Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Апрель 2016   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Елена Васильевна
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 488
∙ повысить рейтинг » 		Лангваген Сергей Евгеньевич
Статус: Профессор
Рейтинг: 465
∙ повысить рейтинг » 		Коцюрбенко Алексей aka Жерар
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 315
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1903
Дата выхода:04.04.2016, 11:51
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:16 / 28
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 189033: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: В зависимости от значений параметров a и b решить систему уравнений: (Вложение) Укажите хотя бы одну пару чисел a и b , для которых заданная система имеет 4 различных решения. ...

Консультация # 189033:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
В зависимости от значений параметров a и b решить систему уравнений:
(Вложение)
Укажите хотя бы одну пару чисел a и b , для которых заданная система имеет 4 различных решения.

Дата отправки: 30.03.2016, 11:28
Вопрос задал: anton74551 (1-й класс)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор):

Здравствуйте, anton74551!

Найдем в общем виде решение системы:
x = y2 + a*y + b
y = x2 + a*x + b

Вычтем уравнения:
x - y = y2 - x2 + a*(y - x)
После очевидных преобразований:
(x - y)*(x + y + a + 1) = 0. (1)
Умножим первое из исходных уравнение на y, второе - на x:
xy = y3 + a*y2 + b*y
xy = x3 + a*x2 + b*x
Вычтем одно из другого:
x3 - y3 + a*(x2 - y2) + b*(x - y) = 0
После преобразований получим:
(x - y)*(x2 + x*y + y2 + a*(x + y) + b) = 0. (2)

Система уравнение (1), (2) равносильна исходной.
Она удовлетворяется, если
1) x = y
или
2) x + y + a + 1 = 0
x2 + x*y + y2 + a*(x + y) + b = 0.

В первом случае достаточно решить уравнениe для x:
x2 + (a - 1)*x + b = 0. (3)
В результате получим:
x1,2 = y1,2 = -(a - 1)/2 ±√((a-1)2/4 - b)

Рассмотрим второй случай. Преобразуем:
x + y = - a - 1
(x + y)2 - x*y + a*(x + y) + b = 0
Подставляем x + y из первого уравнения во второе:
(a + 1)2 - x*y - a*(a + 1) + b = 0,
x*y = a2 + 2*a + 1 - a^2 - a + b
В результате получаем систему:
x + y = -a - 1
x*y = a + b + 1
Ее решениями являются решения квадратного уравнения:
u2 + (a+1)*u + a + b + 1 = 0,
корни которого
u1,2 = -(a+1)/2 ±√((a+1)2/4 - a - b - 1) (4)

Для пар х и y получим два решения:
x1 = -(a+1)/2 + √((a+1)2/4 - a - b - 1)
y1 = -(a+1)/2 - √((a+1)2/4 - a - b - 1)

x2 = -(a+1)/2 - √((a+1)2/4 - a - b - 1)
y2 = -(a+1)/2 + √((a+1)2/4 - a - b - 1)

Количество решений исходн ой системы зависит от дискриминантов
квадратных уравнений (3), (4):
D1 = (a-1)2 - 4*b
D2 = (a+1)2 - 4*(a + b + 1),
Четыре решения получаются, когда оба дискриминанта положительны,
в частности, при a = 0, b = -2 (см. минифорум).

Надеюсь, нигде не ошибся. Но лучше внимательно проверить.

Консультировал: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Дата отправки: 31.03.2016, 08:55
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, anton74551!

Пусть дана система уравнений


Уравнение (2) при помощи тождественных преобразований можно привести к виду

где

- координаты вершины параболы, которая получается из параболы

при её параллельном переносе. Парабола имеет вертикальную ось симметрии, а её ветви направлены вверх.
Аналогично, уравнение (1) при помощи тождественных преобразований можно привести к виду

где

- коор динаты вершины параболы, которая получается из параболы

при её параллельном переносе. Парабола имеет горизонтальную ось симметрии, а её ветви направлены вправо.

Решение заданной системы уравнений можно трактовать как вычисление координат точек пересечения двух парабол. Если изобразить на координатной плоскости графики парабол (3) и (4), то можно увидеть, что параболы пересекаются в двух точках. Если же параболу (3) перенести на две единицы вниз, а параболу (4) - на две единицы влево, то параболы будут пересекаться уже в четырёх точках. Значит, примером ко второй части Вашего задания может быть система уравнений

или эквивалентная ей система

с параметрами


Что касается исследования количества решений исходной системы уравнений в зависимости от чисел то ограничусь следующим.

Запишем теперь исходную систему уравнений так:

где

После подстановки выражения для из уравнения (6) в уравнение (7) получим





Попробуйте продолжить исследование дальше самостоятельно.

С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 01.04.2016, 15:55
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное