Консультация # 186395: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Пожалуйста, прошу вас описать решение данного задания максимально подробно, так как мне важно понять суть решения. Заранее благодарен всем ответивши...
Консультация # 186396: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Пожалуйста, прошу вас описать решение данного задания максимально подробно, так как мне важно понять суть решения. Заранее благодарен всем ответившим!...Консультация # 186397: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Пожалуйста, прошу вас описать решение данного задания максимально подробно, так как мне важно понять суть решения. Заранее благодарен всем ответившим! ...Консультация # 186398:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Пожалуйста, прошу вас описать решение данного задания максимально подробно, так как мне важно понять суть решения. Заранее благодарен вс...
Здравствуйте, barhat! Немного теории: Пусть значения приближаемой функции f(x) заданы в N+1(у нас N=5) узлах f(x0), ..., f(xN). Аппроксимирующую функцию будем выбирать из некоторого параметрического семейства F(x, c), где c = (c0, ..., cn)T — вектор параметров, N > n. Будем строить многочлен второй степени, значит, n = 2.
Принципиальным отличием задачи среднеквадратичного приближения от задачи интерполяции является то, что число узлов
превышает число параметров. В данном случае, практически всегда не найдется такого вектора параметров, для которого значения аппроксимирующей функции совпадали бы со значениями аппроксимируемой функции во всех узлах.
В этом случае задача аппроксимации ставится как задача поиска такого вектора параметров c = (c0, ..., cn)T, при котором значения аппроксимирующей функции как можно меньше отклонялись бы от значений аппроксимируемой ф
ункции F(x, c) в совокупности всех узлов.
Запишем критерий среднеквадратичного приближения для метода наименьших квадратов:
Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию относительно коэффициентов аппроксимирующего многочлена. Она непрерывна и дифференцируема по c0, ..., cn. Очевидно, что ее минимум находится в точке, где все частные производные равны нулю. Приравнивая к нулю частные производные,
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (искомых) коэффициентов многочлена наилучшего приближения.
Обычно, в качестве аппроксимирующей функции используют многочлены по какому-либо линейно независимому базису {φk(x), k=0,...,n}. (например, многочлены по степенному базису {
966;k(x) = xk, k=0,...,n}):
В этом случае система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов будет иметь вполне определенный вид: a00c0 + a01c1 +… + a0ncn = b0 a10c0 + a11c1 +… + a1ncn = b1 … an0c0
+ an1c1 +… + anncn = bn
Чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (определитель Грама) был отличен от нуля. Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы система базисных функций φk(x), k=0,...,n была линейно независимой на множестве узлов аппроксимации.
Перейдем к примеру. Требуется вывести эмпирическую формулу для приведенной табличной зависимости f(х), используя метод наименьших квадратов.
xi
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
yi
20
19
21
22
23
26
Примем
в качестве аппроксимирующей функцию y = F(x) = c0 + c1x + c2x2, то есть, n=2, N=5
Система уравнений для определения коэффициентов: a00c0 + a01c1 + a02c2 = b0 a10c0 + a11c1 + a12c2 =
b1 a20c0 + a21c1 + a22c2 = b2
Коэффициенты вычисляются по формулам:
Решаем систе
му уравнений и получаем такие значения коэффициентов: c0 = 19.714, c1 = - 1, c2 = 7.143 Т.о., получили такую функцию: y = 19.714 - x + 7.143 x2
Построим, для наглядности, график:
Консультировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Дата отправки: 20.06.2012, 02:27
5
нет комментария ----- Дата оценки: 20.06.2012, 20:33
Начнём с теории. Рассмотрим задачу Коши на отрезке [x0; X] для дифференциального уравнения
y' = f(x, y) (1)
с начальным условием
y(x0) = y0. (2)
Будем искать значения приближённого решения этой задачи лишь в фиксированных точках xi, i = 1, ..., N данного отрезка. Выбранные узловые точки будем считать равноотстоящими:
xi = x0
+ ih, i = 1, ..., N, h > 0, N = [(X - x0)/h].
Метод Рунге - Кутты - одношаговый метод решения задачи (1), (2), т. е. такой метод, который позволяет найти приближённое значение решения этой задачи в узле xi + 1 по информации об этом решении лишь в одной предыдущей узловой точке xi. Обозначим через yi приближённое значение искомого решения в точке xi.
Метод Рунге - Кутты четвёртого поряд
ка точности является одним из распространённых методов решения задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Он описывается следующими шестью соотношениями:
K1(i)
= hf(xi, yi); K2(i) = hf(xi + h/2, yi + K1(i)/2); K3(i) = hf(xi + h/2, yi + K2(i)/2); K4(i) = hf(xi + h, yi + K3(i)). (5)
Порядком точности метода Рунге - Кутты называют такое число s, для которого погрешность приближённого равенства Δy
i ≈ y(xi + 1) - y(xi) будет величиной порядка hs + 1. Для нашего метода погрешность будет величиной порядка h5. Вычисления удобно располагать по схеме, указанной в табл. 1.
Таблица 1
i
x
y
K = hf(x, y)
Δy
0
x0
y0
K1(0)
K1(0)
x0
+ h/2
y0 + K1(0)/2
K2(0)
2K2(0)
x0 + h/2
y0 + K2(0)/2
K3(i)
2K3(0)
x0 + h
y0 + K
3(0)
K4(i)
K4(0)
Δy0
1
x1
y1
При однократном использовании метода значения функции f(x, y) необходимо вычислять четыре раза с аргументами xi и yi, xi + h/2 и yi + K1(i)/2, xi
+ h/2 и yi + K2(i)/2, xi + h и yi + K3(i).
Теперь приступим к решению задачи. Будем искать значения приближённого решения задачи Коши в точках xi, i = 1, ..., 10. Имеем
(полученный результат записываем в шестой строке таблицы).
Выполненные вычисления повторяем для следующего узла. Удобно воспользоваться электронной таблицей MS Excel. Файл с решением Вы можете загрузить, воспользовавшись этой ссылкой.
С уважением.
Консультировал: Mr. Andy (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 20.06.2012, 14:17
5
нет комментария ----- Дата оценки: 20.06.2012, 20:36
Пусть где - левая (нижняя) треугольная матрица с единичными элементами на главной диагонали, - правая (верхняя) треугольная матрица. Имеем по правилу умножения матриц
Следовательно,
Искомые матрицы имеют следующий вид:
С уважением.
Консультировал: Mr. Andy (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 20.06.2012, 16:15
5
нет комментария ----- Дата оценки: 21.06.2012, 00:47
Здравствуйте, barhat! Рассмотрим F(x)=x+lnx-2 F'(x)=1/x+1 Так как искомый корень лежит на промежутке [1;2], то возьмём в качестве начального приближения х0=1,5. Тогда: 1.5-((1.5+ln(1.5)-2)/((1/1.5)+1) x1=x0-f(x0)/f'(x0)=1.5567209351351 x2=x1-f(x1)/f'(x1)=1.5571455763466014972 x3=x2-f(x2)/f'(x2)=1.5571455989976137633859909 Видим, что в х2 и х3 первые 6 цифр после запятой совпадают, значит требуемая точность достигнута. х=1.557146
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!