Вопрос № 94631: Пмогите пожалуйста решить задачу:
Периметр прямоугольника = 10. Найти его площадь, если его стороны есть такие, что площадь есть наибольшей. Какому промежутку принадлежит решение?
Номер 1 2 3 4 5
Ответ (7;10) (4;8) (2;6) (8;10) ...
Вопрос № 94.631
Пмогите пожалуйста решить задачу:
Периметр прямоугольника = 10. Найти его площадь, если его стороны есть такие, что площадь есть наибольшей. Какому промежутку принадлежит решение?
Номер 1 2 3 4 5
Ответ (7;10) (4;8) (2;6) (8;10) (9;14)
Отправлен: 10.07.2007, 17:29
Вопрос задал: Jubel (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Mystic
Здравствуйте, Jubel!
Насколько я понял, необходимо найти наибольшую площадь прямоугольника с периметром 10.
Из условия известно, что a + b = 5, где a и b стороны прямоугольника. Площадь равна a*b. Выводим формулу через одну из сторон: S = a * (5 - a) = 5a - a*a. Далее несколько путей (в зависимости от Ваших знаний): можно найти производную по стороне a и найти максимум, можно сказать просто, что прямоугольник с наибольшей площадью - квадрат или еще какие рассуждения. В итоге получаем ответ S = 6.25 (номер 2).
Также можно было методом исключения: 4 вариант пересекается с 1, поэтому не подходит (иначе была бы неоднозначность в выборе ответа), 5 вариант вряд ли достигнется, 1 вариант пересекается со 2 (частично) и с 4, поэтому не подходит (кроме варианта S = 8, который вряд ли подходит). Т.к. S = 2*3 = 6, то по крайней мере площадь не меньше 6. 3 вариант отбрасываем. Остается только вариант 2.
Ответ отправил: Mystic (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 10.07.2007, 18:21
Отвечает: Саприкин Сергей Михайлович
Здравствуйте, Jubel!
Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда его периметр равен 2(a+b) и равен, по условию, 10. Отсюда получаем, что a=5-b. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=ab. Подставив a=5-b, получим S=(5-b)b=5b-b^2. Исследуем полученное выражение на максимум с помощью производной: S'=5-2b. Приравняв производную к нулю, получим уравнение 5-2b=0, откуда b=2,5. Это - критическая точка. Справа от нее производная положительна, слева - отрицательна. Значит, это точка максимума. При b=2,5 площадь равна S=(5-2,5)*2,5=6,25.
Это число лежит в отрезке номер 2: (4;8).
