1. Линейное пространство – это…
2. Линейный оператор – это… (просто нигде не нашел точных определений…)
3. Пусть φ – линейный оператор - в базисе e представлен матрицей А, пусть х – собственный вектор φ, тогда почему φ(x) в е - это А*х?
Отправлен: 27.08.2006, 12:54
Вопрос задал: AirSpirit (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Иванов А.
Здравствуйте, AirSpirit!
Пространство называется линейным, если для его элементов опрелены операции сложения и умножения на число, подчиняющиеся законам линейной алгебры. Такими пространствами являются, например, множество векторов, множенство непрерывных функций и т.д.
Линейный оператор, это оператор, действующий на элементы какого-либо множества (необязательно линейного) и удовлетворяющий тем же самым правилам линейной алгебры. Например оператор диффериенцирования или интегрирования - линейные.
Последний вопрос - по определению. Именно так определяется собственный вектор оператора
Ответ отправил: Иванов А. (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 27.08.2006, 18:24 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Татьяна
Здравствуйте, AirSpirit!
Вы задаете слишком общие вопросы, для понимания, вы хотите просто услышать определения? Давайте попробуем
1. В принципе тут оно достаточно точное:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_пространство
2. Линейный оператор A - отображение из пространства X в пространство Y(A:X->Y) над полем P, удовлетворяющее условию
для любого х из Х и для любого y из Y, для любых a,b из P выполняется условие линейности:
A(ax+by)=aAx+bBy
3. Существует теорема, что любой линейный оператор можно представить в виде матрицы над определенным базисом пространств. Это делается примерно таким образом
пусть Ex1,Ex2,..Exn - базис пространства Х, а Ey1,..Eym - базис Y. Теперь подействуем на каждый элемент базиса Х оператором A
A(Exi) = yi
Получили элементы yi, теперь каждый yi разложим по базису Ey.
yi = ai1*Ey1+ai2*Ey2+aim*Eym
Таким образом, коэффициенты aij и образуют матрицу оператора
Другими словами, теперь действие оператора φ(x) эквивалентно умножению на матрицу (однако важно, что в заданном базисе). Т.е. что касается вашего вопроса, вытекает он непосредственно из теоремы, просто надо ее знать и ориентироваться.
Ответы конкретно на ваши вопросы не приблизят вас к пониманию всего материала. Читайте класику, например Куроша или Воеводина.
--------- Возможно все. И ничего возможно тоже.
Ответ отправила: Татьяна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 27.08.2006, 18:35 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо. Развернуто и понятно.
