Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик Статус: Академик Рейтинг: 9353 ∙ повысить рейтинг »

Орловский Дмитрий Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 7032 ∙ повысить рейтинг »

Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise Статус: Академик Рейтинг: 5672 ∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:	1613
Дата выхода:	04.02.2012, 18:00
Администратор рассылки:	Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:	111 / 182
Вопросов / ответов:	5 / 9

Консультация # 185330: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Прошу очень подробно расписать и сделать график. Решить следующую задачу нелинейного программирования: а) графическим способом, б) методом Била. max Z = -x²₁ - x₂² + 10x₁ + 16x₂ , x₁ + 2x...

Консультация # 185330:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Прошу очень подробно расписать и сделать график.

Решить следующую задачу нелинейного программирования: а) графическим способом, б) методом Била.

max Z = -x²₁ - x₂² + 10x₁ + 16x₂ ,
x₁ + 2x₂ ≤ 16,
5x₁ + 2x₂ ≤ 40,
x₁, x₂ ≥ 0.

Дата отправки: 31.01.2012, 17:20
Вопрос задал: Посетитель - 356695 (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Агапов Марсель (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!

Решим задачу методом Била.






Решение:

1) Сведём задачу к нахождению минимума:


Ведём дополнительные неотрицательные переменные , в систему ограничений, чтобы перейти к равенствам.




2) Проверим, является ли данная задача задачей выпуклого программиров ания. Так как

то матрица этой квадратичной формы имеет вид

Её главные миноры положительны:


Значит, квадратичная форма является положительно определённой, а функция – выпуклой вниз. Таким образом, рассматриваемая задача является задачей выпуклого программирования.

3) Т.к. преобразованная система разрешена относительно переменных , , то выберем их в качестве базисных. Выразим базисные переменные , через свободные , .



Найдём первое решение, положив свободные переменные равными нулю. Итак, первое решение имеет вид:


Найденное решение проверим на оптимальность. Для этого вычислим частные производные от целевой функции по всем свободным переменным и найдём их значения в найденной точке.



4) Т.к. , то за счёт увеличения переменной значение функции можно улучшить.

Определим предел возрастания переменной . Для этого найдём, при каких значениях переменной базисные переменные и производная станут нулевыми. Видим, что
при ,
при ,
при

Таким образом, при увеличении переменной первой в ноль обращается переменная (первый случай). Поэто му исключаем из базиса: Выразим переменную через , подставим полученное выражение во все ограничения и в целевую функцию, получим




5) Второе решение имеет вид:


Найденное решение проверим на оптимальность. Для этого вычислим частные производные от целевой функции по всем свободным переменным и найдём их значения в найденной точке:



Т.к. , то за счёт увеличения переменной значение функции можно улучшить. Определим предел возрастания переменной . Для этого найдём, при каких значениях переменной базисные переменные и производная станут нулевыми.
при ,
при ,
при .

Таким образом, при увеличении переменной первой в ноль обращается производная (второй случай). Введём дополнительную неограниченную по знаку переменную


Выразим из этого равенства переменную , подставим полученное выражение во все ограничения и в целевую функцию, получим





6) Третье решение имеет вид:


Найденное решение проверим на оптимальность. Для этого вычислим частные производные от целевой функции по всем свободным переменным и найдём их значения в найденной точке:


Т.к. , и , то найденное решение является оптимальным.

Ответ: , , .

Консультировал: Агапов Марсель (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 02.02.2012, 02:10 5 нет комментария ----- Дата оценки: 02.02.2012, 08:32

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!

Решим задачу графическим способом. Для этого на координатной плоскости Ox₁x₂ изобразим прямые x₁ = 0, x₂ = 0, 5x₁ + 2x₂ = 40 (или x₂ = -2,5x₁ + 20), x₁ + 2x₂ = 16 (или x₂ = -0,5x₁ + 8) и среди многоугольников, полученных в результате пересечения этих прямых, заштрихуем тот, который удовлетворяет заданным неравенствам (он расположен как ниже прямой x₂ = -2,5x₁ + 20, так и ниже прямой x₂ = -0,5x₁ + 8). Заштрихованный многоугольник с вершинами в точках (0; 0), (8; 0), (6; 5), (0; 8) вместе со своими границами является областью определения заданной функции z (рисунок), или областью допустимых решений.



Функция z = -x₁² - x< sub>2² + 10x₁ + 16x₂ является нелинейной. Поэтому экстремум может достигаться не только на границе, но и внутри области допустимых решений.

Выделим в квадратичной форме -x₁² - x₂² + 10x₁ + 16x₂ квадраты:
-x₁² - x₂² + 10x₁ + 16x₂ = -(x₁² + x₂² - 10x₁ - 16x₂) = -(x₁² - 10x₁ + 25 - 25 + x₂² - 16x₂ + 64 - 64) = -((x₁ - 5)² + (x₂ - 8)² - 89).

Полученное выражение позволяет представить заданную функцию так:
z - 89 = -((x₁ - 5)² + (x₂ - 8)²),
2(z - 89) = -((x₁ - 5)²/(1/2) + (x₂ - 8)²/(1/2)),
что позволяет интерпретировать её как уравнение эллиптического параболоида с вершиной в точке (5; 8; 89), причём вершина является точкой с наибольшим значением аппликаты z (поверхность параболоида направлена вниз).

В сечении параболоида горизонтальными плоскостями (т. е. плоскостями, параллельными плоскости z = 0, совпадающей с координатной плоскостью), получим окружности, радиусы которых тем меньше, чем выше и, соответственно, ближе к вершине параболоида расположена горизонтальная секущая плоскость. Чем меньше радиус окружности в таком сечении, тем больше аппликаты точек окружности.

Наименьший радиус окружности соответствует на рисунке точке пересечения прямой x₂ = -0,5x₁ + 8 и перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку (5; 8) - ортогональную проекцию вершины параболы на координатную плоскость. Искомая точка имеет координаты (4; 6), а значение функции z в этой точке является максимальным в заданной области определения:
z_max = z(4; 6) = -4² - 6² + 10 · 4 + 16 · 6 = 84.

Ответ: max z = 84 при x₁ = 4, x₂ = 6.

С уважением.

Заметим, что привлечение наглядных представлений позволило избежать лишних вычислений производных и значений заданной функции на границах области определения.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 02.02.2012, 12:05 5 нет комментария ----- Дата оценки: 02.02.2012, 13:15

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 185332:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Прошу подробно расписать решение.
Найти проекцию точки (0,0)∈R² на полуплоскость аx + by ≥ c, если a= 4, b= -5, c=2.

Дата отправки: 31.01.2012, 19:24
Вопрос задал: Посетитель - 356695 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!

Как указано в [1, с. 356], проекцией точки на множество называют ближайшую к точку и обозначают её

Для нахождения этой точки поступим следующим образом:
1) преобразуем уравнение границы заданной полуплоскости к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом. Получим

2) из уравнения (1) находим, что уравнение перпендикуляра к ней, проходящего через заданную точку (начало координат) имеет вид

3) решая совмес тно уравнения (1) и (2), находим точку пересечения границы заданной полуплоскости и перпендикуляра к ней, проходящего через заданную точку. Эта точка и будет искомой проекцией заданной точки на заданную полуплоскость:





Ответ:

Литература
1. А. В. Аттетков, С. В. Галкин, В. С. Зарубин. Методы оптимизации: Учеб. для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 440 с.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 31.01.2012, 20:29 5 нет комментария ----- Дата оценки: 01.02.2012, 11:54

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 185335:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Прошу очень подробно расписать решение

Найти проекцию точки (а,b)∈R² на круг x²+y² ≤c², если a=3, b=5, c=3

Дата отправки: 31.01.2012, 20:47
Вопрос задал: Посетитель - 356695 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!

Поступим аналогично тому, как это было сделано здесь: консультация № 185332. Будем искать точку границы круга - окружности ближайшую к заданной точке Искомая точка принадлежит прямой, соединяющей центр окружности - точку и точку Находим уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:





Н аходим длину отрезка, соединяющего точки и


Искомая точка принадлежит построенному отрезку и границе заданного круга, находясь от начала координат на расстоянии , равном радиусу окружности. Поэтому её координаты будут пропорциональны координатам точки



Ответ:

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Дата отправки: 01.02.2012, 11:49 5 нет комментария ----- Дата оценки: 01.02.2012, 11:53

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 185336:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Прошу подробно рассписать решение

Определить условные глобальные экстремумы функций в следующих задачах с помощью метода непосредственного исключения и метода Лагранжа, f(x,y) = 3x² + 2y² – 3х +1 при условии x² + y² = 4.

Дата отправки: 31.01.2012, 20:53
Вопрос задал: Посетитель - 356695 (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!
Метод Лагранжа




Система имеет 4 решения:
1)
2)
3)
4)
Составим для каждой из этих точек определитель D:

|0 2x 2y|
-|2x 6+2lambda 0|
|2y 0 4+2 lambda|
=4y^2(6+2lambda)+4x^2(4+2lambda)
1)
D=-8<0 -> условный максимум
2)
D=-56<0-> условный максимум
3,4)
D=14& gt;0 -> условный минимум
Вычисляем значения функции в этих точках:

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник) Дата отправки: 31.01.2012, 21:26

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Посетитель - 356695!
Метод непосредственного исключения:
Уравнение x²+y²=4 представляет окружность с центром в начале координат радиуса 2.
Переменная x меняется в пределах от -2 до 2. Из этого уравнения находим y²=4-x² и подставляем в формулу для функции
f=3x²+2(4-x²)-3x+1=x²-3x+9 (-2≤x≤2)
Абсцисса вершины этой параболы x=3/2, значение функции в ней f=27/4. На концах отрезка [-2;2] функция принимает значения
f(x=-2)=4+6+9=19
f(x=2)=4-6+9=7
Среди трех полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее:
f=27/4 - минимум
f=19 - максимум

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 31.01.2012, 22:12 5 нет комментария ----- Дата оценки: 31.01.2012, 22:15

Рейтинг ответа: +2 поблагодарить эксперта

Консультация # 185337:

Здравствуйте дорогие эксперты! Прошу помощи в следующем вопросе: решите задания теста с 14 по 29 ? С 1-го по 13-й разобрался сам. Хотелось бы что бы не методом подбора, а как должно решаться по уму.
Изображения с тестом вот:

Дата отправки: 01.02.2012, 00:21
Вопрос задал: Посетитель - 390096 (Посетитель)
Всего ответов: 3
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал):

Здравствуйте, Посетитель - 390096!

16.

Имеем неопределенность вида
Раскрываем ее путем почленного деления числителя и знаменателя на n.



17.

Никакой неопределенности тут нет, предел раскрывается "в лоб", путем прямой подстановки:


18.

Неопределенность вида
Раскрывается путем разложения на множители:


Т.к. x стремится к 2, но не равно 2, то (x-2), будучи сколь угодно близко к 0, все-таки не равно 0. Поэтому можно выполнить сокращение на общий множитель x-2.



20.

Неопределенность вида
Раскрывается путем приведения ко второму замечательному пределу:
Делаем замену:
Откуда x-2 = 6t
Тогда если x стремится к бесконечности, то и t также стремится к бесконечности.



22.
Производная частного 2-х функций:


Тогда:





23.
Производная сложной функции:


Тогда:












29.
Функция имеет 2 ос обые точки: x=3 и x=-4.
При x=-4 числитель равен 7, а знаменатель - нулю. Поэтому прямая x=-4 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
При x=3 и числитель, и знаменатель обращаются в 0, при этом и левый, и правый пределы функции в точке x=3 конечные и целые:




Т.о. в данной точке вертикальной асимптоты нет.

Консультировал: Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал) Дата отправки: 01.02.2012, 01:53 5 нет комментария ----- Дата оценки: 01.02.2012, 20:09

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Консультирует Асмик (Академик):

Здравствуйте, Посетитель - 390096!

14
Перейти к каноническому виду - значит избавиться от коэффициентов при x и y. Для этого запишем уравнение как
4(x+1)²+9(y-1)²=36
Переходим к переменным x'=x+1, y'=y-1
В них получим уравнение в каноническом виде
x'²/9+y'²/4=1
Этот переход соответсвует перемещению начала координат в точку (-1,1)

15
Переход к полярной системе координат проходит по формулам
x=r*cos φ
y=r*sin φ
Если подставить их в уравнение, поулчим (r*cos φ)²+(r*sin φ)²=r²
r²=4(r+r*cos φ)
Сокращая на r
r=4(1+cos φ)

19
В пределе x->0 значения синуса и тангенса можно заменить значением x.

Консультировал: Асмик (Академик) Дата отправки: 01.02.2012, 02:37 5 нет комментария ----- Дата оценки: 01.02.2012, 20:09

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Академик):

Здравствуйте, Посетитель - 390096!

21. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀, y₀) имеет вид y = kx + b, где k = f'(x₀), а b определяется из условия y₀ = kx₀ + b. В данном случае x₀ = 1, y₀ = 2·1³+2·1²-4·1-1 = -1, f'(x) = 6x²+4x-4, k = f'(1) = 6·1²+4·1-4 = 6, b = y₀ - kx₀ = -1-6·1 = -7, то есть уравнение касательной - y = 6x-7, и правильный ответ - 3).

24. Дифференциал функции y = f(x) записывается в виде dy = f'(x)dx. В данном случае f(x) = sin 5x - cos 6x и f'(x) = (sin 5x - cos 6x)' = 5 cos 5x - 6(-sin 6x) = 5 cos 5x + 6 sin 6x, то есть правильный ответ - 1).

25. Необходимыми и достаточными условиями существования минимума непрерывной дифференцируемо й функции y = f(x) в точке (x₀,y₀) являются f'(x₀) = 0, f'_-(x₀) < 0, f'₊(x₀) > 0. В данном случае имеем тольку одну точку, в которой производная равна 0, являясь при этом отрицательной слева и положительной справа (точка x = b не удовлетворяет этому условию, так как неизвестно значение производной справа от неё). Поэтому правильный ответ - 1).

26. Для функции y = f(x) на интервале убывания выполняется условие f'(x) < 0. В данном случае f(x) = x³+3x²-9x-8, f'(x) = 3x²+6x-9 = 3(x-1)(x+3), f'(x) = 0 при x = -3 и x = 1. Так как f'(0) = -9 < 0, то f'(x) < 0 при -3 < x < 1, то есть на интервале (-3, 1) и правильный ответ - 1).

27. В точке локального максимума функции y = f(x) выполня ются условия f' = 0, f" < 0. В данном случае f(x) = cos x - x, f'(x) = -sin x - 1, f"(x) = -cos x, условие -sin x - 1 = 0 на отрезке [-π/2,π/2] выполняется только в точке x = -π/2, но f"(-π/2) = -cos(-π/2) = 0, то есть это не точка локального максимума. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Так как f(-π/2) = cos(-π/2)-(-π/2) = π/2 и f(π/2) = cos π/2 - π/2 = -π/2, то наибольшее значение функции равно π/2 и правильный ответ - 1).

28. В точке перегиба функции y = f(x) выполняется условие f" = 0. В данном случае



Очевидно, f" & #8800; 0 при всех конечных x, то есть функция не имеет точек перегиба, и правильный ответ - 4).

Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Академик) Дата отправки: 01.02.2012, 05:21 5 нет комментария ----- Дата оценки: 01.02.2012, 20:10

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль