Вопрос № 143195: Здравствуйте , уважаемые эксперты. Помогите решить задачу: К концу вертикального шеста привязана веревка с мячом Длина веревки -l, радиус шеста -a<<L Мяч движется по спирали уменьшающегося радиуса в горизонтальной плоскости , и ...
Вопрос № 143.195
Здравствуйте , уважаемые эксперты. Помогите решить задачу: К концу вертикального шеста привязана веревка с мячом Длина веревки -l, радиус шеста -a<<L Мяч движется по спирали уменьшающегося радиуса в горизонтальной плоскости , и веревка наматывается на шест после одного удара придающего мячу скорость -v0. Чему равна угловая скорость мяча после того , как мяч совершит пять полных оборотов?
Отправлен: 06.09.2008, 13:47
Вопрос задал: Verof (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Verof! Задачка, в конечном счёте, простая, но, во избежание ошибки, следует хорошо разобраться в существе дела. А дело всё в том, что здесь, на первый взгляд, "вступают в противоречие между собой" закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии. Момент импульса Mи мяча относительно оси шеста равен: Mи = J*ω (1), где J - момент инерции мяча относительно оси шеста, ω - угловая скорость мяча. Согласно известной формуле, J = m*xо2
(2), где m - масса мяча, xо - расстояние от мяча до оси шеста, причём, хотя по теореме Пифагора: xо2 = l2 + a2 (3), где l - текущее значение длины веревки, вследствие того, что a « l, можно принимать xо = l. С другой стороны, ω = v/l (4), где v - текущее значение скорости мяча. Подставляя начальные значения v = v0 и l = L, из уравнений (1), (2), (3) и (4) получаем начальное значен
ие момента импульса: Mин = m*v0*L (5). Начальное же значение Kэн кинетической энергии мяча равно: Kэн = m*v02/2 (6). Если считать, что при наматывании веревки на шест и соответственном уменьшении l сохраняется начальное значение момента импульса, то из (5) с учётом уравнений (1), (2), (3) и (4) получаем, что v = v0*L/l (7), а из (6) текущее значение Kэ кинетической энергии мяча равно: Kэ = Kэн*(L/l)2/2
(6), а поскольку L > l то Kэ > Kэн. В этом и состоит "противоречие": из закона сохранения момента импульса следует, что кинетическая энергии мяча при наматывании веревки на шест возрастает, но в рссматриваемй системе нет сил, совершающих работу, которая могла бы превратиться в добавочную кинетическую энергию мяча. Приходится "сделать выбор в пользу" закона сохранения энергии. Тогда, на основании (6), конечное
значение vк скорости мяча равно начальному v0. После пяти полных оборотов длина части веревки, намотавшейся на шест равна 5*2*π*a = 10*π*a; конечное значение l: lк = L - 10*π*a; конечное значение ω: ωк = v0/(L - 10*π*a). Таким образом, ответ получен; однако, поскольку момент импульса мяча уменьшился в (L - 10*π*a)/L раз, для уверенности в "правильности выбора" нужно ответить себе на вопрос "куда он девался".
Ответ есть: верёвка натягивается центробежной силой Fц; будучи приложена к наружной поверхности шеста, эта сила передаёт шесту вращающий момент Mвр = Fц*a, направленный в ту же сторону, куда обращается мяч вокруг шеста, а шест, в свою очередь, передаёт этот момент земному шару. В соответствии же с 3-м законом Ньютона, земной шар через шест и верёвку передаёт мячу противоположно направленный момент, который и тормозит мяч, постепен
но поглощая его момент импульса. При желании можно "сверить баланс" путём детального расчёта, но в условии такая задача не ставится. Рекомендую кое что посмотреть здесь и здесь.
Ответ отправил: SFResid (статус: Профессионал) США, Силиконовая Долина ---- Ответ отправлен: 10.09.2008, 08:36
