для того, чтобы криволиинейный интеграл

не зависил от пути между точками:

В таком случает Pdx+Qdy является полным дифференциалом функции F(x,y), и значение интеграла равно F(B)-F(a).
В данном случае


следовательно, условие выполняется.



Так как интеграл не зависит от пути, можно вычислить его непосредственно по простейшему пути.
Это интегрирование вдоль отрезка y=0. Тогда dy=0, и P=0, следовательно, интеграл равен 0.

Консультировал: Асмик (Академик)
Дата отправки: 08.02.2012, 16:48

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 08.02.2012, 23:34
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +2 одобряю!

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Академик):

Здравствуйте, Дмитрий Сергеевич!

Рассмотрим вторую задачу:

а) Потоком векторного поля a = {P, Q, R} через поверхность σ называется поверхностный интеграл первого рода:

где n - вектор нормали, определяемый для поверхности z = z(x, y) выражением

С учётом того, что поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному по формуле:

где σxy - проекция поверхности σ на плоскость xOy, можно записать

В данном случае P = 2x + y, Q = x - 3y, R = 2z + 3; для поверхности σ1 имеем z = 9 - x2 - y2, z'x = -2x, z'y = -2y; для поверхности σ2 имеем z = 0, z'x = z'y = 0. Тогда


Для удобства расчётов перейдём к полярным координатам по формулам x = r cos φ, y = r sin φ, z = 9 - x2 - y2 = 9 - r2 для первого интеграла и z = 0 для второго интеграла, dx dy = r dr dφ, проекция на плоскость xOy {σxy: x2+y2≤9} примет вид {σxy: 0≤φ≤2π, 0≤r≤3}. Тогда







б) По формуле Остроградского поток векторного поля a = {P, Q, R} через замкнутую поверхность σ, ограничивающую тело V, равен

В данном случае тело V представляет собой часть параболоида z = 9 - x2 - y2, ограниченную плоскостью z = 0. Для него имеем


Для удобства расчётов перейдём к цилиндрическим координатам по формулам x = r cos φ, y = r sin φ, z = z, dV = r dz dr dφ. Тогда для тела V имеем {V: φ=0, φ=2π, z=0, z=9-r2} и


в) Циркуляция векторного поля a = {P, Q, R} вдоль контура C непосредственно определяется интегралом

В данном случае контур С - линия пересечения параболоида z = 9 - x2 - y2 и плоскости z = 0, то есть окружность x2 + y2 = 9, и циркуляция равна

или, с учётом того, что на всём контуре C выполняется равенство z = 0 и dz = 0:

Будет удобно перейти к полярным координатам (x = r cos φ, y = r sin φ). Тогда r = 3, 0 ≤ φ ≤ 2π, x = 3 cos φ, dx = -3 sin φ dφ, y = 3 sin φ, dy = 3 cos φ dφ и циркуляция будет равна



г) По теореме Стокса, если контур C ограничивает поверхность S, то циркуляция векторного поля a вдоль контура равна потоку ротора этого поля через поверхность:

где n - вектор нормали к поверхности. В данном случае


поэтому независимо от значения вектора n имеем


д) Векторное поле a = {P, Q, R} называется соленоидальным, если его поток через любую замкнутую поверхность σ равен нулю:

В данном случае при вычислении потока по формуле Остроградского для него было получено выражение

Очевидно, что данный интеграл, численно равный объёму те ла V, ограниченного замкнутой поверхностью σ, отличен от нуля для любой поверхности. Следовательно, векторное поле a несоленоидально.

е) Векторное поле a = {P, Q, R} называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторой скалярной функции φ, то есть

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля в односвязной области является равенство нулю его ротора:

В данном случае

(был найден при вычислении циркуляции поля по теореме Стокса), поэтому поле a потенциально. Приравнивая компоненты поля a частным производным потенциала φ, получаем

откуда

или

Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Академик)
Дата отправки: 08.02.2012, 23:02

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 08.02.2012, 23:23
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное