Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 760 RSS
←   Август 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

760 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1276
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1155
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 917
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 980 от 01.08.2009, 07:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 134
В номере: вопросов - 3, ответов - 4

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170801: Найти оригинал по данному изображению: (p+4)/(p2+4p+5)....

Вопрос № 170802: Операционным методом решить задачу Коши. y''+2y'=sin(t/2), y(0)=-2, y'(0)=4....
Вопрос № 170811: Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений,где х(0)=-1,y(0)=0: система x=2x+3y+1 y=4x-2y....
Вопрос № 170801:

Найти оригинал по данному изображению:
(p+4)/(p2+4p+5).

Отправлен: 26.07.2009, 07:53
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Alik4546.

Преобразуем данную дробь:
F(p) = (p + 4)/(p2 + 4p + 5) = [(p - (-2)) + 2]/[(p – (-2))2 + 1] = (p – (-2))/[(p – (-2))2 + 1] + 2 ∙ 1/[(p – (-2))2 + 1].

Согласно таблице изображений и свойству смещения, изображению (p – (-2))/[(p – (-2))2 + 1] соответствует оригинал e-2tcos t. Изображению
1/[(p – (-2))2 + 1] соответствует оригинал e-2tsin t. Поэтому с учетом свойства линейности искомым оригиналом будет
f(t) = e-2tcos t + 2e-2tsin t.

Ответ: f(t) = e-2tcos t + 2e-2tsin t.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 26.07.2009, 08:36

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252629 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170802:

    Операционным методом решить задачу Коши.
    y''+2y'=sin(t/2),
    y(0)=-2, y'(0)=4.

    Отправлен: 26.07.2009, 08:52
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Пусть y(t) → Y(p). Тогда по правилу дифференцирования оригинала
    y’(t) → pY(p) – y(0) = pY(p) + 2, y”(t) → p2Y(p) – py(0) – y’(0) = p2Y(p) + 2p – 4.
    Изображением функции sin t/2 является
    (1/2)/[p2 + (1/2)2] = 1/2 ∙ 1/(p2 + 1/4) = 2/(4p2 + 1).

    Переходим к операторному уравнению и решаем его:
    p2Y + 2p – 4 + 2(pY + 2) = 2/(4p2 + 1),
    p2Y + 2pY + 2p = 2/(4p2 + 1),
    Y[p(p + 2)] = 2/(4p2 + 1) – 2p,
    Y = 2{1/[p(p + 2)(4p2 + 1)]} – 2/(p + 2)}= 1/2 ∙ {1/[p(p + 2)(p2 + 1/4)]} – 2/(p + 2).

    Находим оригинал решения по известному изображению. Так как
    1/[p(p + 2)(p2 + 1/4)] = A/p + B/(p + 2) + (Cp + D)/(p2 + 1/4) =
    = [A(p + 2)(p2 + 1/4) + Bp(p2 + 1/4) + (Cp + D)p(p + 2)]/[p(p + 2)(p2 + 1/4)],
    A(p + 2)(p2 + 1/4) + Bp(p2 + 1/4) + (Cp + D)p(p + 2) = 1,
    A(p3 + 2p2 + p/4 + 1/2) + B(p3 + p/4) + C(p3 + 2p2) + D(p2 + 2p) = 1,
    A/2 = 1, (1)
    A/4 + B/4 + 2D = 0, (2)
    2A + 2C + D = 0, (3)
    A + B + C = 0, (4)
    расширенная матрица системы уравнений (1) – (4) для определения коэффициентов A, B, C, D имеет вид
    ||1/2 0 0 0 | 1||
    ||1/4 1/4 0 2 | 0||
    ||2 0 2 1 | 0||
    ||1 1 1 0 | 0||.
    Используя для решения этой системы уравнений метод Гаусса, получим
    ||1/2 0 0 0 | 1||
    ||1/4 1/4 0 2 | 0|| ~
    ||2 0 2 1 | 0||
    ||1 1 1 0 | 0||

    ||1 0 0 0 | 2||
    ||1 1 0 8 | 0|| ~
    ||2 0 2 1 | 0||
    ||1 1 1 0 | 0||

    ||1 0 0 0 | 2||
    ||0 1 0 8 | -2|| ~
    ||0 0 2 1 | -4||
    ||0 1 1 0 | -2||

    ||1 0 0 0 | 2||
    ||0 1 0 8 | -2|| ~
    ||0 0 2 1 | -4||
    ||0 0 1 -8 | 0||

    ||1 0 0 0 | 2||
    ||0 1 0 8 | -2|| ~
    ||0 0 2 1 | -4||
    ||0 0 0 -17/2 | 2||

    то есть
    -(17/2)D = 2, D = -4/17,
    2C + D = -4, 2C - 4/17 = -4, 2C = -4 + 4/17 = (-68 + 4)/17 = -64/17, C = -32/17,
    B + 8D = -2, B - 32/17 = -2, B = -2 + 32/17 = (-34 + 32)/17 = -2/17,
    A = 2,

    (проверка:
    A + B + C = 2 – 2/17 – 32/17 = (34 – 2 – 32)/17 = 0 (как и должно быть),
    2A + C + D = 4 – 64/17 – 4/17 = (68 – 64 – 4)/17 = 0 (как и должно быть),
    A/4 + B/4 + 2D = 1/2 – 2/68 – 8/17 = (34 – 2 – 32)/68 = 0 (как и должно быть))

    1/[p(p + 2)(p2 + 1/4)] = 2 ∙ 1/p – 2/17 ∙ 1/(p + 2) – 32/17 ∙ p/(p2 + 1/4) - 4/17 ∙ 1/(p2 + 1/4),

    Y = 1/2 ∙ {1/[p(p + 2)(p2 + 1/4)]} – 2/(p + 2) =
    = 1/p – 1/17 ∙ 1/(p + 2) – 16/17 ∙ p/(p2 + 1/4) - 4/17 ∙ (1/2)/(p2 + 1/4) – 34/17 ∙ 1/(p + 2) =
    = 1/p – 35/17 ∙ 1/(p + 2) – 16/17 ∙ p/(p2 + 1/4) - 4/17 ∙ (1/2)/(p2 + 1/4)←
    ← 1 – 35/1 7 ∙ e-2t – 16/17 ∙ cos t/2 - 4/17 ∙ sin t/2.

    Выполняем проверку:
    y = 1 – 35/17 ∙ e-2t – 16/17 ∙ cos t/2 - 4/17 ∙ sin t/2,
    y(0) = 1 – 35/17 – 16/17 = (17 – 35 – 16)/17 = -34/17 = -2 (как и должно быть),
    y’ = 70/17 ∙ e-2t + 8/17 ∙ sin t/2 - 2/17 ∙ cos t/2,
    y’(0) = 70/17 - 2/17 = 68/17 = 4 (как и должно быть).

    Ответ: y = 1 – 35/17 ∙ e-2t – 16/17 ∙ cos t/2 - 4/17 ∙ sin t/2.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 26.07.2009, 11:21

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252635 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170811:

    Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений,где х(0)=-1,y(0)=0:
    система
    x=2x+3y+1
    y=4x-2y.

    Отправлен: 26.07.2009, 14:33
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    1. Система диф. уравнений имеет вид:

    x' = 2x + 3y + 1
    y' = 4x - 2y.

    х(0) = -1 , y(0) = 0

    2. Пусть функция x(t) имеет изображение X(p), а y(t) имеет изображение Y(p)

    По теореме дифференцирования оригинала:

    x' -> pX(p) - x(0) = pX(p) + 1
    y' -> pY(p) - y(0) = pY(p)

    Также:

    2x + 3y + 1 -> 2X(p) + 3Y(p) + (1/p)
    4x - 2y -> 4X(p) - 2Y(p)

    Поэтому система диф. уравнений в изображениях имеет вид:

    pX(p) + 1 = 2X(p) + 3Y(p) + (1/p)
    pY(p) = 4X(p) - 2Y(p)

    Или:

    (2-p)*X(p) + 3Y(p) = 1 - (1/p)
    4X(p) - (p+2)*Y(p) = 0

    3. Из второго уравнения:

    X(p) = ((p+2)/4)*Y(p)

    Подставляем в первое уравнение:

