Вопрос № 143506: проволка массой m рвётся при силе натяжения Т1. из неё сделали кольцо радуса R. до какой минимальной угловой скоростиω необходимо раскрутить кольцо относительно оси симметтрии чтобы оно разорвалось...
Вопрос № 143.506
проволка массой m рвётся при силе натяжения Т1. из неё сделали кольцо радуса R. до какой минимальной угловой скоростиω необходимо раскрутить кольцо относительно оси симметтрии чтобы оно разорвалось
Отправлен: 09.09.2008, 19:46
Вопрос задал: Belmont (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Belmont! Общая длина проволоки в кольце радиуса R равна 2*π*R, поэтому масса единицы длины проволоки равна m/(2*π*R). Разрежем кольцо мысленно пополам по линии X - X, проходящей через центр кольца. Теперь, чтобы кольцо не разлетелось, на каждый разрез каждой половинки должна действовать, взамен натяжения проволоки, равная этому натяжению сила Tн. Ввиду гибкости проволоки эти силы могут быть направлены только вдоль проволоки, т.е по касательной к окружности кольца и перпендикулярно
к линии X - X. Проведём линию Y - Y перпендикулярно к линии X - X и параллельно силам Tн. Выделим в кольце отклонённую под углом α от линии Y - Y элементарную дугу с центральным углом dα; её длина соответственно равна R*dα, а масса dm = m/(2*π)*dα. На элементарную дугу действует вдоль радиуса кольца элементарная центробежная сила dF, равная: dF = dm*ω2*R = (m/(2*π))*R*ω
2*dα (1); её проекция dT на направление сил Tн равна: dT = dF*COS(α) = ((m/(2*π))*R*ω2)*COS(α)*dα (2). Проинтегрировав (2) от α = -π до α = +π, получаем: T = (m/π)*R*ω2 (3). Это суммарная сила, стремящаяся разорвать половинки; ей противодействуют 2 силы Tн, поэтому Tн = T/2 (4). Чтобы кольцо разорвалось, надо Tн ≥ T1, откуда,
с учётом (3) и (4): ω ≥ √(2*π*T1/(m*R)).
Прикреплённый файл: Загрузить >> Срок хранения файла на сервере RusFAQ.ru составляет 30 суток с момента отправки ответа.
Ответ отправил: SFResid (статус: Профессионал) США, Силиконовая Долина ---- Ответ отправлен: 12.09.2008, 09:53
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Belmont!
Ещё одно решение задачи.
В равновесии суммарная работа всех сил при малых вариациях координат равна нулю, так как силы уравновешивают друг друга (принцип виртуальной работы). В данном случае силы натяжения уравновешивают центробежные силы. При малом увеличении радиуса кольца работа центробежных сил для элемента кольца Delta m равна: Delta A1 = (Delta m)*(omega^2)*R*(delta R). Для всего кольца работа получается суммированием по всем элементам Delta m: A1= m*(omega^2)*R*(delta
R). Работа сил натяжения равна произведению удлинения проволоки delta L = 2*Pi*(delta R) на силу натяжения Т: A2 = 2*Pi*T*(delta R). В равновесии A2 = A1: m*(omega^2)*R*(delta R) = 2*Pi*T*(delta R). При разрыве кольца T >= T1, откуда находим: omega >= sqrt (2*Pi*T1/(m*R)).
Ответ отправил: Lang21 (статус: Студент)
Ответ отправлен: 13.09.2008, 09:48
