Вопрос № 95782: Уважаемые эксперты, помогите решить такое уравнение:
(1-2x)(2-2x)(3-2x)(4-2x)=3...
Вопрос № 95.782
Уважаемые эксперты, помогите решить такое уравнение:
(1-2x)(2-2x)(3-2x)(4-2x)=3
Отправлен: 20.07.2007, 12:26
Вопрос задала: Ensue (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Ensue!
Сначала сделаем левую часть уравнения симметричной относительно переменной. Для этого введём t=2.5-2x; тогда
(1-2x)(2-2x)(3-2x)(4-2x)=3 превратится в
(t+1.5)(t+0.5)(t-0.5)(t-1.5)=3.
Используя формулу разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b)), получим
(t^2-(1.5)^2)(t^2-(0.5)^2)=3
Умножим обе части уравнения на 16 (чтобы не было дробных выражений):
(4t^2-9)(4t^2-1)=48.
Получили биквадратное уравнение. Заменим: z=4t^2:
(z-9)(z-1)=48
z^2-10z+9=48
z^2-10z-39=0
Вычисляем дискриминант D=10^2-4*1*(-39)=256=16^2 и находим корни:
z1=-3, z2=13.
Теперь переходим обратно от z к t:
z=-3 => 4t^2=-3 => t^2=-3/4=3(i^2)/4 => t1=i*sqrt(3)/2, t2=-i*sqrt(3)/2; (i - мнимая единица, она равна корню из минус единицы: i=sqrt(-1))
z=13 => 4t^2=13 => t^2=13/4 => t3=sqrt(13)/2, t4=-sqrt(13)/2.
Переходим от t к x:
t=i*sqrt(3)/2 => 2.5-2x=i*sqrt(3)/2 => x1=(5-i*sqrt(3))/4;
t=-i*sqrt(3)/2 => 2.5-2x=-i*sqrt(3)/2 => x2=(5+i*sqrt(3))/4;
t=sqrt(13)/2 => 2.5-2x=sqrt(13)/2 => x3=(5-sqrt(13))/4;
t=-sqrt(13)/2 => 2.5-2x=-sqrt(13)/2 => x4=(5+sqrt(13))/4.
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: два комплексных (x1 и x2) и два вещественных (x3 и x4).
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 20.07.2007, 15:52
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Ensue!
Изначально перенесем все в левую часть, раскроем скобки и приведем подобные (думаю это не сложно потому все выкладки не привожу):
(1-2x)(2-2x)(3-2x)(4-2x)-3 = 16*x4 - 80*x3 + 140*x2 - 100*x +21
Далее сделаем предварительные преобразования:
16*x4 - 80*x3 + 140*x2 - 100*x +21 = 16*x4 - 40*x3 - 40*x3 +12*x2 + 100*x2 + 12*x2 - 70*x - 30*x + 21 =
= 4*x2(4*x2 - 10*x + 3) - 10*x(4*x2 - 10*x + 3) + 7(4*x2 - 10*x + 3) = (4*x2 - 10*x + 3)(4*x2 - 10*x + 7)
Т.е. получили такое уравнение:
(4*x2 - 10*x + 3)(4*x2 - 10*x + 7) = 0 - произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю.
Получаем:
4*x2 - 10*x + 3 = 0
или
4*x2 - 10*x + 7 = 0
Решая эти квадратные уравнения получаем корни исходного уравнения четвертой степени два из которых комплексные:
x1 = (10 + 2√13)/8
x2 = (10 - 2√13)/8
x3 = (10 + 2i√3)/8
x4 = (10 - 2i√3)/8
Good Luck!!
P.S. Конечно я признаю, что предыдущее решение более элегантно!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 20.07.2007, 18:14