    (2-p)*((p+2)/4)*Y(p) + 3Y(p) = (p-1)/p

    ((4-p2)/4)*Y(p) + 3Y(p) = (p-1)/p

    ((16-p2)/4)*Y(p) = (p-1)/p

    Y(p) = [4*(p-1)] / [p*(16-p2)] = [4 - 4p] / [p*(p2 - 16)]
    X(p) = ((p+2)/4)*Y(p) = [(1 - p)*(p + 2)] / [p*(p2 - 16)] = [2 - p - p2] / [p*(p2 - 16)]

    4. Определяем функцию x(t)

    Раскладываем дробь [2 - p - p2] / [p*(p2 - 16)] на простые:

    X(p) = [2 - p - p2] / [p*(p2 - 16)] = (A/p) + ([Bp+C] / [p2 - 16])

    2 - p - p2 = A*(p2 - 16) + (Bp + C)*p = A*p2 - 16*A + Bp + C*p

    A + B = - 1
    C = -1
    -16*A = 2

    ⇒ A = -1/8, B = -7/8, C = -1

    ⇒ X(p) = - (1/8)*(1/p) - (7/8)*(p / [p2 - 16]) - (1 / [p2 - 16]) = - (1/8)*(1/p) - (7/8)*(p / [p2 - 16]) - (1/4)*(4 / [p2 - 16]) ->

    -> - (1/8) - (7/8)*ch(4*t) - (1/4)*sh(4*t)

    5. Определяем функцию y(t)

    Раскладываем дробь [4 - 4p] / [p*(p2 - 16)] на простые:

    Y(p) = [4 - 4p] / [p*(p2 - 16)] = (A/p) + ([Bp+C] / [p2< /sup> - 16])

    4 - 4p = A*(p2 - 16) + (Bp + C)*p = A*p2 - 16*A + Bp + C*p

    A + B = 0
    C = -4
    -16*A = 4

    ⇒ A = -1/4, B = 1/4, C = -4

    ⇒ Y(p) = - (1/4)*(1/p) + (1/4)*(p / [p2 - 16]) - (4 / [p2 - 16]) = - (1/4)*(1/p) + (1/4)*(p / [p2 - 16]) - (4 / [p2 - 16]) ->

    -> - (1/4) + (1/4)*ch(4*t) - sh(4*t)


    Итак:

    x(t) = - (1/8) - (7/8)*ch(4*t) - (1/4)*sh(4*t)

    y(t) = - (1/4) + (1/4)*ch(4*t) - sh(4*t)

    6. Проверка

    x'(t) = - (7/2)*sh(4*t) - ch(4*t)
    y'(t) = sh(4*t) - 4*ch(4*t)

    2x + 3y + 1 = - (1/4) - (7/4)*ch(4*t) - (1/2)*sh(4*t) - (3/4) + (3/4)*ch(4*t) - 3*sh(4*t) + 1 = - (7/2)*sh(4*t) - ch(4*t) = x'(t)

    4x - 2y = - (1/2) - (7/2)*ch(4*t) - sh(4*t) + (1/2) - (1/2)*ch(4*t) + 2*sh(4*t) = sh(4*t) - 4*ch(4*t) = y'(t)



    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 27.07.2009, 14:08

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252667 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Ничего не могу сказать против предшествующего решения. Но вот, например, в какой форме решение можно получить еще.

    Пусть x(t) → X(p), y(t) → Y(p), то есть изображением оригинала x(t) является X(p), изображением оригинала y(t) является Y(p). При этом 1 → 1/p. Тогда при x(0) = -1 x’→ pX + 1, при y(0) = 0 y’ → pY, и система операторных уравнений принимает следующий вид:
    pX + 1 = 2X + 3Y + 1/p,
    pY = 4X – 2Y,
    или
    (2 – p)X + 3Y = (p – 1)/p,
    4X – (2 + p)Y = 0.

    Определитель системы ∆ = -(2 – p)(2 + p) – 4 ∙ 3 = -4 + p2 – 12 = p2 – 16 = (p – 4)(p + 4) ≠ 0.
    Решая эту систему, например, способом Крамера, находим
    ∆1 = -(p + 2)(p – 1)/p,
    ∆2 = -4(p – 1)/p,
    X = ∆1/∆ = -(p + 2)(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)],
    Y = ∆2/∆ = -4(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)].

    Выполним проверку во из бежание ошибок в выкладках:

    4X – 2Y = -4(p + 2)(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] + 8(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] =
    = (p – 1)[-4(p + 2) + 8]/[p(p – 4)(p + 4)] = -4p(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] = pY (как и должно быть),

    2X + 3Y + 1/p = -2(p + 2)(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] - 12(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] + 1/p =
    = [-2(p + 2)(p – 1) - 12(p – 1) + (p – 4)(p + 4)]/[p(p – 4)(p + 4)] =
    = [-2p2 - 2p + 4 – 12p + 12 + p2 – 16]/[p(p – 4)(p + 4)] = (-p2 – 14p)/[p(p – 4)(p + 4)],
    pX + 1 = -p(p + 2)(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] + 1 = [-p(p + 2)(p – 1) + p(p – 4)(p + 4)]/[p(p – 4)(p + 4)] =
    = [-p3 – p2 + 2p + p3 – 16p]/[p(p – 4)(p + 4)],
    то есть pX + 1 = 2X + 3Y + 1/p (как и должно быть).

    Находим оригиналы по известным изображениям:

    X = -(p + 2)(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] = A/p + B/(p – 4) + C/(p + 4) =
    = [A(p – 4)(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp(p – 4)]/[p(p – 4)(p + 4)],
    A(p – 4)(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp( p – 4) = -(p + 2)(p – 1),
    при p = 0 получаем
    -16A = 2, A = -1/8,
    при p = 4 получаем
    32B = -18, B = -9/16,
    при p = -4 получаем
    32C = -10, C = -5/16.
    Следовательно,
    X = -1/8 ∙ 1/p – 9/16 ∙ 1/(p – 4) – 5/16 ∙ 1/(p + 4) ← x(t) = -1/8 – 9/16 ∙ e4t – 5/16 ∙ e-4t.

    Y = -4(p – 1)/[p(p – 4)(p + 4)] = A/p + B/(p – 4) + C/(p + 4) =
    = [A(p – 4)(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp(p – 4)]/[p(p – 4)(p + 4)],
    A(p – 4)(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp(p – 4) = -4(p – 1),
    при p = 0 получаем
    -16A = 4, A = -1/4,
    при p = 4 получаем
    32B = -12, B = -3/8,
    при p = -4 получаем
    32C = 20, C = 5/8.
    Следовательно,
    Y = -1/4 ∙ 1/p – 3/8 ∙ 1/(p – 4) + 5/8 ∙ 1/(p + 4) ← y(t) = -1/4 – 3/8 ∙ e4t + 5/8 ∙ e-4t.

    Проверка:

    x = -1/8 – 9/16 ∙ e4t – 5/16 ∙ e-4t,
    x(0) = -1/8 – 9/16 – 5/16 = (-2 – 9 – 5)/16 = -1 (как и должно быть),

    y = -1/4 – 3/8 ∙ e4t + 5/8 ∙ e- 4t,
    y(0) = -1/4 – 3/8 + 5/8 = (-2 – 3 + 5)/8 = 0 (как и должно быть),

    x’ = -9/4 ∙ e4t + 5/4 ∙ e-4t,
    2x + 3y + 1 = 2(-1/8 – 9/16 ∙ e4t – 5/16 ∙ e-4t) + 3(-1/4 – 3/8 ∙ e4t + 5/8 ∙ e-4t) + 1 =
    = -1/4 – 9/8 ∙ e4t – 5/8 ∙ e-4t – 3/4 – 9/8 ∙ e4t + 15/8 ∙ e-4t + 1 = -9/4 ∙ e4t + 5/4 ∙ e-4t = x’ (как и должно быть),

    y’ = -3/2 ∙ e4t – 5/2 ∙ e-4t,
    4x – 2y = 4(-1/8 – 9/16 ∙ e4t – 5/16 ∙ e-4t) – 2(-1/4 – 3/8 ∙ e4t + 5/8 ∙ e-4t) =
    = -1/2 – 9/4 ∙ e4t – 5/4 ∙ e-4t + 1/2 + 3/4 ∙ e4t – 5/4 ∙ e-4t = -3/2 ∙ e4t – 5/2 ∙ e-4t = y’ (как и должно быть).

    Ответ: x = -1/8 – 9/16 ∙ e4t – 5/16 ∙ e-4t, y = -1/4 – 3/8 ∙ e4t + 5/8 ∙ e-4t.

    С уважени ем.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 27.07.2009, 15:01

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252671 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное