Консультация # 184028: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: 1 Найти область сходимости степенного ряда 2 Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка ...
Здравствуйте, lasan! Радиус сходимости степнного ряда находится по формуле R=lim|cn/cn+1| где cn=(n+1)/2n - коэффициенты степенного ряда. Вычисляя предел, находим R=lim(n+1)2n+1/[(n+2)2n]=2 Это означает, что при |x|<2 ряд сходится, а при |x|>2 ряд расходится.
Остается исследовать сходимость в точках x=±2. В этих точках модуль общего члена, равный n+1 , не стремится к нулю. Не выполнено необходимое
условие сходимости и ряд расходится.
Ответ: область сходимости - интервал (-2;2)
Консультировал: Орловский Дмитрий (Советник)
Дата отправки: 15.09.2011, 15:56
Рассмотрим первое задание. Здесь an = (n + 1)/2n, an + 1 = (n + 2)/2n + 1. Найдём радиус сходимости ряда: при n → ∞ |an/an + 1| = (n + 1)/2n : (n + 2)/2n + 1 = 2(n + 1)/(n + 2) = (2n + 2)/(n + 2) = (2 + 2/n)/(1 + 2/n) → 2, поэтому радиус сходимости ряда R = 2, и ряд сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству -2 < x < 2.
Исследуем сходимость
ряда на концах промежутка. Если x = 2, то получаем ряд 1 + 2 + 3 + ..., который, очевидно, расходится ввиду монотонного возрастания его членов. При x = -2 получаем знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ..., абсолютные величины членов которого монотонно возрастают; поэтому он расходится.
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!