Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Август 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1276
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1155
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 916
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 981 от 02.08.2009, 07:35
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 134
В номере: вопросов - 2, ответов - 3

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170842: Операционным методом решить интегральное уравнение: 20∫tcos(t-ɳ)y(ɳ)dɳ=y(t)-sint....

Вопрос № 170848: С помощью формулы Дюамеля решить дифференциальное уравнение,удовлетворяющее данным начальным условиям: y(0)=0, y'(0)=0 y''-2y'=et/cht....
Вопрос № 170842:

Операционным методом решить интегральное уравнение:
20∫tcos(t-ɳ)y(ɳ)dɳ=y(t)-sint.

Отправлен: 27.07.2009, 17:31
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Kom906, 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

20∫tcos(t-ɳ)y(ɳ)dɳ = y(t) - sint.

Пусть функция y(t) отображается в Y(p).

Также:

cos(t) -> p/(p2 + 1), sin(t) -> 1/(p2 + 1)

Интеграл 0∫tcos(t-ɳ)y(ɳ)dɳ является сверткой функций y(t) и cos(t). Согласно теореме умножения изображений, получим:

0∫tcos(t-ɳ)y(ɳ)dɳ -> [p/(p2 + 1)] ∙ Y(p)

Тогда интегральное уравнение в изображениях имеет вид:

2 ∙ [p/(p2 + 1)] ∙ Y(p) = Y(p) - 1/(p2 + 1)

Получим выражение для Y(p):

Y(p) ∙ {2 ∙ [p/(p2 + 1)] - 1} = - 1/(p2 + 1)

Y(p) ∙ [2p - p2 - 1] / [p2 + 1] = - 1/(p2 + 1)

Y(p) = - 1 /[2p - p2 - 1] = 1 /[ p2 - 2p + 1] = 1 / (p-1)2
Тогда искомая функция y(t):

y(t) -> Y(p) = 1 / (p-1)2 = 1 / (p-1)1+1 -> t1 ∙ e1∙t[ / 1! = t ∙ et[

Ответ: y(t) = t ∙ et[

Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Ответ отправлен: 27.07.2009, 18:23

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252677 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170848:

    С помощью формулы Дюамеля решить дифференциальное уравнение,удовлетворяющее данным начальным условиям: y(0)=0, y'(0)=0
    y''-2y'=et/cht.

    Отправлен: 27.07.2009, 20:43
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    y'' - 2y' = et/ch(t).

    1. Понижаем степень диф. уравнения

    Пусть y'(t) = g(t). Тогда решаем следующее диф. уравнение:

    g'(t) - 2g(t) = et/ch(t) , g(0) = y'(0) = 0

    2. Находим сначала решение диф. уравнения:

    w'(t) - 2w(t) = 1 , w(0) = 0

    Пусть функция w(t) отображается в W(p). Тогда по теореме дифференцирования оригинала:

    w'(t) -> pW(p) - w(0) = pW(p)

    Также 1 -> 1/p

    Тогда диф. уравнение в изображениях имеет вид:

    p*W(p) - 2*W(p) = 1/p

    Тогда:

    (p-2)*W(p) = 1/p

    W(p) = 1 / [p*(p-2)] = (1/2) * 2 / [p*(p-2)] = (1/2) * [p + (2 - p)] / [p*(p-2)] = (1/2)*{1/(p-2)} + (1/2)*{[2 - p] / [p*(p-2)]} = (1/2)*{1/(p-2)} - (1/2)*{1/p}

    Значит:

    w(t) -> W(p) = (1/2)*{1/(p-2)} - (1/2)*{1/p} -> (1/2)*e2t - (1/2)*1 = (1/2) * {e2t - 1}

    То есть решение диф. уравнения

    w& #39;(t) - 2w(t) = 1 , w(0) = 0

    имеет вид:

    w(t) = (1/2) * {e2t - 1}

    3. Используя формулы Дюамеля, находим решение исходного диф. уравнения:

    Так как диф. уравнение имеет вид:

    g' - 2g = et/ch(t),

    то f(t) = et/ch(t)

    Тогда формула Дюамеля примет вид:

    g(t) = d/dt {∫0t f(s)w(t - s) ds} = d/dt {∫0t f(t - s)w(s) d[s]}

    То есть решение исходного уравнения - это производная от свертки функций f(t) и w(t)

    ***Здесь запись d/dt {.....} означает производную от {....}******

    Вычисляем по первой (левой) формуле

    Так как w(t) = (1/2) * {e2t - 1}

    то w(t - s) = (1/2) * {e2(t-s) - 1} = (1/2) * {e2t*e-2s - 1}

    Тогда:

    f(s)w(t - s) = [es/ch(s)] * (1/2) * {e2t*e-2s - 1} =

    = (1/2)*e2t*[e-s/ch(s)] - (1/2)*[ es/ch(s)] =

    = (1/2)*e2t*[2*e-s / (es + e-s)] - (1/2)*[2*es / (es + e-s)] =

    = e2t*[e-s / (es + e-s)] - [es / (es + e-s)]

    Разбиваем интеграл на два интеграла:

    ∫0t f(s)w(t - s) ds =

    = {(1/2)*e2t*∫0t [e-s/ch(s)] ds} - {(1/2)*∫0t [es/ch(s)] ds} =

    = {e2t*∫0t [e-s / (es + e-s)] ds} - {∫0t [e2s / (e2s + 1)] ds} =

    4. Решаем первый интеграл:

    ∫0t [e-s / (es + e-s)] ds =

    = / m = es , dm = (es)'*ds = es*ds = m*ds , ds = (dm)/m , при s=0 m=1 , при s=t m=et=e^t / =

    = ∫1e^t [(1/m) / (m + (1/m))] * (dm)/m = ∫1e^t [1 / (m(m2 + 1))] * dm =

    = / 1/(m(m2 + 1)) = (1/m) - (m/(m2 + 1)) / =

    = ∫1e^t [(1/m) - (m/(m2 + 1))] * dm = (ln(m) - (1/2)*ln(m2 + 1)) | 1e^t = (1/2)*ln[m2/(m2 + 1)] | 1e^t =

    = (1/2)*ln[e2t/(e2t + 1)] - (1/2)*ln[1/2] = t - (1/2)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)

    5. Решаем второй интеграл:

    ∫0t [e2s / (e2s + 1)] ds =

    = / d(e2s + 1) = (e2s + 1)'*ds = 2*e2s*ds / =

    = ∫0t (1/2)*[1 / (e2s + 1)]*d(e2s + 1) = (1/2)*ln(e2s + 1) | 0t =
    < br>= (1/2) * { ln(e2t + 1) - ln(2)}

    6. Тогда:

    ∫0t f(s)w(t - s) ds = e2t * {t - (1/2)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)} - (1/2) * { ln(e2t + 1) - ln(2)} =

    = t*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)*e2t - (1/2)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)


    ⇒ g(t) = d/dt {∫0t f(s)w(t - s) ds} = d/dt {t*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)*e2t - (1/2)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)} =

    = e2t + 2*t*e2t - e2t*ln(e2t + 1) - (1/2)*e2t*{2*e2t/(e2t + 1)} + (1/2)*ln(2)*2*e2t - (1/2)*{2*e2t/(e2t + 1)} =

    = e2t + 2*t*e2t - e2t*ln(e2t + 1) - {e4t/(e2t + 1)} + ln(2)*e2t - {e2t/(e2t + 1)} =

    = / e4t/(e2t + 1)} - e2t/(e2t + 1) = - e2t*(e2t + 1) / (e2t + 1) = - e2t / =

    = 2*t*e2t + e2t*ln(2) - e2t*ln(e2t + 1)

    То есть:

    g(t) = 2*t*e2t + e2t*ln(2) - e2t*ln(e2t + 1)

    - решение диф. уравнения относительно функции g(t)

    7. Получим решение исходного диф. уравнения

    Так как y'(t) = g(t), тогда:

    y(t) = ∫ g(t)dt = ∫ {2*t*e2t + e2t*ln(2) - e2t*ln(e2t + 1) } * dt =

    = {2*∫t*e2t*dt} + {ln(2)*∫e2t*dt} - {∫e2t*ln(e2t + 1)*dt}

    = / u = t, du = (t)'*dt = 1*dt = dt, dv = e2t*dt, v = ∫ e2t*dt = (1/2)*e2t / =

    = / u = ln(e2t + 1), du = [ln(e2t + 1)]'*dt = [2*e2t*dt] / [e2t + 1], dv = e2t*dt, v = (1/2)*e2t / =

    = 2*t*(1/2)*e2t - 2*∫(1/2)*e2t*dt + ln(2)*(1/2)*e2t - ln(e2t + 1)*(1/2)*e2t + ∫[2*e2t*dt] / [e2t + 1]*(1/2)*e2t =

    = t*e2t - (1/2)*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) + ∫[e4t*dt] / [e2t + 1] =

    = t*e2t - (1/2)*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) + ∫{e2t - [e2t/(e2t + 1)]}*dt =

    = t*e2t - (1/2)*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) + (1/2)*e2t - (1/2)*ln(e2t + 1) + C =

    = t*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) - (1/2)*ln(e2t + 1) + C

    где С - неизвестная константа

    Так как y(0) = 0, то

    y (0) = 0*e0 + ln(2)*(1/2)*e0 - (1/2)*e0*ln(e0 + 1) - (1/2)*ln(e0 + 1) + C =

    = ln(2)*(1/2) - (1/2)*ln(2) - (1/2)*ln(2) + C = - (1/2)*ln(2) + C = 0

    ⇒ C = (1/2)*ln(2)

    Итак решение исходного диф. уравнения:

    y(t) = t*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*e2t*ln(e2t + 1) - (1/2)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2) =

    = t*e2t + ln(2)*(1/2)*e2t - (1/2)*(e2t + 1)*ln(e2t + 1) + (1/2)*ln(2)


    P.S. Без понижения степени, диф. уравнение слишком тяжело решается при помощи формулы Дюамеля, если не понижать степень, то придем к выражению

    w(t) = (1/4) * {e2t - 2t - 1}

    и получили бы интеграл

    ∫0t [(s*es) / (es + e-s)] ds

    который у меня пока взять не получается


    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 28.07.2009, 22:02

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252709 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Интеграл Дюамеля применяют в том случае, если таблица изображений не содержит изображения правой части дифференциального уравнения. Это имеет место в нашем случае.

    Представим правую часть заданного уравнения следующим образом:
    et/ch t = 2et/(et + e-t) = 2/(1 + e-2t).

    Находим решение y1(0) уравнения y” – 2y’ = 1 с той же левой частью, что у заданного уравнения, при тех же начальных условиях. Поскольку y1’ → pY1, y” → p2Y1, 1 → 1/p, то получаем операторное уравнение
    p2Y1 + 2pY1 = 1/p,
    или
    pY1(p + 2) = 1/p,
    откуда
    Y1 = 1/[p2(p + 2)].

    Раскладываем полученную дробь в сумму простейших дробей:
    1/[p2(p + 2)] = A/p + B/p2 + C/(p + 2) = [Ap(p + 2) + B(p + 2) + Cp2]/[p2(p + 2)] ,
    Ap(p + 2) + B(p + 2) + Cp2 = 1,
    (A + C)p2 + (2A + B)p + 2B = 1,
    2B = 1, B = 1/2,
    2A + B = 0, 2A + 1/2 = 0, A = -1/4,
    A + C = 0, -1/4 + C = 0, C = 1/4,
    1/[p2(p + 2)] = -1/4 ∙ 1/p + 1/2 ∙ 1/p2 + 1/4 ∙ 1/(p + 2).

    Следовательно,
    Y1(p) = 1/[p2(p + 2)] = -1/4 ∙ 1/p + 1/2 ∙ 1/p2 + 1/4 ∙ 1/(p + 2) ←
    ← y1(t) = -1/4 + 1/2 ∙ t + 1/4 ∙ e-2t.

    Находим решение заданного уравнения по формуле
    y(t) = 0∫t f(τ) ∙ y1’(t – τ) ∙ dτ,
    где f(τ) – правая часть заданного уравнения. Имеем
    y1’(t) = 1/2 + (-2) ∙ 1/4 ∙ e-2t = 1/2 – 1/2 ∙ e-2t = 1/2 ∙ (1 – e-2t),
    y(t) = 0∫t 2/(1 + e-2τ) ∙ 1/2 ∙ [(1 – e-2(t – τ )] ∙ dτ = 0∫t [(1 – e-2(t – τ)]/(1 + e-2t) ∙ dτ =
    = 0∫t (1 – e2τ/e2t)/(1 + 1/e2t) ∙ dτ = 0∫t [(e2t – e2τ)/e2t]/[(e2t + 1)/e2t] ∙ dτ =
    = 0∫t (e2t – e2τ)/(e2t + 1) ∙ dτ = 1/(e2t + 1) ∙ 0∫t (e2t – e2τ) ∙ dτ =
    = e2t/(e2t + 1) ∙ 0∫t dτ – 1/(e2t + 1) ∙ 0∫t e2τ ∙ dτ =
    = t ∙ e2t/(e2t + 1) – 1/(e2t + 1) ∙ 1/2 ∙ (e2t – 1) = 1/(e2t + 1) ∙ [t ∙ e2t – 1/2 ∙ (e2t – 1)].

    Ответ: y = 1/(e2t + 1) ∙ [t ∙ e2t – 1/2 ∙ (e2t – 1)].

    Хотелось бы, что бы Вы самостоятельно разобрались с ходом решения и проверили правильность выкладок. Идея, думаю, понятна...

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 29.07.2009, 02:29

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252717 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное