Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Апрель 2016   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Елена Васильевна
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 485
∙ повысить рейтинг » 		Лангваген Сергей Евгеньевич
Статус: Профессор
Рейтинг: 485
∙ повысить рейтинг » 		Коцюрбенко Алексей aka Жерар
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 356
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1909
Дата выхода:12.04.2016, 15:21
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:16 / 28
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 189111: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Нужно найти проекцию заданной точки на указанное множество. В случае гиперплоскости и шара проекция строится простым образом. А когда дано произвольное множество, непонятно как поступать в этом случае...

Консультация # 189111:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Нужно найти проекцию заданной точки на указанное множество. В случае гиперплоскости и шара проекция строится простым образом. А когда дано произвольное множество, непонятно как поступать в этом случае

Дата отправки: 07.04.2016, 14:42
Вопрос задал: Посетитель - 399040 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор):

Здравствуйте, Посетитель - 399040!

Будем исходить из определения:
Проекция точки х на множество U есть точка y ∈U, такая, что расстояние ||x -y|| минимально.

Задача 50

L2(0,п) - бесконечномерное евклидово пространство функций со скалярным произведением:

u*v = ∫u(x)*v(x)dx, где интеграл берется в пределах от 0 до п (пи),

и нормой:

||u|| = √(u*u)

Данное в задаче множество U представляет собой точки шара ||u|| ≤1, расположенные не выше плоскости a*u = 1, где

a = sin(x/2).

Определяя проекции точки

b = 3*sin(x)

на сферу и на плоскость, можно убедиться, что первая проекция b1 лежит выше плоскости, а вторая b2 за пределами шара, как показано на рисунке. Обозначим y проекцию точки b на множество U и будем искать соответствующий вектор в виде линейной комбинации векторов a и b:

y = α*a + β*b. (1)

Задача двумерна, и ничем не отличается от обычной геометрической задачи, показанной на рисунке. Нетрудно убедиться, что ближайшей к b точкой множества U будет точка y, лежащая на пересечении сферы и плоскости, т.е., такая, что

||y||2 = 1, a*y = 1

(Для доказательства можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой косинусов.) Подставляя в эти формулы (1) и вычисляя интегралы, получим уравнения:

(1/2)*п*α+4*β=1, (1/2)*п*α2+(9/2)*п*β2+8*α*β=1,

которые легко решаются. Система имеет два решения. Точные выражения громоздки, приведу только приближенный численный ответ:

(α = 1.4089, β = -0.3033), (α = -0.1356, β = 0.3033)

Правильное решение второе, в этом можно убедиться, вычисляя квадрат расстояния ||b - y||2 между точками b и y, т.е. (с приближенными значениями констант):

y = -0.1356*sin(x/2) + 0.9099*sin(x).



Задача 51

Для точки x, проекцию которой требуется найти, вычислим сумму ∑xk2 по k от 2 до ∞.
Эта сумма не зависит от расстановки знаков и равна:
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = (1/4)*(1+1/4+1/16+1/64+..) = (1/4)*(1/(1-1/4)) = 1/3 < x1 = 1.
Мы видим, что точка x при любой комбинации знаков принадлежит множествам X1 и X2.
Следовательно, она совпадает со своей проекцией.

Консультировал: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Дата отправки: 11.04.2016, 06:41
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное