Вопрос № 78870: Помогите решить задачу.
С какой силой на единицу площади взаимодействуют две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с одинаковой поверхностной плотностью сигма=5 мкКл/м^2....Вопрос № 78879: Добрый день уважаемые эксперты!
Помогите разрешить следующую задачу.
На краю скмьи Жуковского диаметром D=0,8 м и массой m1=6 кг стоит человек m2= 60 кг. С какой угловой скоростью W начнет вращаться скамья, если человек поймает летя...
Вопрос № 78.870
Помогите решить задачу.
С какой силой на единицу площади взаимодействуют две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с одинаковой поверхностной плотностью сигма=5 мкКл/м^2.
Отправлен: 19.03.2007, 04:16
Вопрос задал: Blackie (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Blackie!
Наверное, можно решить как-дь просто через теорему Гаусса, но я уже подзабыл все и как ее здесь применить не пойму, поэтому будем ситать интеграл по маленьким площадям ds, взяв за переменные φ, ψ так, что они будут изменяться в пределамх от -π/2 до +π/2
Заряд единицы площади: dq = σds
расстояние до этого элемента площади: r = l/cosφ*cosψ, где l — расстояние между пластинами.
выражаем дифференциал площади через dφ и dψ:
ds = [ldφ/cosφ]*[ldψ/cosψ]
Т.к. плоскости симметричны, то считаем только ортогональную составляющую силы: d2F = k[ΔQdq/r2]*(cosφ*cosψ)
d2F = k[ΔQσ[ldφ/cosφ]*[ldψ/cosψ] / (l/cosφ*cosψ)2]*(cosφ*cosψ)
d2F = kΔQσ*[cos2φdφ]*[cos2ψdψ]
Интегрируем d2F: F = kΔQσ*π2
Выразим пробный заряд на второй плоскости ΔQ через σ: ΔQ = σΔS
F/ΔS и есть искомая сила на единицу площади и она равна k(πσ)2
k — постоянная кулоновского взаимодействия.
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 19.03.2007, 11:21 Оценка за ответ: 5
Отвечает: spaar
Здравствуйте, Blackie.
Теорема Гаусса (она же Гаусса-Остроградского), о которой упомянул Кирилл Владимирович, гласит следующее.
Поток вектра электрической напряжённости через замкнутую поверхность (наружу) равен
Q / e0 [в системе СИ] или 4 ∙ pi ∙ Q [в системе СГСЭ], где Q - весь заряд, находящийся внутри этой замкнутой поверхности, e0 ("эпсилон нулевое" обычно, но у меня нет возможности писать греческие буквы) - электрическая постоянная. Этой теоремой пользуются для определения напряжённости поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Как именно - можно найти в учебнике по общей физике. Оказывается, что такая плоскость (являющаяся, конечно, абстракцией) создаёт однородное электрическое
поле (с каждой стороны от себя в отдельности, с разных сторон плоскости поля отличаются направлением вектора напряжённости (эти направления, как нетрудно понять, противоположны)). Напряжённость этого поля равна
σ / (2 ∙ e0) [СИ] или 2 ∙ pi ∙ σ [СГСЭ]
(греческую букву σ я скопировал из предыдущего ответа). Величина силы, действующей на заряд в электрическом поле, равна произведению напряжённости поля (в месте нахождения заряда, естественно) на величину заряда:
F = q ∙ E [одинаково в СИ и СГСЭ],
где F - сила, q - заряд, Е - напряжённость.
В данной задаче, в соответствии с вышеизложенным, сила взаимодействия на единицу площади равна произведению напряжённости, создаваемой одной плоскостью, и заряда единицы площади другой, т.е.
F = {σ / (2 ∙ e0)} ∙ σ = σ^2 / (2 ∙ e0) [СИ], что с точностью до множителя {pi/2} совпадает с ответом Кирилла Владимировича, если вспомнить, что k = 1 / (4 ∙ pi ∙ e0); или
F = 2 ∙ pi ∙ σ ∙ σ = 2 ∙ pi ∙ σ^2 [СГСЭ].
Ответ отправил: spaar (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 19.03.2007, 23:06 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 78.879
Добрый день уважаемые эксперты!
Помогите разрешить следующую задачу.
На краю скмьи Жуковского диаметром D=0,8 м и массой m1=6 кг стоит человек m2= 60 кг. С какой угловой скоростью W начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m= 0,5 кг? Траектория мяча - горизонтальная линия, проходит на расстоянии r=0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча V=5 м/с.
Заранее благодарю за помощь.
Отправлен: 19.03.2007, 07:01
Вопрос задал: Blohin Ole (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: spaar
Здравствуйте, Blohin Ole.
Момент инерции точечной массы относительно некоторой оси определяется так:
I = m ∙ r^2 ,
где m - масса, сосредоточенная в точке, r - расстояние от точки до оси. Эта формула применима для объёмных тел в том случае, когда расстояния от различных точек этого тела до данной оси отличаются незначительно. В этой задаче, по-моему, дело обстоит не совсем так (я человека на краю имею ввиду) или даже совсем не так. Тем не менее, насколько я понимаю, решать её следует именно в таком предположении, т.е. рассматривать человека как точечную массу, расположенную на расстоянии 0.4 м от оси.
Момент инерции скамьи (как любого круглого диска относительно собственной оси):
I = m ∙ R^2 / 2 ,
где m - масса скамьи, R - её радиус.
Момент импульса (количества движения), в отношении которого действует закон сохранения (т.е. суммарный момент импульса тел до взаимодействия равен моменту импульса этих тел после взаимодействия {в отсутствие, конечно, влияния внешних сил}; в данной задаче взаимодействуют скамья, человек и мяч), для всё той же точечной массы относительно некоторой оси
L = m ∙ V ∙ r ,
где V - скорость точечной массы, r - расстояние от оси до прямой, проведённой через точечную массу параллельно её скорости (в данной задаче такая прямая - траектория полёта мяча). Относительно применимости формулы к объёмным телам следует сделать те же замечания.
Момент количества движения какого-либо тела или системы тел, вращающихся относительно некоторой неподвижной оси c одной угловой скоростью, определяют так:
P = I ∙ w ,
где I - суммарный момент инерции системы тел, w - угловая скорость.
В данной задаче в качестве такой системы тел следует рассматривать скамью и человека, поймавшего мяч.
Сначала скамья не вращается, поэтому
P = 0.
Мяч летит со скоростью V, поэтому
L = m ∙ V ∙ r.
Суммарный момент импульса
P + L = m ∙ V ∙ r.
После того, как человек поймает мяч, момент импульса мяча L' станет равным нулю. Суммарный момент инерции скамьи и человека, поймавшего мяч,
I = m1 ∙ r^2 / 2 + (m2 + m) ∙ r^2 = (m1 / 2 + m2 + m) ∙ r^2.
В соответствии с законом сохранения импульса
P + L = P' + L' , т.е.
P' = I ∙ w = m ∙ V ∙ r ,
w = m ∙ V ∙ r / I = m ∙ V / [(m1 / 2 + m2 + m) ∙ r] .
Ответ отправил: spaar (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 20.03.2007, 13:16 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Без комментариев. Спасибо.
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Blohin Ole!
Текст вопроса: На краю скамьи Жуковского диаметром D=0,8 м и массой m1=6 кг стоит человек m2= 60 кг. С какой угловой скоростью W начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m= 0,5 кг? Траектория мяча - горизонтальная линия, проходит на расстоянии r=0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча V=5 м/с. Вопрос отправлен: 18.03.2007, 20:01.
Импульс (количество движения) мяча Iм = m*V = 0.5*5 = 2.5 кг*м/с. Векторное произведение вектора этого импульса на радиус-вектор r=0,4 м создаёт вектор углового момента A = Iм*r = 2.5*0,4 = 1.0 кг*м^2/с. Этот угловой момент передаётся системе «скамья-человек-мяч» и должен быть равен произведению момента инерции системы Js на её угловую скорость W: A = Js*W, откуда W = A/Js. Момент инерции системы Js равен сумме: а) момента инерции человека Jч, равного массе человека m2, умноженной на квадрат радиуса скамьи (человек
стоит на её краю): Jч = m2*( D/2)^2 = 60*(0.8/2)^2 = 9.6 кг*м^2; б) момента инерции скамьи Jс, равного массе скамьи, умноженной на половину квадрата радиуса скамьи (считаем, что скамья – сплошной диск – см «Моменты инерции однородных тел простейшей формы», Википедия): Jс = ½* m1*(0.8/2)^2 = 0.48 кг*м^2; в) ) момента инерции мяча, которым пренебрегаем, считая, что, поймав мяч, человек держит его вблизи оси скамьи. Таким образом, Js = Jч + Jс = 9.6 + 0.48 = 10.0
8 кг*м^2, а угловая скорость W = A/Js = 1.0/10.08 = 0.0992 рад/с.
Ответ отправил: SFResid (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 22.03.2007, 11:22
