Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Февраль 2012   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик
Статус: Академик
Рейтинг: 9366
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7028
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise
Статус: Академик
Рейтинг: 5672
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1615
Дата выхода:06.02.2012, 19:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:111 / 183
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 185351: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас решить подробно. Даны координаты вершин пирамиды ABCD (A{-2;-1;1} B{2.5;7;1} C{7;-1;1} D{-1;-2;11}) 1)Сделать чертеж. 2) Запишите в координатной форме векторы: AB, AC и BC. 3)Определите длины и направляющие косинусы векторов: AB, AC и BC. 4)Найдите углы треугольника ABC (по формуле ...

Консультация # 185351:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас решить подробно.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD (A{-2;-1;1} B{2.5;7;1} C{7;-1;1} D{-1;-2;11})

1)Сделать чертеж.
2) Запишите в координатной форме векторы: AB, AC и BC.
3)Определите длины и направляющие косинусы векторов: AB, AC и BC.
4)Найдите углы треугольника ABC (по формуле скалярного произведения векторов).
5)Вычислите площадь грани ABC:
а) используя формулу векторного произведения векторов в координатной форме;
б) по формуле Герона.
6)вВычислить объем пирамиды ABCD:
а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме;
б) по формуле V=(S(ABC)*h)/3

Дата отправки: 03.02.2012, 10:58
Вопрос задал: DarkFaust (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, DarkFaust!

1. Изобразим пирамиду в фронтальной диметрической проекции:


2. Запишем векторы в координатной форме:




3. Определим длины и направляющие косинусы векторов:



- для вектора



- для вектора



- для вектора




4. Найдём углы треугольника:




Проверка:

как и должно быть.

5. Вычисляем площадь грани :
а) используя формулу векторного произведения векторов

б) по формуле Герона




.

6. Находим объём пирамиды:
а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме


б) по формуле
аппликаты точек A, B, C равны между собой (z = 1), поэтому уравнение плоскости ABC суть z = 1, или z - 1 = 0;
расстояние h от точки D до плоскости ABC



С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 03.02.2012, 14:56

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 03.02.2012, 20:53
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультирует Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал):

Здравствуйте, DarkFaust!

2.
AB = (4.5; 8; 0)
AC = (9; 0; 0)
BC = (4.5; -8; 0)

3.
Длины векторов:
|AB| = √(4.52+82+02) = (√337)/2
|AC| = √(92+02+02) = 9
|BC| = √(4.52+(-8)2+02) = (√337)/2

Направляющие косинусы.
вектор AB:
cos α = ABx/|AB| = 4.5/((√337)/2) = (9 √337)/337
cos β = ABy/|AB| = 8/((√337)/2) = (16 √337)/337
cos γ = ABz/|AB| = 0/((√337)/2) = 0

вектор AC:
cos α = ACx/|AC| = 9/9 = 1
cos β = ACy/|AC| = 0/9 = 0
cos γ = ACz/|AC| = 0/9 = 0

вектор BC:
cos α = BCx/|BC| = 4.5/((√337)/2) = (9 √337)/337
cos β = BCy/|BC| = -8/((√337)/2) = -(16 √337)/337
cos γ = BCz/|BC| = 0/((√337)/2) = 0

4.
AB•AC = 4.5*9 + 8*0 + 0*0 = 40.5
BA•BC = (-AB)•BC= (-4.5)*(4.5) + (-8)*(-8) + 0*0 = 175/4
CA•CB = (-AC)•(-BC) = (-9)*(-4.5) + 0*8 + 0*0 = 40.5

|AB||AC| = (9 √337)/2
|BA||BC| = 337/4
|CA||CB| = (9 √337)/2

cosA = (AB•AC)/(|AB||AC|) = 40.5/((9 √337)/2) = (9 √337)/337
cosB = (BA•BC)/(|BA||BC|) = (175/4)/(337/4) = 175/337
cosC = (CA•CB)/(|CA||CB|) = 40.5/((9 √337)/2) = (9 √337)/337

A = C = arcCos ((9 √337)/337) ~ 60,64º
B = arcCos (175 /337) ~ 58,71º

5.
a) AB×AC = ((AByACz-ABzACy); (ABzACx-ABxACz); (ABxACy-AByACx)) = (0; 0; -72)

SΔABC = 1/2 * |AB×AC| = 36

б) Формула Герона: S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где a, b, c - длины сторон треугольника, а p = (a+b+c)/2 - полу-периметр.

Длины сторон треугольника ABC равны длинам соответствующих векторов.
Полу-периметр p равен (|AB| + |AC| + |BC|)/2 = (9+√337)/2
Обозначим: |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a.
Тогда:
p-a = (9+√337)/2 - (√337)/2 = 4.5 = 9/2
p-b = (9+√337)/2 - 9 = (√337 - 9)/2
p-c = p-a = 9/2

p(p-a)(p-b)(p-c) = (9+√337)/2 * 9/2 * (√337 - 9)/2 * 9/2 = ((337-81)*81)/16 = 256*81 /16 = 16*81 = 42*92 = 362

И, соответственно, SΔABC = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √362 = 36

6.
а) Объем пирамиды по правилу смешанного произведения векторов определяется так:
V = 1/6 * |AB•(AC×AD)|



V = 1/6*|v| = 120.

б) Объем пирамиды по формуле V = 1/3*S*h
h - высота пирамиды DH, где H - точка в плоскости основания пирамиды.

Т.к. плоскость основания пирамиды (ABC) параллельна координатной плоскости (XOY), то координаты точки H - основания высоты пирамиды - определяются следующим образом:
Hx = Dx = -1
Hy = Dy = -2
Hz = (ABC)z = 1

Вектор DH тогда равен (0, 0, -10) и его длина (а также длина высоты пирамиды) равна 10.

Вычисляем объем: V = 1/3*S*h = 1/3*36*10 = 120

Консультировал: Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал)
Дата отправки: 03.02.2012, 16:22

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 03.02.2012, 20:54
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное