Вопрос № 43774: Задача:
В сосуде формы симм. капсулы(цилиндр и два шаровых сегмента,радиусы у цилиндра и сегментов м.б. отличны, оба радиуса известны) налита вода, высоты h, найти объем жидкости.
В цилиндре найти этот объем труда не составляет, а вот в сег...Вопрос № 43822: Задача 1. Доказать, что lima(n)=a n=>бесконечность (указать N(e)).
a(n)=(4+2n)/(1-3n); a=-2/3...Вопрос № 43825: Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
lim n=>бесконечность ((2n-3)^3-(n+5)^3)/((3n-1)^3+(2n+3)^3)
...Вопрос № 43841: lim n=>бесконечность ((((n^3)-7)^1/3)+(((n^2)+4)^1/3))/(((n^5)+5)^1/4)+(n^1/2))...Вопрос № 43842: Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
lim n=>бесконечность ((n*(n^5+9))^1/2)-(((n^4-1)(n^2+5))^1/2))/n...
Вопрос № 43.774
Задача:
В сосуде формы симм. капсулы(цилиндр и два шаровых сегмента,радиусы у цилиндра и сегментов м.б. отличны, оба радиуса известны) налита вода, высоты h, найти объем жидкости.
В цилиндре найти этот объем труда не составляет, а вот в сегменте...
Раньше решал эту задачу и пришел к некоторому решению, коим был удовлетворен. Сейчас: почему формула зависит только от 2 перменных?! Может ли такое быть? Ф-ла в приложении.
Приложение:
Отправлен: 21.05.2006, 19:54
Вопрос задал: Дмитрий Т. (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)
Отвечает: Полховский Александр Владимирович
Здравствуйте, Дмитрий Т.!
А отчего ему ещё зависеть ? Зная радиус и высоту можно точно воспроизвести сегмент, а значит и узнать все его параметры.
Только что-то у Вас мудрёная формула... вот из справочника: V=1/6*пh(3a²+h²)=1/3*пh²(3r-h). где
h - высота сегмента;
r - радиус шара;
a - радиус плоского сечения; --------- Спасём нашу хрупкую планету !
Ответ отправил: Полховский Александр Владимирович (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 21.05.2006, 21:27 Оценка за ответ: 3 Комментарий оценки: Возможно, но, простите, вы не поняли цель, мне необходимо найти объем воды, которая находится в сегменте, получится нечто вроде фигуры, которая является пересечением двух сегментов.
Вопрос № 43.822
Задача 1. Доказать, что lima(n)=a n=>бесконечность (указать N(e)).
a(n)=(4+2n)/(1-3n); a=-2/3
Отправлен: 22.05.2006, 10:31
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Дмитрий Т.
Здравствуйте, Mr Jackal!
Вообще это простейший случай, необходимо всего лишь поделить и числитель и знаменатель на n, в числителе и знаменателе получится по две дроби. Рассматриваете ваш предел как отношение двух выражений:
lim (4/n)+lim(2n/n) и
lim(1/n)+lim(-3n/n). Все пределы рассматриваются при n стремящемся к бесконечности.
Т.к. константа делить на бесконеченость есть ноль, а 2n/n = 2, и (-3n)/n=-3, то lim a(n)=- 2/3.
Ответ отправил: Дмитрий Т. (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 22.05.2006, 10:49
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Mr Jackal!
Предыдущий ответ верен, вот еще один способ решения:
Используем правило Лопиталя.
n-> к бесконечности.
lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x)), то есть граница отношения функций f(x) и g(x) равна границе отношению их производных.
Для вашего примера:
f(x)=4+2n, f'(x)=2
g(x)=1-3n, g'(x)=-3
lim((4+2n)/(1-3n))=lim(2/(-3))=-2/3
Следовательно Ваша граница равна 2/-3=-2/3 что и требовалось доказать.
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 22.05.2006, 11:16 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Ayl
Здравствуйте, Mr Jackal!
Вот самый простой способ, основанный на определении предела.
Число A называется пределом последовательности {a(n)}, если для любого e>0 существует N такое, что для любого n>N |A-a(n)|<e.
Т.к. -11/9e < 0 < 17/9e, то в качестве выражения для N возьмем [17/9e]+1
Тогда для любого n>N |A-a(n)| будет меньше e, то есть A=-2/3 есть предел данной последовательности.
--------- Трудное - то, что можно сделать немедленно. Невозможное - то, для выполнения чего требуется немного больше времени
Ответ отправил: Ayl (статус: Академик) Россия, Санкт-Петербург ICQ: 5163321 ---- Ответ отправлен: 22.05.2006, 14:21
Вопрос № 43.825
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
lim n=>бесконечность ((2n-3)^3-(n+5)^3)/((3n-1)^3+(2n+3)^3)
Отправлен: 22.05.2006, 10:46
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Mr Jackal!
Раскроем скобки и получим:
(8n^3 - n^3 + f(n))/(27n^3 - 8n^3 + g(n)), где f(n) и g(n) - какие-то многочлены не более, чем 2-ой степени. Просто лень вычислять коэффициенты
при n^2, n и свободный член, поэтому мы поступим рационально =)
lim[n->inf]((7 + f(n)/n^3) / (19 + g(n)/n^3)) = lim[n->inf](7 + f(n)/n^3) / lim[n->inf](19 + g(n)/n^3) = (7 + 0) / (19 + 0) = 7/19
т.к. предел любого многочлена от n, степени не более чем 2, деленного на n^3 равен 0, при n, стремящимся
к бесконечности. Действительно, lim[n->inf]((an^2 + bn + c) / n^3) = lim[n->inf](a/n) + lim[n->inf](b/n^2) + lim[n->inf](c/n^3) = 0 + 0 + 0 = 0.
Насколько я понял Вам просто нужно вычислить границу данного отношения:
Соответсвенно начнем с того, что раскроем скобки в числителе и знаминателе, я думаю с этим вы справитесь сомостоятельно после применения формул "куб суммы и куб разности", далее приводим подобные и получаем:
lim n=>oo ((7n^3-51n^2-21n-152)/(35n^3+9n^2+63n+26)) делим числительи знаменатель на высшую степень n, так как при n=>oo все получившиеся дроби при делении меньшей степени на большую стремятся к нулю, то получаем что
Обращаю Ваше внимание что ОТВЕТ ОТЛИЧАЕТСЯОТ ПРЕДЫДУЩЕГО!!!
Да чуть не забыл для проверки вообще вычислений математического анализа и не только советую использовать MathCad только он не показывает промежуточные значения и выкладки!!!
Данный пример я провел и ответ сходиться.
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 22.05.2006, 11:42 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Калимуллин Дамир Рустамович
Здравствуйте, Mr Jackal!
Предыдущие эксперты что-то мудрят. Вот более компактное решение. А так все правильно они рассуждают.
Снчала поделим все выражение высшую степень n, т.е. на n^3; для облегчения примера ввожу t=n^3
((2-3/t)^3-(1-5/t)^3)/((3-1/t)^3+(2+3/t)^3); так как n-> бесконечности, то 3/t и другие числа стремятся к нулю следовательно
(2^3-1^3)/(3^3+2^3)=7/35=1/5
Вот и все решение.
Ответ граница равна НУЛЮ.
Ответ проверен в MathCad.
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 23.05.2006, 10:21 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 43.842
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
lim n=>бесконечность ((n*(n^5+9))^1/2)-(((n^4-1)(n^2+5))^1/2))/n
Отправлен: 22.05.2006, 12:41
Вопрос задал: Mr Jackal (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Mr Jackal!
Обозначим искомую границу через A, oбозначим через
f(x)=((n*(n^5+9))^(1/2)-((n^4-1)*(n^2+5))^(1/2))/n
Сделаем преобразования:
f(x)={избавимся от иррациональности в числители, умножим числитель
и знаменатель на сопряженное к числителю ((n*(n^5+9))^(1/2)+((n^4-1)*(n^2+5))^(1/2))
и приведем подобные }=
=(-5*n^4+n^2+9*n+5)/n*((n*(n^5+9))^(1/2)+((n^4-1)*(n^2+5))^(1/2))
Обозначим через w(x) - числитель, v(x) - знаменатель.
w(x)=-5*n^4+n^2+9*n+5;
v(x)=n*((n*(n^5+9))^(1/2)+((n^4-1)*(n^2+5))^(1/2))
Преобразуем v(x), раскроем скобки и т.п.:
v(x)=n*((n^6+9*n)^(1/2)+(n^6+5*n^4-n^2-5)^(1/2))=
=n*((n^6*(1+9/n^5))^(1/2)+(n^6*(1+5/n^2-1/n^4-5/n^6))^(1/2))=
={вынисем n^6 из под знака корня}=
=n*n^3*((1+9/n^5)^(1/2)+(1+5/n^2-1/n^4-5/n^6)^(1/2))=
=n^4*((1+9/n^5)^(1/2)+(1+5/n^2-1/n^4-5/n^6)^(1/2))
Разделим w(x) и v(x) на n^4 соответственно, получаем:
w(x)=-5*n^4+n^2+9*n+5=-5+1/n^2+9/n^3+5/n^4
v(x)=n^4*((1+9/n^5)^(1/2)+(1+5/n^2-1/n^4-5/n^6)^(1/2))=(1+9/n^5)^(1/2)+(1+5/n^2-1/n^4-5/n^6)^(1/2)
Из существующей теоремы: Предел частного A=lim(w(x)/v(x)) равен частному
пределов lim(w(x))/lim(v(x)), тогда рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
Cледоватьльно A=lim(f(x))=lim(w(x)/v(x))=lim(w(x))/lim(v(x))=-5/2
Ответ проверен в MathCad.
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаються события на земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 23.05.2006, 10:18
