Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Сентябрь 2011   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Орловский Дмитрий
Статус: Советник
Рейтинг: 5706
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич aka vitalkise
Статус: Профессор
Рейтинг: 5272
∙ повысить рейтинг » 		Роман Селиверстов
Статус: Советник
Рейтинг: 2868
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1499
Дата выхода:03.09.2011, 07:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:124 / 188
Вопросов / ответов:1 / 4

Консультация # 183919: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Спасибо....

Консультация # 183919:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Спасибо.

Дата отправки: 25.08.2011, 06:35
Вопрос задал: frox (Посетитель)
Всего ответов: 4
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор):

Здравствуйте, frox!

1.2

а) Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) можно записать в виде:



В данном случае для точек A(-3,-2) и B(14,4) имеем каноническое уравнение прямой



или



Отсюда 6(x+3) = 17(y+2) и уравнение прямой AB в общем виде будет



Здесь вектор a = {17, 6} является направляющим вектором прямой AB, а вектор n = {6, -17} - её нормальным вектором.

б) Высота CH перпендикулярна прямой AB, поэтому направляющий вектор прямой CH совпадает с нормальным вектором прямой AB и каноническое уравнение прямой CH, проходящей через точку C(6, 8), имеет вид



откуда -17(x-6) = 6(y-8) и уравнение высоты CH в общем виде будет



в) Медиана AM проходит через точку M, которая является серединой отрезка BC и, следовательно, имеет координаты:



Тогда каноническое уравнение медианы AM будет



или



Отсюда 8(x+3) = 13(y+2) и уравнение медианы AM в общем виде будет



г) Координаты точки пересечения двух прямых явлются решением системы, составле нной из уравнений этих прямых. В данном случае для высоты CH и медианы AM имеем систему



Её решение x = 1962/269, y = 1166/269 даёт координаты точки N.

д) У параллельных прямых направляющие вектора коллинеарны, поэтому для прямой, проходящей через точку C(6, 8) параллельно стороне AB, каноническое уравнение будет иметь вид:



откуда 6(x-6) = 17(y-8) и общее уравнение прямой будет



е) Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 определяется формулой:



В данном случае расстояние от точки C(6, 8) до прямой AB: 6x-17y-16=0 будет равно



2.1

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид:



В данном случае точка A(-5, 0) принадлежит эллипсу, поэтому a = 5. Эксцентриситет эллипса определяется формулой:



откуда



и каноническое уравнение эллипса будет



б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:



В данном случае для точек A(√80, 3) и B(4√6, 3√2) имеем:




Приравнивая левые части у равнений и домножая на a2b2, получаем

< br>
откуда 16b2 = 9a2 и b = 3a/4. Подставляя в любое из уравнений, получаем a = 8, b = 6 и каноническое уравнение гиперболы будет



в) Каноническое уравнение параболы имеет вид y2 = 2px или x2 = 2py, при этом уравнение директрисы будет соответственно x = -p/2 или y = -p/2. В данном случае d: y = 1, следовательно, p = -2 и каноническое уравнение параболы будет x2 = -4y.

4.1

а) Уравнение плоскости, проходящей через три точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3) определяется выражением



В данном случае для точек A1(9, 5, 5), A2(-3, 7, 1), A3(5, 7, 8) имеем



откуда, сокращая на 2, получаем каноническое уравнение плоскости: 7x + 26y - 8z -153 = 0. Вектор {7, 26, -8} является нормальным вектором плоскости.

б) Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) можно записать в виде:



В данном случае для точек A1(9, 5, 5) и A2(-3, 7, 1) имеем:



или



Вектор {-12, 2, -4} является направляющим вектором прямой.

в) Для прямой, перпендикулярной плоскости, её напр авляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Поэтому каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A4(6, 9, 2) перпендикулярно плоскости 7x+26y-8z-53=0, будет



г) У параллельных прямых направляющие вектора коллинеарны, поэтому для прямой A4N, проходящей через точку A4(6, 9, 2) параллельно прямой



каноническое уравнение будет отличаться только координатами точки:



е) синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором плоскостиn, который определяется по формуле для угла между векторами:



В данном случае n = {7, 2 6, -8}, a = A1A4 = {6-9, 9-5, 2-5} = {-3, 4, -3} и искомый синус угла между прямой и плоскостью равен



ж) Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. В данном случае нормальный вектор плоскости Oxy равен {0, 0, 1}, а плоскости A1A2A3 - {7, 26, -8}, поэтому искомый косинус угла равен



5.7 Расстояние от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется формулой:



В данном случае уравнение плоскости, проходящей через точки M1(4, 5, 0), M2(4, 3, 0), M3(1, 2, 9) определяется выражением



откуда, сокращая на -6, получаем каноническое уравнение плоскости: 3x+z-12=0. Расстояние от неё до точки M0(6, 1, -6) будет равно



то есть точка M0 лежит на плоскости M1M2M3.

6.1 При пересечении двух плоскостей их нормальные векторы будут перпендикулярны линии их пересечения. Поэтому в качестве направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение этих векторов. В данном случае нормальные вектора, определённые из уравнений плоскостей, равны {1, 5, -1} и {1, -1, 2}, поэтому для направляющего вектора прямой имеем:



или после сокращения на 3 - {3, -1, -2}. В качестве точки, принадлежащей прямой, можно выбрать любую точку, чьи координаты удовлетворяют уравнениям плоскостей, например - (-1, -2, 0). Тогда каноническое уравнение прямой будет



7.1 Направляющий вектор заданной прямой {5, 4, 0} является нормальным вектором любой плоскости, перпендикулярной этой прямой. Для плоскости, проходящей через точку P(3, -3, -1) перпендикулярно заданной прямой, каноническое уравнение будет 5(x-3)+4(y+3)+0(z+1)=0 или 5x+4y-3=0. Найдём точку пересечения прямой и плоскости. Для этого запишем уравнение прямой в параметрическом виде (x = 5t+6, y = 4t+3.5, z = 0.5) и подставим в уравнение плоскости:



откуда t = -1 и точка пересечения будет Q(1, -0.5, 0.5). Так как точки P и Q лежат в плоскости, то прямая PQ перпендикулярна заданной прямой, и искомая точка P' расположена на прямой PQ симметрично точке P относительно точки Q, то есть PQ = QP'. Так как PQ = {1-3, -0.5-(-3), 0.5-(-1)} = { -2, 2.5, 1.5}, то искомой точкой будет P'(1+(-2), -0.5+2.5, 0.5+1.5) = P'(-1, 2, 2).

8.1

а) Эллиптический парабалоид



б) Эллипсоид вращения



15.2 Для приведения квадратичной формы



к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования необходимо найти собственные значения λ1...λn и собственные векторы матрицы квадратичной формы A. При этом канонический вид квадратичной формы будет следующим:



а само ортогональное преобразование задаётся матрицей Q следующим образом:



где {q1j,...,qnj} - нормированный собственный вектор, соответствующий j-му собственному значению.

В данном случае для квадратичной формы f(x1, x2) = -3x12+x1x2-4x22 = -3x12+1/2x1x2-4x22+1/2x1x2 её матрица будет иметь вид:



Решая характеристическое уравнение



получаем



то есть канонический вид квадратичной формы будет следующим:



Решив систему



найдём собственные вектора X1 = {1-√ 2, 1}t и X2 = {1+√2, 1}t. Нормируя эти вектора, получаем:




то есть матрица ортогонального преобразования будет следующей:



и связь старых и новых переменных будет определяться выражением:


Консультировал: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Профессор)
Дата отправки: 25.08.2011, 08:37

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 28.08.2011, 10:41
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Alejandro (Студент):

Здравствуйте, frox!
Рассмотрим задачу №3.
ρ = 3(1+sinφ)
Решение. Поскольку sinφ периодическая функция, то достаточно
исследовать функцию при 0 ≤ φ ≤ 2п. Значения полярного угла и
соответствующие значения полярного радиуса указаны в таблице:
0,88
φ0п/6п/4п/3п/22п/33п/45п/6п7п/65п/44п/33п/25п/37п/411п/62п
ρ 34,505,125,6065,605,124,5031,500,880,4000,401,503


Отметим точки (φ,ρ) на плоскости в полярной системе координат и построим соответствующую кривую. Поскольку ρ(0) =ρ(2π) , то кривая является замкнутой. Ее вид показан на рисунке. Построенная кривая называется кардиоидой.

Консультировал: Alejandro (Студент)
Дата отправки: 25.08.2011, 09:10

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 28.08.2011, 10:41
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор):

Здравствуйте, frox!








С уважением.

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 25.08.2011, 09:25

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 28.08.2011, 10:42
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор):

Здравствуйте, frox!
10.1
Три вектора образуют базис, если они не компланарны. Составим из координат векторов v1, v2, v3 матрицу S и вычислим определитель.

Т.к. определитель матрицы отличен от нуля, то векторы v1, v2, v3 некомпланарны и образуют базис.
Для того. чтобы найти координаты вектора x в базисе векторов v1, v2, v3, необходимо разложить вектор x по этим векторам,
т.е. найти коэффициенты α, β, γ, такие, что x = α•v1 + 46;•v2 + γ•v3
Подставляя координаты соответствующих векторов, получим:

Решив систему уравнений, находим коэффициенты α, β, γ:
α = 2, β = -1, γ = 1, а тогда x = 2v1 - v2 + v3

Консультировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Дата отправки: 26.08.2011, 10:32

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 28.08.2011, 10:42
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.33 от 28.08.2011
В избранное